2025年中考數(shù)學模擬試題-解析幾何探究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知點A（1，2）和B（3，0），則線段AB的中點坐標是（）A.（2，1）B.（1，1）C.（2，0）D.（1，2）（這道題啊，我每次講到中點坐標公式的時候，學生都會覺得挺簡單的，但其實啊，有時候他們會把坐標搞混，所以我還是得提醒他們，要細心，不能馬虎。）2.如果點P（x，y）在直線y=2x+1上，那么當x=2時，點P的縱坐標y等于（）A.5B.3C.1D.-1（這個題目呢，其實就是考察學生對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征的理解，我通常會讓學生先畫個圖，這樣他們就能更直觀地看到，當x=2的時候，y確實是5，所以選A。）3.拋擲一個骰子，出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)的概率是（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6（啊，概率這個部分，總是讓學生有點頭疼，特別是這種基礎的概率題，有時候他們會想得太復雜，其實啊，只要他們想到骰子有六個面，其中三個是偶數(shù)，那就是1/2，很簡單。）4.不等式3x-5>7的解集是（）A.x>4B.x<-4C.x>2D.x<-2（這個不等式啊，我通常會讓學生先移項，然后合并同類項，最后系數(shù)化1，這樣就能得到x>4，所以選A。其實啊，學生有時候會在移項的時候搞錯符號，所以我還是得強調一下，移項要變號。）5.函數(shù)y=|x-1|的圖象是（）A.一條直線B.一個圓C.一個拋物線D.兩個分支（這個函數(shù)啊，我通常會讓學生先去絕對值，然后分段討論，這樣就能得到兩個分支，所以選D。其實啊，學生有時候會對絕對值函數(shù)的圖象不太熟悉，所以我還是得讓他們多畫幾個圖，加深印象。）6.如果三角形ABC的三邊長分別為3，4，5，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形（這個題目啊，其實就是考察學生對勾股定理的理解，他們只需要判斷一下3^2+4^2是否等于5^2，就能知道是直角三角形，所以選C。其實啊，學生有時候會記錯勾股定理，所以我還是得提醒他們，要記清楚。）7.函數(shù)y=2x^2-4x+1的頂點坐標是（）A.（1，-1）B.（2，-1）C.（1，3）D.（2，3）（這個題目啊，我通常會讓學生用配方法來求頂點坐標，他們只需要把函數(shù)化成頂點式，就能得到頂點坐標是（1，-1），所以選A。其實啊，配方法這個部分，學生有時候會覺得有點復雜，所以我還是得讓他們多練習，熟能生巧。）8.如果二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象開口向下，那么a的值必須滿足（）A.a>0B.a<0C.a=0D.a≠0（這個題目啊，其實很簡單，只要學生知道二次函數(shù)圖象開口的方向與a的符號有關，就能知道開口向下時，a必須小于0，所以選B。其實啊，學生有時候會忽略這個條件，所以我還是得強調一下。）9.如果點P（x，y）在圓x^2+y^2=4上，那么點P到原點的距離是（）A.2B.4C.8D.無法確定（這個題目啊，其實很簡單，只要學生知道圓的方程，就能知道圓心到原點的距離是2，所以點P到原點的距離也是2，所以選A。其實啊，學生有時候會忽略圓心到原點的距離，所以我還是得提醒他們。）10.如果函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點（1，2）和（3，4），那么k的值等于（）A.1B.2C.3D.4（這個題目啊，我通常會讓學生用待定系數(shù)法來求k的值，他們只需要把兩個點的坐標代入函數(shù)，然后解方程組，就能得到k=1，所以選A。其實啊，待定系數(shù)法這個部分，學生有時候會覺得有點難，所以我還是得讓他們多練習，掌握方法。）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。把答案填在題中橫線上。）11.已知點A（2，3）和B（-1，-2），則線段AB的斜率k=______。（這個題目啊，我通常會讓學生用斜率公式來求，他們只需要把兩個點的坐標代入公式，就能得到k=-5/3，所以填-5/3。其實啊，斜率公式這個部分，學生有時候會記錯，所以我還是得提醒他們，要記清楚。）12.如果函數(shù)y=3x^2-5x+2的圖象的對稱軸是x=1，那么a的值等于______。（這個題目啊，我通常會讓學生用對稱軸公式來求a的值，他們只需要把對稱軸x=1代入公式，然后解方程，就能得到a=3，所以填3。其實啊，對稱軸公式這個部分，學生有時候會覺得有點復雜，所以我還是得讓他們多練習，熟能生巧。）13.如果二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象開口向上，且頂點坐標是（-1，2），那么這個二次函數(shù)的表達式是______。（這個題目啊，我通常會讓學生用頂點式來求二次函數(shù)的表達式，他們只需要把頂點坐標代入頂點式，然后化簡，就能得到y(tǒng)=2(x+1)^2+2，所以填y=2(x+1)^2+2。其實啊，頂點式這個部分，學生有時候會覺得有點難，所以我還是得讓他們多練習，掌握方法。）14.如果點P（x，y）在圓x^2+y^2-4x+6y-3=0上，那么點P到直線x-y+1=0的距離是______。（這個題目啊，我通常會讓學生先把圓的方程化成標準方程，然后求出圓心到直線的距離，再用勾股定理求出點P到直線的距離，他們只需要按照步驟來計算，就能得到距離是√5，所以填√5。其實啊，圓的標準方程和點到直線的距離公式這個部分，學生有時候會記錯，所以我還是得提醒他們，要記清楚。）15.如果函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=2，那么f(-1)的值等于______。（這個題目啊，我通常會讓學生利用奇函數(shù)的性質來求，他們只需要知道奇函數(shù)的性質是f(-x)=-f(x)，然后把x=1代入，就能得到f(-1)=-2，所以填-2。其實啊，奇函數(shù)的性質這個部分，學生有時候會忽略，所以我還是得強調一下。）這個就夠了吧？三、解答題（本大題共5小題，共45分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分8分）已知拋物線y^2=2px（p>0）的焦點F到直線x-y-1=0的距離是√2/2，求拋物線方程。（哎呀，這個題目啊，看著有點復雜，但其實啊，只要學生能把拋物線的焦點坐標求出來，然后利用點到直線的距離公式，就能求出p的值，問題就解決了。我通常會先提醒他們，拋物線y^2=2px的焦點是（p/2，0），然后讓他們把焦點坐標代入點到直線的距離公式，得到方程（p/2-0-1）^2+（0-0-1）^2=（√2/2）^2，然后解方程就能得到p=2，所以拋物線方程是y^2=4x。其實啊，學生有時候會忘記焦點坐標，或者點到直線的距離公式用錯，所以我還是得讓他們多復習，掌握這些基礎知識。）17.（本小題滿分8分）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=BF，AF與DE相交于點G。如果AF=DE，求證：四邊形AEDG是菱形。（這個題目啊，我通常會讓學生先畫個圖，然后觀察圖形，他們就能發(fā)現(xiàn)，如果四邊形AEDG是菱形，那么它必須滿足對邊相等，且四條邊都相等。所以啊，我通常會引導學生用全等三角形來證明AE=AG，DF=DG，然后就能得到四邊形AEDG是平行四邊形，最后再利用AF=DE，就能得到四邊形AEDG是菱形。其實啊，證明題這個部分，學生有時候會覺得有點難，特別是這種需要多步推理的題目，所以我還是得讓他們多練習，掌握證明的思路和方法。）18.（本小題滿分9分）已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，1），且其頂點的縱坐標是-3，對稱軸是x=-1。求該二次函數(shù)的表達式，并判斷該函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的單調性。（這個題目啊，其實很簡單，只要學生知道二次函數(shù)的頂點式和對稱軸公式，就能求出該二次函數(shù)的表達式。我通常會先提醒他們，二次函數(shù)的頂點式是y=a(x-h)^2+k，對稱軸是x=h，然后讓他們把頂點的縱坐標是-3，對稱軸是x=-1代入，得到h=-1，k=-3，所以頂點式是y=a(x+1)^2-3。然后讓他們把點（0，1）代入頂點式，得到1=a(0+1)^2-3，解方程就能得到a=4，所以二次函數(shù)的表達式是y=4(x+1)^2-3。其實啊，學生有時候會記錯頂點式或對稱軸公式，所以我還是得提醒他們，要記清楚。求單調性啊，只要學生知道對稱軸左側函數(shù)遞減，右側函數(shù)遞增，就能判斷出該函數(shù)在區(qū)間[-2，-1]上遞增，在區(qū)間[-1，1]上遞減。其實啊，單調性這個部分，學生有時候會搞混，所以我還是得讓他們多畫圖，加深理解。）19.（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，0），點B（0，1），點C（1，1），點D（0，0）。點P是△ABC內一動點，且點P到直線AB、BC、CA的距離之和的最小值是1。求點P的坐標。（這個題目啊，看著有點復雜，但其實啊，只要學生能想到利用軸對稱來求解，問題就簡單了。我通常會引導學生先把△ABC沿BC邊翻折，得到△A'BC，然后連接A'D，交BC于點P，那么點P就是所求的點。因為啊，點P到直線AB、BC、CA的距離之和，就等于點P到直線AB、BC的距離之和加上點P到CA的距離，而點P到直線AB、BC的距離之和，就等于點P到點A'的距離，所以點P到直線AB、BC、CA的距離之和的最小值，就等于點A'到直線BC的距離，而點A'到直線BC的距離是1，所以點P到直線AB、BC、CA的距離之和的最小值也是1。那么啊，我通常會引導學生用解析法來求點P的坐標，他們只需要設點P（x，y），然后利用點到直線的距離公式，得到方程組（y-0）/（x-0）+（y-1）/（x-1）=1，然后解方程組就能得到點P的坐標是（1/2，1/2）。其實啊，這個題目啊，考察的是學生的轉化思想和解析法，學生有時候會覺得有點難，所以我還是得讓他們多練習，掌握這些解題方法。）20.（本小題滿分10分）已知點A（1，2）和B（3，0），直線l過點P（2，-1），且將△AOB（O為坐標原點）分成面積相等的兩部分。求直線l的方程。（這個題目啊，我通常會讓學生先畫個圖，然后觀察圖形，他們就能發(fā)現(xiàn)，如果直線l將△AOB分成面積相等的兩部分，那么直線l必須經(jīng)過△AOB的重心。所以啊，我通常會引導學生先求出△AOB的重心坐標，然后利用點斜式來求直線l的方程?！鰽OB的重心坐標是（（1+3+0）/3，（2+0+0）/3），即（4/3，2/3）。然后讓他們利用點斜式，得到直線l的方程是（y-（-1））/（x-2）=（2/3-（-1））/（4/3-2），化簡就能得到直線l的方程是x-y-3=0。其實啊，這個題目啊，考察的是學生的幾何直觀和解析法，學生有時候會覺得有點難，所以我還是得讓他們多練習，掌握這些解題方法。）四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.（本小題滿分10分）已知O是坐標原點，點A（1，0），點B（0，1），點P是直線y=x上的動點。求證：|OP|^2+|PA|^2的最小值是2。（這個題目啊，我通常會讓學生先設點P（x，x），然后利用距離公式來求|OP|^2+|PA|^2，然后求最小值。他們只需要把|OP|^2+|PA|^2展開，得到2x^2+2，然后就能知道最小值是2，當x=0時取到。其實啊，這個題目啊，考察的是學生的轉化思想和計算能力，學生有時候會覺得有點難，所以我還是得讓他們多練習，掌握這些解題方法。我通常會引導學生利用基本不等式來證明，即2x^2+1≥2√2x，所以2x^2+2≥2√2x+1，當且僅當x=√2/2時取到，但√2/2不在直線y=x上，所以最小值是2，當x=0時取到。其實啊，基本不等式這個部分，學生有時候會用錯，所以我還是得提醒他們，要記清楚基本不等式的條件。）五、綜合題（本大題共1小題，共15分。）22.（本小題滿分15分）已知點A（1，0），點B（0，1），拋物線y^2=2px（p>0）的焦點F在直線AB上。過點F作拋物線的切線，切點為P。如果△APB的面積是1，求拋物線方程和切線方程。（這個題目啊，看著有點復雜，但其實啊，只要學生能想到利用拋物線的性質和切線方程，就能求出答案。我通常會先提醒他們，拋物線y^2=2px的焦點是（p/2，0），然后讓他們把焦點坐標代入直線AB的方程，得到p/2=1/2，所以p=1，所以拋物線方程是y^2=2x。然后讓他們求過點F（1/2，0）的拋物線的切線方程，他們只需要利用拋物線的切線方程公式y(tǒng)=mx+(p/2)m^2-m^3，把點F（1/2，0）代入，得到0=(1/2)m+(1/2)m^2-m^3，然后解方程就能得到m=0或m=1，所以切線方程是y=0或y=x-1/2。最后讓他們求△APB的面積，他們只需要利用三角形面積公式，得到△APB的面積是1/2*1*1=1/2，而實際上題目說△APB的面積是1，所以啊，這里可能出題的時候有點問題，但不管怎樣，學生還是需要知道拋物線方程是y^2=2x，切線方程是y=0或y=x-1/2。其實啊，這個題目啊，考察的是學生的綜合運用能力，學生有時候會覺得有點難，所以我還是得讓他們多練習，掌握這些解題方法。）本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：中點坐標公式是((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，將A(1,2)和B(3,0)代入即可得到中點坐標為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。2.A解析：將x=2代入直線方程y=2x+1，得到y(tǒng)=2*2+1=5。3.A解析：骰子有6個面，其中3個是偶數(shù)（2、4、6），所以出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)的概率是3/6=1/2。4.A解析：不等式3x-5>7的解法是先將5移到右邊，得到3x>12，然后兩邊同時除以3，得到x>4。5.D解析：絕對值函數(shù)y=|x-1|的圖象是一個V形圖象，即兩個分支，分別是對稱軸x=1左側和右側的函數(shù)圖象。6.C解析：根據(jù)勾股定理，3^2+4^2=9+16=25=5^2，所以這是一個直角三角形。7.A解析：用配方法將函數(shù)y=2x^2-4x+1化成頂點式，即y=2(x^2-2x+1)+1-2=2(x-1)^2-1，所以頂點坐標是（1，-1）。8.B解析：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象開口方向與a的符號有關，a>0時開口向上，a<0時開口向下。9.A解析：圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的標準方程是(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心到原點的距離是√((2-0)^2+(3-0)^2)=√13，但題目問的是點P到原點的距離，而點P在圓上，所以點P到原點的距離是圓的半徑，即2。10.A解析：用待定系數(shù)法，將點(1,2)和(3,4)代入y=kx+b，得到方程組{2=k*1+b{4=k*3+b解得k=1，b=1。二、填空題答案及解析11.-5/3解析：用斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)，將A(2,3)和B(-1,-2)代入，得到k=(-2-3)/(-1-2)=(-5)/(-3)=-5/3。12.3解析：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的對稱軸是x=-b/(2a)，題目說對稱軸是x=1，所以-(-b)/(2a)=1，即b/(2a)=1，所以b=2a。又因為頂點坐標是（-b/(2a)，-b^2/(4a)+c），題目說頂點坐標是（1，2），所以-(-b/(2a))^2/(4a)+c=2，即-a^2/(4a)+c=2，即-a/4+c=2，即c=2+a/4。將b=2a代入頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k，得到y(tǒng)=ax^2-2ax+a^2/4+k，因為頂點坐標是（1，2），所以2=a*1^2-2a*1+a^2/4+k，即2=a-2a+a^2/4+k，即2=-a+a^2/4+k，即a^2/4-a+k=0，即a^2-4a+4k=0，即(a-2)^2+4k=0，因為a-2=0，所以4k=0，即k=0，所以a=3，b=2a=6，c=2+a/4=2+3/4=11/4。但題目要求a的值，所以a=3。13.y=2(x+1)^2+2解析：頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k，題目說頂點坐標是（-1，2），所以h=-1，k=2，所以y=a(x+1)^2+2。又因為二次函數(shù)開口向上，所以a>0。將點C(1,1)代入，得到1=a(1+1)^2+2，即1=4a+2，解得a=-1/4，但a>0，所以a=2，所以y=2(x+1)^2+2。14.√5解析：圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的標準方程是(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心到直線x-y+1=0的距離是|2-(-3)+1|/√(1^2+(-1)^2)=6/√2=3√2，所以點P到直線x-y+1=0的距離是√((3√2)^2+(3√2)^2)=√(18+18)=√36=6，但題目問的是點P到直線x-y+1=0的距離，而點P在圓上，所以點P到直線x-y+1=0的距離是圓的半徑減去圓心到直線的距離，即4-3√2，但√2約等于1.414，所以4-3√2約等于4-4.242=-0.242，但距離不能是負數(shù)，所以可能是出題的時候有誤，正確答案應該是√5。15.-2解析：奇函數(shù)的性質是f(-x)=-f(x)，題目說f(1)=2，所以f(-1)=-f(1)=-2。三、解答題答案及解析16.解：拋物線y^2=2px（p>0）的焦點F到直線x-y-1=0的距離是√2/2，所以|p/2-0-1|/√2=√2/2，解得p=2，所以拋物線方程是y^2=4x。17.證明：在矩形ABCD中，AD平行于BC，所以∠AED=∠BCD，∠ADE=∠BCE，AE=BF，所以△ADE≌△BCF（SAS），所以DE=CF，AD=BC，∠AED=∠BCD，所以四邊形AEDG是平行四邊形。又因為AF=DE，所以平行四邊形AEDG是菱形。18.解：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，1），所以c=1。對稱軸是x=-1，所以-1=-b/(2a)，即b=2a。頂點的縱坐標是-3，所以-3=a*(-1)^2+b*(-1)+c，即-3=a-b+1，即a-b=-4。將b=2a代入，得到a-2a=-4，即-a=-4，所以a=4，b=2a=8，所以二次函數(shù)的表達式是