第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省潮州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i?(3+i)，則z對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如表：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，誤差較小的可能性的估計是(

)第一組第二組第三組合計投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)66126183375命中的頻率0.660.630.610.625A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.663.在△ABC中，已知A=45°,a=2，則△ABC的外接圓直徑為(

)A.2 B.2 C.12 4.平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，則實(shí)數(shù)t=(

)A.2 B.?2 C.±2 D.5.已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長為5，則圓臺的側(cè)面積為(

)A.π B.16π C.17π D.25π6.已知a=(0,6),b=(1,1)，向量a在b上的投影向量的坐標(biāo)為A.(1,1) B.(?3,3) C.(3,3) D.(?3,?3)7.如圖，△O′A′B′是△OAB用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，則△OAB的周長是(

)A.22+2

B.42+28.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，B=π3，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且AM=3MC，則A.316 B.174 C.1716二、多選題：本題共3小題，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一.劃分等級為PM2.5日均值在35μg/m3以下，空氣質(zhì)量為一級；在35～75μg/m3，空氣質(zhì)量為二級；超過75μg/m3為超標(biāo).如圖是某地12月1日至10A.這10天PM2.5的日均值逐日增大

B.這10天中PM2.5日均值的平均值是48.8

C.從PM2.5日均值看，前5天的日均值的標(biāo)準(zhǔn)差小于后5天的日均值的標(biāo)準(zhǔn)差

D.這10.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)C是圓周上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.PB⊥AC

B.PC⊥BC

C.平面ABC⊥平面PAC

D.平面PBC⊥平面PAC11.口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件A=“第一次取出的是紅球”，B=“取出的兩球同色”，C=“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的是(

)A.P(A)=12 B.B與C互為對立事件

C.A與B互斥 D.A與三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分。12.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z?2i|=1，請寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)z=______．13.假設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.8，P(B)=0.5，則P(A∪B)=______．14.二面角α?l?β的大小是30°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為60°，則AB與平面β所成的角的正弦值是______．四、解答題：本題共5小題，共44分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題8分)

已知|a|=1,|b|=2,a?b=1．

(1)求a與b的夾角θ16.(本小題8分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．

(1)求證：17.(本小題8分)

為了解中學(xué)生的身高情況，某部門隨機(jī)抽取了某學(xué)校的100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)按[140,150)、[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖

(1)求a值，并估計這100名學(xué)生身高的第45百分位數(shù)；

(2)在上述樣本中，用分層抽樣的方法從身高在[150,170)的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人身高都不低于160cm的概率．18.(本小題10分)

如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上，BA=BC=5，AD=2，∠BAD為鈍角，且sin∠BAD=35．

(1)求CD；

(2)記∠BDC為α，求19.(本小題10分)

為了普及垃圾分類知識，某校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙兩人同時答對的概率為310，每題甲、乙兩人恰有一人答對的概率為12．

(1)求p和q的值；

(2)求甲、乙兩人共答對3道題的概率．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=i?(3+i)=?1+3i，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)是(?1,3)，在第二象限．

故選：B．

先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計算出復(fù)數(shù)值，然后根據(jù)定義判斷．2.【答案】C

【解析】解：由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差越小，

所以合計列對應(yīng)的頻率最為合適．

故選：C．

根據(jù)頻率和概率的關(guān)系即可判斷．

本題考查頻率與概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】解：由題意可得asinA=2R，其中R為三角形外接圓半徑．

所以三角形外接圓直徑為222=2．

4.【答案】A

【解析】解：由題意△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，

所以AO=(?t,?2),AB=(4?t,?2)，

因?yàn)椤螦=90°，所以AO?AB=?4t+t2+4=0，解得t=2．

5.【答案】D

【解析】解：由題意圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長為5，

可設(shè)圓臺的上底面半徑為r，則下底面半徑為4r，高為4r.母線長為5，

在如圖所示的圓臺軸截面中，AE=r，BF=EF=4r，AB=5，

過點(diǎn)A作AG⊥BF于點(diǎn)G，

所以有AB2=AG2+BG2，

有52=(4r)2+(4r?r)2，解得6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，a=(0,6)，b=(1,1)，

則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為a?b|b|?b7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖△O′A′B′中，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，

易得O′A′=2，

由斜二測畫法還原原圖，作出△OAB，如下圖所示：

其中OB=O′B′=2，OA=22，∠AOB=π2，

由勾股定理可得AB=OA2+OB2=(228.【答案】B

【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

過點(diǎn)A作AD⊥BC，

因?yàn)锳B=2，BC=3，∠B=π3，

所以A(1,3)，C(3,0)，

所以AC=(2,?3)，

所以AM=3MC，所以AM=34AC=(329.【答案】BC

【解析】解：對于選項(xiàng)A，由圖可知這10天PM2.5的日均值有增有減，故A錯誤；

對于選項(xiàng)B，這10天中PM2.5日均值的平均值x?=110(30+41+32+34+40+80+78+60+45+48)=48.8，故B正確；

對于選項(xiàng)C，前5天平均值為30+41+32+34+405=35.4，后5天平均值為80+78+60+45+485=62.2，

所以前5天的日均值的方差15i=15(xi?35.4)2=19.02，

后5天日均值的方差15i=610(xi?62.2)2=213.76

因?yàn)?9.02<213.76，

所以前5天的日均值的標(biāo)準(zhǔn)差小于后5天的日均值的標(biāo)準(zhǔn)差，故C正確；

對于選項(xiàng)D10.【答案】BCD

【解析】解：對于A，假設(shè)PB⊥AC，

∵BC⊥AC，PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC，

∴AC⊥平面PBC，

∵PC?平面PBC，∴AC⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥PA，

在△PCA中，PA⊥AC，PC⊥AC，不能同時成立，故A錯誤；

對于B，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，

∵BC⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴PC⊥BC，故B正確；

對于C，∵PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故C正確；

對于D，由選項(xiàng)B可知BC⊥平面PAC，

∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，故D正確．

故選：BCD．

根據(jù)面面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)和判定定理對選項(xiàng)逐一判斷即可．

本題考查面面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)和判定定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．11.【答案】ABD

【解析】解：記紅球?yàn)?，2，白球?yàn)?，4，

不放回依次取出兩個，

則樣本空間Ω={12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}，共12種，

∵事件A=“第一次取出的是紅球”，B=“取出的兩球同色”，C=“取出的兩球不同色”，

∴事件A={12,13,14,21,23,24}，共6種；

事件B={12,21,34,43}，共4種，

事件C={13,14,23,24,31,32,41,42}，共8種；

對于A，P(A)=n(A)n(Ω)=612=12，故A正確；

對于B，∵B∩C=?，B∪C=Ω，∴B與C互為對立事件，故B正確；

對于C，∵A∩B={12,21}，∴A與B不是互斥事件，故C錯誤；

對于D，∵事件AC={13,14,23,24}，共4種，∴P(AC)=n(AC)n(Ω)=412=13，

∵P(C)=n(C)n(Ω)=812=23，12.【答案】1+2i(答案不唯一)

【解析】解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由|z?2i|=1，得|z?2i|=|a+(b?2)i|=a2+(b?2)2=1，

即a2+(b?2)2=1，取a=1，b=2顯然符合題意，即z=1+2i．

故答案為：1+2i(答案不唯一13.【答案】0.9

【解析】解：根據(jù)題意，若P(A)=0.8，P(B)=0.5，且事件A與B相互獨(dú)立，

則P(AB)=P(A)P(B)=0.4，

則P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=0.8+0.5?0.4=0.9．

故答案為：0.9

根據(jù)獨(dú)立性求出P(AB)，然后由概率的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．

本題考查相互獨(dú)立事件的概率計算，涉及和事件的概率性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】3【解析】解：過A作AO⊥β于O，過O作OC⊥l于C，連接AC，

則∠ABO為AB與平面β所成的角，

因?yàn)閘?β，所以AO⊥l，

因?yàn)锳O∩OC=O，所以l⊥平面AOC，

因?yàn)锳C?平面AOC，

所以l⊥AC，

所以∠ACO為二面角α?l?β的平面角，則∠ACO=30°，

設(shè)AO=1，則AC=2，

因?yàn)椤螦BC=60°，

所以AB=ACsin∠ABC=2sin60°=433，

所以sin∠ABO=AOAB=1433=34，

所以AB與平面B所成的角的正弦值為34．

故答案為：34．

過A作AO⊥β于O，過O15.【答案】π3；

3【解析】(1)由|a|=1,|b|=2,a?b=1，

可知a?b=|a|?|b|cosθ=2cosθ=1，

則cosθ=12，又θ∈[0,π]，

所以θ=π16.【答案】(1)證明：連接BD交AC于O，連接OE，所以O(shè)E是△BDD1的中位線，

所以O(shè)E//BD1，

又OE?面AEC，BD1?面AEC，所以BD1//平面AEC；

(2)解：正方體ABCD?A【解析】(1)連接BD交AC于O，連接OE，即可得到OE//BD1，從而得證；

(2)根據(jù)正方體的性質(zhì)及VD?AEC=V17.【答案】a=0.02，165；

310．【解析】(1)在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為1，組距d=10，

由(0.010+a+0.030+0.028+0.012)×10=1，即0.010+a+0.030+0.028+0.012=0.1，

解得a=0.1?(0.010+0.030+0.028+0.012)=0.020，

1?5組的頻率分別為0.1，0.2，0.3，0.28，0.12，

前2組的頻率之和為0.1+0.2=0.3<0.45，

前3組的頻率之和為0.3+0.3=0.6>0.45，

所以第45百分位數(shù)落在[160,170)，設(shè)為m，

則0.3+(m?160)×0.03=0.45，解得m=165，

所以這100名學(xué)生身高的第45百分位數(shù)為165；

(2)身高在[150,160)的學(xué)生有100×10×0.02=20人，

身高在[160,170)的學(xué)生有100×10×0.03=30人，

故身高在[150,170)的學(xué)生共有50人，

用分層抽樣的方法從身高在[150,160)的學(xué)生中抽取5×2050=2名，記為1，2，

從身高在[160,170)的學(xué)生中抽取5×3050=3名，記為a，b，c．

從這5名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生的所有結(jié)果為ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12，共10種，

記A=“這2人身高都不低于160cm”，

則A包含的結(jié)果有：ab，ac，bc，共3種，

故所求概率P(A)=310．

(1)由頻率分布直方圖求解即可；

18.【答案】10；

25【解析】(1)∠BAD為鈍角，sin∠BAD=35，則cos∠BAD=?1?(35)2=?45，

在△ABD中，由余弦定理，BD2=22+52?2×5×2×(?45)=45，則BD=35，

圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，于是∠BAD+∠BCD=π，又sin∠