第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={?1,0,1,2,3}，B={x|2x?3<0}，則A∩B=A.{0,1} B.{1,2} C.{2,3} D.{?1,0,1}2.已知復(fù)數(shù)z滿足z?(1+3i)=2，則A.|z|=1 B.z=1?3i C.z的虛部為?3.命題“?a∈R，f(x)=x3?axA.?a∈R，f(x)=x3?ax2是偶函數(shù)

B.?a∈R，f(x)=x3?ax2不是奇函數(shù)

C.4.已知變量x，y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x01234y1015203035分析表中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為y=6.5x+a，據(jù)此模型預(yù)測(cè)：當(dāng)x=10時(shí)，A.71.5 B.72 C.73.5 D.745.已知非零向量a，b，c滿足|a|=|b|=|c|A.a,b同向 B.b,c同向

C.a,6.某校舉行定點(diǎn)投籃比賽，比賽規(guī)則如下：每個(gè)班級(jí)需派出一位同學(xué)參加比賽，最多有10次投籃機(jī)會(huì)，投中得一分，未投中扣一分，放棄投籃得零分.高二(1)班派出甲同學(xué)參加投籃比賽，已知甲先投籃6次且均投中，接下去他每次投籃的命中率都為23，為了使最終得分不低于7分的概率最大，則該同學(xué)繼續(xù)投籃的次數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知函數(shù)f(x)=(x?2)nlnx，則A.當(dāng)n=1時(shí)，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減B.當(dāng)n=1時(shí)，f(x)在x=2處取到極小值

C.當(dāng)n=2時(shí)，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增D.當(dāng)n=2時(shí)，f(x)在x=2處取到極小值8.已知A，B，C為函數(shù)y=sinx和y=sin(x?t)(t≠kπ,k∈Z)圖象的三個(gè)連續(xù)交點(diǎn)，若△ABC的面積為π，則t的值可以是(

)A.π6 B.π3 C.2π3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在(x?2x)n的展開式中，若所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為A.n=6

B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240

C.展開式中的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等

D.展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為110.已知隨機(jī)變量X～N(1,4)，定義函數(shù)F(x)=P(X≤x)，即F(x)表示隨機(jī)變量X≤x的概率，則(

)A.函數(shù)F(x)在定義域R上單調(diào)遞減 B.F(0)+F(2)=1

C.函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,111.若函數(shù)f(x)=ex與g(x)=kx+b的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則(

)A.當(dāng)b>1時(shí)，k≤0 B.當(dāng)0<b≤1時(shí)，k>e

C.當(dāng)k<0時(shí)，b可取任意實(shí)數(shù) D.當(dāng)k>0時(shí)，k+b的最大值為e三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=ak?1(k=3,4,7)，則實(shí)數(shù)a=13.某班級(jí)需要從甲、乙、丙三人中選出語文、數(shù)學(xué)、英語三門科目的課代表，要求每門科目需要一位課代表，且每人最多能擔(dān)任兩門科目的課代表，則一共有______種不同的選法.(用數(shù)字作答)14.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，球O與棱AB，AD，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行．

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)16.(本小題15分)

已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinA?csinC=bsinB?bsinC．

(1)若a=3，求△ABC外接圓的半徑；

(2)設(shè)△ABC的面積為S，若S=3+17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AD=2AB=2，∠BCD=60°，AB⊥AP，點(diǎn)E滿足PE=2EA，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)．

(1)證明：BD⊥平面PCD；

(2)若二面角E?BF?C的大小為135°時(shí)，求四棱錐P?ABCD的體積．18.(本小題17分)

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，為了檢測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從兩種產(chǎn)品中抽取300件產(chǎn)品作為樣本進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如下表：樣品一等品二等品三等品甲產(chǎn)品603010乙產(chǎn)品1008020(1)依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品為一等品與產(chǎn)品種類是否有關(guān)？

(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，現(xiàn)等可能地從甲、乙兩種產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品．

(i)若抽取1件產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品是一等品，求它是甲產(chǎn)品的概率；

(ii)若抽取3件產(chǎn)品，求抽到一等品的件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．

附：χ2=n(ad?bcP(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小題17分)

設(shè)S，T是兩個(gè)非空數(shù)集，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1?x2∈S時(shí)，f(x1)?f(x2)∈T，則稱f(x)為(S,T)函數(shù)．

(1)設(shè)S=[1,+∞)，T=[2,+∞)，f(x)=kx+c是(S,T)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)設(shè)S={1}，T={2}，f(x)是(S,T)函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=4πsin(πx)，求y=f(x)?2x在答案解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锽={x|2x?3<0}={x|x<log23}，

所以A∩B={?1,0,1}．

故選：D．2.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z滿足z?(1+3i)=2，

∴由題設(shè)z=21+3i=2(1?3i)(1+3i)(1?3i)=12?32i，故B錯(cuò)誤；3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，

所以命題“?a∈R，函數(shù)f(x)=x3?ax2是奇函數(shù)”的否定是“?a∈R，函數(shù)f(x)=x3?ax4.【答案】D

【解析】解：由數(shù)據(jù)得x?=15×(0+1+2+3+4)=2，y?=15×(10+15+20+30+35)=22，

代入經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為y=6.5x+a，得22=6.5×2+a，即a5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榉橇阆蛄縜，b，c滿足|a|=|b|=|c|，c=a+2b，

所以c2=(a+2b)2=a2+4a?b+4b2，

所以|c|2=|a|2=|a|2+4a?b+4|6.【答案】C

【解析】解：由題意，甲繼續(xù)投籃最終得分不低于7分的情況如下：

①僅投籃1次并投中：P1=23=1827，

②投籃2次均投中：P2=23×23=49=1227，

③投籃3次均投中或僅投中2次：P3=(23)37.【答案】D

【解析】解：當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)f(x)=(x?2)lnx，x∈(0,+∞)，

由于導(dǎo)函數(shù)f′(x)=lnx+(x?2)?1x=lnx+1?2x，

令函數(shù)g(x)=lnx+1?2x，x∈(0,+∞)，

由于導(dǎo)函數(shù)g′(x)=1x+2x2>0，

因此函數(shù)g(x)=lnx+1?2x在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增，

又由于g(1)=ln1+1?21=?1<0，g(2)=ln2+1?22=ln2>0，

因此?x0∈(1,2)，使g(x0)=0，

因此?x0∈(1,2)，使f′(x0)=0，

因此函數(shù)f(x)在x∈(x0,+∞)單調(diào)遞增，x∈(0,x0)單調(diào)遞減，

對(duì)于選項(xiàng)A，f(x)在x∈(x0,2)單調(diào)遞增，x∈(0,x0)單調(diào)遞減，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，f′(2)=ln2>0，因此x=2不是f(x)的極值點(diǎn)，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)n=2時(shí)，函數(shù)f(x)=(x?2)2lnx，x∈(0,+∞)，

由于導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2(x?2)lnx+(x?2)2?1x=(x?2)(2lnx+x?2x)，

令函數(shù)?(x)=2lnx+x?2x，x∈(0,+∞)，

由于導(dǎo)函數(shù)?′(x)=2x+2x2>0，

因此函數(shù)?(x)=2lnx+x?2x在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增，

由于?(1)=2ln1+1?21=?1<0，?(2)=2ln2+2?22=2ln2>0，

因此存在m∈(1,2)，使?(m)=0，

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，x?2<0，

而x∈(m,2)時(shí)，函數(shù)?(x)>0，x∈(0,m)時(shí)，函數(shù)?(x)<0，

因此x∈(m,2)時(shí)，f′(x)<0，x∈(0,m)時(shí)，f′(x)>0，

因此函數(shù)f(x)在x∈(0,m)單調(diào)遞增，x∈(m,2)單調(diào)遞減，因此選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，由于f′(2)=08.【答案】C

【解析】解：方法一：因?yàn)閟inx=sin(x?t)，

所以x+x?t=π+2kπ，k∈Z，

所以x=t2+π2+kπ,k∈Z，

因?yàn)锳，B，C為連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)，故不妨設(shè)k=0，1，2，

此時(shí)A(t2+π2,sin(t2+π2)),B(t2+3π2,sin(t2+3π2)),C(t2+5π2,sin(t2+5π2))，

即A(t2+π2,cost2),B(t2+3π2,?cost2),C(t2+5π2,cost2)，

所以|AC|=2π，點(diǎn)B到AC的距離?=|2cost2|，

所以SΔABC=12?|AC|??=12?2π?|2cost2|=2π?|cost2|=π，

所以|cost2|=12，

所以cost2=±12，

解得t2=±π3+kπ,k∈Z，

所以t=±2π3+2kπ,k∈Z，

所以k=0時(shí)，t=2π3符合題意．

方法二：如圖①所示，分析圖象可知，|AC|=2π，且AC/?/x軸，9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，由題意可得二項(xiàng)式系數(shù)和為2n=64，解得n=6，故A正確；

對(duì)于B，(x?2x)6展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C6kx6?k(?2x)k=C6k(?2)kx6?3k2，k=0，1，…，6，

令6?3k2=0，得k=4，即常數(shù)項(xiàng)為T5=C64(?2)4x0=240，故B正確；

對(duì)于C，第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為C6210.【答案】BD

【解析】解：已知隨機(jī)變量X～N(1,4)，定義函數(shù)F(x)=P(X≤x)，

即F(x)表示隨機(jī)變量X≤x的概率，

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)F(x)=P(X≤x)在定義域R上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；

因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(1,4)，

則F(0)+F(2)=P(X≤0)+P(X≤2)=P(X≤0)+1?P(X>2)=1，B正確；

若函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

則F(x)=F(2?x)，而F(2?x)=P(X≤2?x)，

只有當(dāng)x=1時(shí)才成立，C錯(cuò)誤；

若F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,12)中心對(duì)稱，則F(x)+F(2?x)=1，

因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,4)，所以F(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，

所以P(X≤x)=P(X≥2?x)，

則F(x)+F(2?x)=P(X≤x)+P(X≤2?x)=P(X≥2?x)+P(X≤2?x)=1，

D正確．

故選：BD．

由正態(tài)分布可得函數(shù)F(x)=P(X≤x)在定義域R上單調(diào)遞增，判斷A；由正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷B；通過判斷F(x)=F(2?x)是否成立可判斷C；證明F(x)+F(2?x)=1可判斷D11.【答案】ACD

【解析】解：在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)=ex與g(x)=kx+b的圖象．

由圖易知選項(xiàng)AC正確；

當(dāng)b=1時(shí)，易知f(x)=ex在x=1處的切線方程為y=x+1，

此時(shí)函數(shù)f(x)=ex與g(x)=kx+b的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且k=1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)k>0時(shí)，g(x)=kx+b與f(x)=ex相切，設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0)，則f′(x)=ex，則k=ex0ex0=kx0+b，

則b=k?klnk，則k+b=2k?klnk．

令?(k)=2k?klnk，則?′(k)=1?lnk，所以y=?(k)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

所以?(k)max=?(e)=e，即k+b的最大值為e，故D正確．

故選：ACD．

在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)=ex與g(x)=kx+b的圖象，由圖易判斷選項(xiàng)AC；

當(dāng)b=1時(shí)，易知f(x)=ex在x=1處的切線方程為y=x+112.【答案】1

【解析】解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=ak?1(k=3,4,7)，

則P(X=3)+P(X=4)+P(X=7)=1，即a2+a3+a6=1，解可得a=113.【答案】24

【解析】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論即可，

第一種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排，則有A33=6種；

第二種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排時(shí)，

先選兩人出來，有C32=3種，

再將三門不同科目分為兩組，有C32=3種情況，

再將科目分給學(xué)生有A22=2種，

所以不同的安排方案有C314.【答案】4?2【解析】解：棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，球O與棱AB，AD，AA1均相切，且與側(cè)面BCC1B1也相切，

由對(duì)稱性可知，球心O在立方體對(duì)角線AC1上．

過O作OF⊥BC1，可知OF⊥平面BCC1B1，

故球O與平面BCC1B1相切于點(diǎn)F，所以|OF|為球O的半徑r；

過O作OE⊥AB，故球O與AB相切于點(diǎn)E，所以|OE|為圓O的半徑r．

15.【答案】?3．

單調(diào)遞減區(qū)間為(12,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,12)和(1,+∞)；

極大值f(【解析】(1)根據(jù)題意，f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，

那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1x+2x+a，

由于f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行，

因此f′(1)=3+a=0，

解得a=?3．

(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)．

且導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1x+2x?3=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，

當(dāng)x∈(12,1)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0；

當(dāng)x∈(0,12)∪(1,+∞)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，

因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(12,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,12)和(1,+∞)，

所以當(dāng)x=12時(shí)，函數(shù)16.【答案】1‘

B=π4或B=【解析】(1)在△ABC中，∵asinA?csinC=bsinB?bsinC，

∴由正弦定理可得a2?c2=b2?bc，即b2+c2?a2=bc，

∴由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=12，

∵A∈(0,π)，∴A=π3，∴2R=asinA=3sinπ3=2，∴△ABC外接圓的半徑為1；

(2)由(1)知A=π3，

∵S=12bcsinA=3+312a2，∴由正弦定理可得1217.【答案】證明見解析；

1．

【解析】(1)證明：連結(jié)BD，在△BCD中，BC=2，CD=1，∠BCD=60°，

由余弦定理BD2=1+4?2×1×2×cos60°=3，即BD=3，

此時(shí)BD2+DC2=BC2，∴BD⊥DC，

又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥平面PCD．

(2)如圖建系，以D為原點(diǎn)，CD,DB方向?yàn)閤，y軸，垂直于xDy平面向上的方向?yàn)閦軸，

設(shè)P(x,0,z)，則D(0,0,0)，A(1,3,0)，B(0,3,0)，F(xiàn)(12,32,0)，

∴AP=(x?1,?3,z)，AB=(?1,0,0)，

由AB⊥AP，得AB?AP=0，即x=1，

由PE=2EA，得E(1,233,z3)，

∴BF=(12,?32,0)，BE=(1,?33,z3)，

設(shè)n1=(a,b,c)是平面BEF的法向量，

則18.【答案】無關(guān)；

(i)611；(ii)【解析】(1)根據(jù)題意，補(bǔ)全題干中的2×2列聯(lián)表如下所示：一等品非一等品總計(jì)甲產(chǎn)品6040100乙產(chǎn)品100100200總計(jì)160140300零假設(shè)H0：產(chǎn)品為一等品與產(chǎn)品種類無關(guān)聯(lián)，

將表格數(shù)據(jù)代入公式可得：χ2=300(60×100?40×100)2160×140×100×200=7528≈2.679<3.841．

根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充足的證據(jù)推斷H0不成立，所以認(rèn)為產(chǎn)