函數(shù)的應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為A．B．C．(D．【答案】C【解析】解：因為函數(shù)的零點所在的區(qū)間兩端點的函數(shù)值異號可以判定當x=1/4,x=1/2時函數(shù)值異號，因此選C2．已知函數(shù)若方程f(x)=x+a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為A．(-∞,0］B．［0,1)C．(-∞,1)D．［0,+∞)【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意從而得到函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示，當a＜1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x+a的圖象有兩個交點，即方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數(shù)根故選：C考點：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)的判斷.點評：解決方程根的問題，一般來說，可以直接法求解方程，也可以采用分離為兩個函數(shù)對應相等，利用圖像的交點情況來說明。將方程f（x）=x+a根的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的個數(shù)，并用圖象法進行解答是本題的關鍵．3．已知函數(shù)，若關于方程有兩不等實數(shù)根，則的取值范圍（）A．（0，）B．（）C．（1，）D．0,1【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和程的圖象，結(jié)合圖象即可求得答案【詳解】作出函數(shù)程和程的圖象，如圖所示由圖可知當方程有兩不等實數(shù)根時，則實數(shù)的取值范圍是0,1故選【點睛】本題是一道關于分段函數(shù)的應用的題目，解答本題的關鍵是熟練掌握對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題。4．方程有解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】可化為，即，當時，方程顯然無解；當時，方程化為，，，即，解得.考點：復合方程的解的個數(shù).5．若函數(shù)圖像上的任意一點的坐標滿足條件，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，那么下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：由得，其所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示.xxy通過做出函數(shù)的圖象可知，只有的圖象分布在陰影部分，故選D.考點：1.函數(shù)的圖像；2.對新概念的理解.6．設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，，則在區(qū)間內(nèi)關于的方程解得個數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由題意求得函數(shù)的周期，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，及當x∈[﹣2，0]時，函數(shù)解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象可得y＝f（x）與y＝log8（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）上有3個不同的交點．【詳解】解：對于任意的x∈R，都有f（2+x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f[2+（x+2）]＝f[（x+2）﹣2]＝f（x），∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T＝4．又∵當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝（）x﹣1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（6）＝1，則函數(shù)y＝f（x）與y＝log8（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）上的圖象如下圖所示：根據(jù)圖象可得y＝f（x）與y＝log8（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）上有3個不同的交點．故選：C．【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)的交點及方程的根，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7．已知是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為A．12B．13C．14D．15【答案】D【解析】【分析】由題可知函數(shù)周期為2，作出函數(shù)數(shù)和在區(qū)間上的的圖像。即可得到答案.【詳解】由，知關于點中心對稱，又是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的周期為2，已知，，作出函數(shù)和在區(qū)間上的的圖像如圖所示，已知，所有零點之和為【點睛】本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，函數(shù)周期與對稱性性的應用，屬于中檔題．8．設函數(shù)f(x)=x2,x≥1或x≤?1x，?1<x<1，g(x)=ax2+bx+c(a≠0)A．[1,+∞)B．[0,+∞)C．(?∞,?1]∪[1,+∞)D．(?∞,?1]∪[0,+∞)【答案】B【解析】【分析】作出分段函數(shù)f(x)的圖象，f[g(x)]的值域是[0,+∞)，則g(x)的值域為[0,+∞)?！驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)f(x)的圖象，因為f[g(x)]的值域為[0,+∞)，所以g(x)的值域為[0,+∞)，故選B【點睛】外重復合函數(shù)的定義域為里重函數(shù)的值域，復合函數(shù)的定義域為里外兩重函數(shù)定義域的交集。9．已知函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】確定定義域后，可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；根據(jù)零點存在定理，求得的取值范圍.【詳解】①當時，在上單調(diào)遞增又，只需，函數(shù)存在零點即②當時，在上單調(diào)遞增函數(shù)值域為，函數(shù)存在零點綜上所述：本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與零點問題，關鍵在于通過對于函數(shù)單調(diào)性的判斷，得到函數(shù)值域，從而根據(jù)零點存在定理解決問題.10．已知與分別是函數(shù)與的零點，則的值為A．B．C．4D．5【答案】D【解析】【分析】設，，由，互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，作直線，分別交，的圖象為A，B兩點，點為A，B的中點，聯(lián)立方程得，由中點坐標公式得：，又，故得解．【詳解】解：由，化簡得，設，，由，互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，作直線，分別交，的圖象為A，B兩點，點為A，B的中點，聯(lián)立得；，由中點坐標公式得：，所以，故選：D．【點睛】本題考查了反函數(shù)、中點坐標公式及函數(shù)的零點等知識，屬于難題.11．若函數(shù)f(x)唯一的一個零點同時在區(qū)間(0,2)，(0,4)，(0,8)，(0,16)內(nèi)，則下列命題中正確的是（）A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點B．函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,16)上無零點C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無零點D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點【答案】B【解析】【分析】由題意可確定f（x）唯一的一個零點在區(qū)間（0，2）內(nèi)，故在區(qū)間[2，16）內(nèi)無零點．其他不能確定．【詳解】由題意函數(shù)f(x)唯一的一個零點同時在區(qū)間(0,2)，(0,4)，可確定零點在區(qū)間（0，2）內(nèi)，故在區(qū)間[2，16）內(nèi)無零點．其中A和C不能確定，由題意零點可能為1，故D不正確，故選：B．【點睛】本題考查對函數(shù)零點的判定定理的理解，屬基礎知識的考查．屬基礎題．12．函數(shù)零點的個數(shù)是A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】解：因為函數(shù)零點的個數(shù)的判定可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=|lgx|與函數(shù)y=(1/2)x的交點個數(shù)即可。作圖可知選C.二、填空題13．方程的解在區(qū)間（k，k+1）（）上，則k=_______．【答案】2【解析】令，則方程的近似解即函數(shù)f(x)的零點，在（k,k+1）上，k故答案為214．若實數(shù)滿足方程組，則__________．【答案】1【解析】因為，由②化簡得：8y3?2(1+cos2y)+2y+3=0，整理得：?8y3+cos2y?2y?2=0,即(?2y)3+cos(?2y)+(?2y)?2=0，設t=?2y,則有t3+cost+t?2=0，與方程①對比得：t=x，即x=?2y，∴x+2y=0，則cos(x+2y)=1.故答案為：1.15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，直線與函數(shù)的圖像自左至右依次交于四個不同點、、、，若，則實數(shù)的值為________．【答案】【解析】試題分析：首先根據(jù)偶函數(shù)定義可得a=?1,b=?2,c=1，其次有A、B在y軸左邊，由于以及對稱性，知xA=3xB，把y=t代入f(x)表達式，有?x2?2x+1=t，即x2+2x+t?1=0，所以xA考點：偶函數(shù)的定義，二次方程根與系數(shù)的關系．16．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示，對于滿足的任意，給出下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的結(jié)論的序號是.xxy11O【答案】③④【解析】略三、解答題17．已知f(x)=2x（1）若f(x)>k的解集為{x|x<?3或x>?2}，求k的值；（2）若對任意的x>0，f(x)≤t恒成立，求實數(shù)t的范圍．【答案】（1）－25（2）【解析】(1)f(x)>k?kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的兩根是－3，－2.由根與系數(shù)的關系可知(－2)＋(－3)＝2k，即k＝－2(2)∵x>0，f(x)＝2xx2+6＝2x+6x≤226＝66，當且僅當x＝6時取等號．由已知f(x)≤t對任意x18．（本題滿分10分）一只小船以10m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20m/s的速度前進（如圖），現(xiàn)在小船在水平面P點以南的40米處，汽車在橋上Q點以西30米處（其中PQ⊥水面），求小船與汽車間的最短距離（不考慮汽車與小船本身的大小）.（第23題圖）圖（第23題圖）圖【答案】解：設經(jīng)過時間t汽車在A點，船在B點，（如圖）…………1分則AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，…………3分設小船所在平面為,AQ,QP確定平面為β,記∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l，又PQ⊥水面，即PQ⊥，作AC∥PQ，則AC⊥.連結(jié)CB，則AC⊥CB.再由AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，…………5分∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,…………8分t=2時AB最短，最短距離為30m.…………10分【解析】略19．（本題滿分14分）甲、乙兩地相距12km.A車、B車先后從甲地出發(fā)勻速駛向乙地.A車從甲地到乙地需行駛15min；B車從甲地到乙地需行駛10min.若B車比A車晚出發(fā)2min：（1）分別寫出A、B兩車所行路程關于A車行駛時間的函數(shù)關系式；（2）A、B兩車何時在途中相遇？相遇時距甲地多遠？【答案】（1）（2）A、B兩車在A車出發(fā)時途中相遇，相遇時距甲地?！窘馕觥吭囶}分析：勻速行駛的路程與時間關系是：路程=速度時間；首先分析車的速度為，于是行駛的路程與行駛的時間之間的函數(shù)關系為,即；再分析車的速度為，由于車比車晚出發(fā)2min,當時，車行駛路程關于車行駛時間的函數(shù)關系為；車從甲地到達乙地需10min,當時，，當時，車已經(jīng)到達乙地，而車還在路上行駛，試題解析：（1）設車行駛時間為x（min），車、車所行路程分別為.則車所行路程關于行駛時間的函數(shù)為,即；車所行路程關于車行駛時間的函數(shù)關系式為（2）設兩車在車出發(fā)時途中相遇，則.于是，，即兩車在A車出發(fā)6min時途中相遇，相遇時距甲地.考點：1.根據(jù)實際問題，建立函數(shù)模型；2.借助函數(shù)思想解題20．設函數(shù),如果，求的取值范圍.【答案】【解析】試題分析：對分段函數(shù)需分情況討論，再解指數(shù)及對數(shù)不等式時，需將實數(shù)轉(zhuǎn)化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)，然后根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性解不等式。試題解析：解：當2分,.5分當時7分，10分綜上.12分考點：分段函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)不等式。21．如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(Rt?FHE,H是直角頂點)來處理污水,管道越長，污水凈化效果越好.設計要求管道的接口H是AB的中點，E,F分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，記∠BHE=θ.（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù),并寫出定義域；（2）若sinθ+cosθ=，求此時管道的長度L；（3）問：當θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度.【答案】解：（1）EH=，F(xiàn)H=EF=分由于BE=10tanθ≤10,AF=≤10故≤tanθ≤,θ∈[,]分L=++，θ∈[,](2)sinθ+cosθ=時，sinθ?cosθ=,