常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案第四章奇解習(xí)題4-11.求解下列微分方程:(1).2y?p2?4px?2x2,(p?解:y?p22dydx);?2px?x2dpp?pdp?2p?2x?2xdp?(p?2x)dp?(p?2x)?0?(p?2x)(?1)?0.a.p?2x?0?p??2x(特解)?y?2x2?4x2?x2??x2(特解)b.dp?1?0??x22dp??1?p??x?C?y?(?x?C)?2(?x?C)x?x2?y?2?Cx?12C(通解)dydx(2).y?pxlnx?(xp)2,(p??(lnx?2xp)(xdp?p)?0.);dp22解:p?xlnxdp?p(lnx?1)?2xp?2xpxa.lnx?2xp?0?lnx??2xp?p??ln2xxlnx2lnx?y??lnxlnx?[x(?2x2x)]?y??2?2ln2x4x??ln42b.xxdp?p?0?p??y?Clnx?C2C?y?C2xlnx?(xC)(3).2xp?2tany?p3cos2y.解:x?1tany?x?qtany?cos2y2q2p2cos2y,令q?1?dx,,2cosy(?siny)2q222q?tanydq?qsecy?2?tanydqdy?qtany?y?cos3q2dq?cosysinyq22y?cos3qdqdy?0cosydq?tany(dq?qtany)?(dy?qtany)?0dyq3cosy?(dq?qtany)(tany?q3)?02a.dqdy?qtany?0?b.tany?2dqdy??qtany?q?Ccosy?x?Csiny?3cos3y2C2cos2yq?0?q?22?q?cosyysin?x?cosysintany?cos2t2cosysin3yy33?sin3y?2siny?2siny2.用參數(shù)法求解下列微分方程:2(1)2y2?5(dy)?4dx解:令y?由p?dy2225cost,p?sintdy2525sint,y?2cost,p?255sint,???x???,?a.當(dāng)sint?0?dx??y?2sint?d(2cost)25?22sintdt25sint??dt?x??dt?C(?x?C)]?2cos[(?x?C)]b當(dāng)sint?0?cost??1?y??(2).x2?3(dy2)?1.dxshtet?e?tet?e?t,cht?,sht?22解:令x?cht,p?dyshtshtshtsh2t??dy?dx?d(xht)?dtdx333故y????sh2t1?C812t?2t(e?e?2)d(2t)?C?811t?(sh2t?)?C2422(3).(dy)?y?x?0.dx(e2t?e?2t?4t)?C解:令x?u,p?v,y?u2?v2,dy?pdx2udu?2vdv?vdu?(2u?v)du?2vdv?dvdu?2u?v2v???uv22?uv2u齊次方程令v?t,u?vt,?dv?t?1?22t?12t?1?tdv?vdt?2dvvdt?t?vdv?dt?vdv?2?2t2?t2t?1??2t?12?2t2?tdtlnv??2t?1?C2?2t2?t2t?1???2dt?C2t?t?2??2t?112t?dt??2t2?t?2?2t2?t?2dt2t2?t?21dt12tdt????222(t?2(t?4)?164)?162)?171d[(t?11dt1dt]?????2221717172(t?14?(t?12?(t?1)?)?)?11171dt??ln(t?)???21724164(t?1)?1dt1?2?174?(t?14)?(t?4164???dt4)(t?4?444)4121(4?t?4?12ln|t?1?t??14?|1t?4?)dtt?117故??2t2dt??22ln(t?)?16??t?2242ln|t?1?t??1441|.v?eC1t?4?4t?4?4(t?4?t?4?)2121?121?21?12?C(t??)(t??)4444令???4?124,???4?144?114,v?C(t??)144?114?1?122?1,v?C(t??)(t??)?u?C(??)4v14?u(??)4v?C(u??v)v?144?1(u??v)v144?111??4411??44?144?11144?1故11?C(u??v)(u??v)1?44?1(u??v)?C(u??v)?C(u??v)?C(u??v)1?44??141??44(u??v)4(u??v)1??44(u??v)??C(u??v)??y?x2?p2(通解),????(x??p)?C(x??p)特解:2?2t2?t?0?t??y?x2?1?u1?4???v?u4v41?16162?2222x?x(1?)?x22(1?)(1?)18?21?9??1?22?2a.y?18x??2x2?(1?)(9?)x2??8?8x2?2?1?21x2?1?x?ax222?21b.y?18x??x?22?y?1?x,故?(特解)21?y??x,dy3(4).x?(dy)?4x.dydy332(dy)?4x?x?x(4?x).dxdxdx令p?dydx?xt,?x3t3?x2(4t?x),?xt3?4t?x,?x?1?t324t4tdy?xtd(1?)?14?tt3d(1?),?y??(1?8?t3t3t3)24tx?1?,??t3故?(通解)821y????C,?1?t3(1?t3)2?211?t3?C習(xí)題4-21.利用p-判別式求下列微分方程的奇解:dydy2?();dxdx?F(x,y,p)?xp?p2?y?0x2解:?y???4x?2p?0?(1).y?x而y??"ppxdpdp’2?x為(1)的解,而Fp?2p?1|x2??1?0x|y??y??4dydy44'2py??x42F?2?0,F|x2?x?x?0,故y??為(1)的奇解。4dydy2?();dxdx?F(x,y,p)?2xp?p2?y?0解:?y??x2不是(2)的解?2x?2p?0?(2).y?2xdy24)?y;dx94?(?(y?1)2p2?y?0解:?y?0為(3)的解?92??2(y?1)p?0(3).(y?1)2(Fp'?2(y?1)p2?"Fpp|y?044???0.992(y?1)2?2?0,Fp'|?0,y?0故y?0為(3)的奇解。習(xí)題4-31.試求克萊洛方程的通解及其包絡(luò):y?xp??(p),(p?解:通解為y?Cx??(C),(?C)特解為x???'(p),y???'(p)p??(p),p??(x),y?x?(x)??(?(x)).判斷y?x?(x)??(?(x))是否為奇解。(是)?y?Cx??(C)?0,?x???'(C)?C??(x)?y?x?(x)??(?(x))??x??'(C)?0.??:x?C,y?y?C?(C)??(?(C)),?;x???'(C),y??C?'(C)??(C)dy,1)?(0,0).dx故通解為y?Cx??(C),(?C),特解為x???'(p),y???'(p)p??(p),?:x???'(C).其中(??"(C),??'(C))?(0,0),(?C?dy),?"(p)?0.dxy??C?'(C)??(C)克萊洛方程的包絡(luò)。2試求一微分方程,使它有奇解為y?sinx解:領(lǐng)x?C,y?sinC,?(x?C)2?y?sinC?0,dy?y?sinx,(1,cosC)?(0,0),(2(x?C)??cosx,1)?(0,0).?dx?2(x?C)?0,??(x?C)2?y?sinx?0,(cosx??p)2(cosx?p)2?2?(x?C)?,?y?sinx?.?y?dy??2(x?C)??cosx?0,44?dx?xp?parosp??p2故微分方程y?xp?parosp??p2有奇解為y?sinx.試論常微分方程的奇解摘要:一階微分方程擁有含有一個(gè)任意常數(shù)的通解,另外可能還有個(gè)別不含于通解的特解,即奇解,利用P-判別法和C-判別法可以求出奇解,而這兩種判別法是否適用于求每一個(gè)一階微分方程的奇解?此文中舉了幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.并給出另外三種求奇解的方法.關(guān)鍵詞:一階微分方程,奇解,P-判別式,C-判別式,C-P消去法,拾遺法,自然法.DiscussingSingularSolutionaboutFirstOrderDifferentialEquationZHUYong-wang(Class1,Gradexx,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:ProfessorLIJian-minAbstract:Firstorderdifferentialequationhasageneralsolutionwhichcontainsanarbitraryconstant,butsometimesithasspecialsolutionthatissingularsolution,whichcanbesolvedbytheP-judgmentmethodandC-judgmentmethod.Whilewhetherthetwojudgmentscanbeappliedtogeteverysingularsolutiontothefirstorderdifferentialequation?Thispaperintendstoillustratethisproblemwithseveralexamples.Keywords:Singularsolution,P-judgment,C-judgment,C-Peliminationmethod,Thesupplementmethod,Naturalmethod.1.引言一般來(lái)說(shuō)一階常微分方程擁有任意常數(shù)的通解,另外還有個(gè)別不含于通解的特解.這種特解可以理解為通解的一種蛻化現(xiàn)象.它在幾何上往往表現(xiàn)為解的唯一性遭到破壞.早在1649年萊布尼茲就已經(jīng)觀察到解族的包絡(luò)也是一個(gè)解.克萊絡(luò)和歐拉對(duì)奇解作了某些討論,得出了P－判別式求奇解的方法.拉格朗日對(duì)奇解和通解的聯(lián)系作了系統(tǒng)的研究,給出C－判別式求奇解的方法和奇解的積分曲線族的包絡(luò)這一幾何解釋.2.奇解、包絡(luò)、C-判別式、P-判別式的定義及問(wèn)題出近幾年許多學(xué)者對(duì)常微分方程這方面特別關(guān)注,在一階常微分方程有奇解的條件、常微分方程奇解的求法、擺線的構(gòu)成和奇解的聯(lián)系、Cornwall不等式的應(yīng)用及微分方程的奇解等方面有大量的文章發(fā)表,由此可見(jiàn),人們對(duì)微分方程的奇解有了很深的認(rèn)識(shí).微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定義:微分方程的某一個(gè)解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一個(gè)點(diǎn)上至少還有方程的另外一個(gè)解存在,也就是說(shuō)奇解是這樣的一個(gè)解,在它上面的每一個(gè)點(diǎn)唯一性都不成立,或者說(shuō)奇解對(duì)應(yīng)的曲線上每一個(gè)點(diǎn)至少有方程的兩條積分曲線通過(guò).包絡(luò)的定義:設(shè)在平面上有一條連續(xù)可微的曲線?,q??.在曲線族V?x,y,C??0中都有一條曲線K?C*?通過(guò)q點(diǎn)并在該點(diǎn)與?相切,而且K?C*?在q點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)不同與?,則稱曲線?為曲線族V?x,y,C??0的一支包絡(luò).從奇解和包絡(luò)的定義容易知道一階微分方程的通解的包絡(luò)(如果它存在的話)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的話)也是微分方程的通解的包絡(luò).因而,為了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包絡(luò).對(duì)于一階微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,則此奇解一定滿足兩個(gè)判別式,即P－判別式和C－判別式.定理1?1?:設(shè)函數(shù)F(x,y,p)對(duì)(x,y,p)?G是連續(xù)的,而且對(duì)y和p有連續(xù)的偏微?J)商F'y和F'p,若函數(shù)y=?(x)(x是微分方程F(x,y,y')?0的一個(gè)奇解,并且?(x)?x.?(x).??'G(x?則奇解J)y=?(x)滿足一個(gè)稱之為P-判別式的聯(lián)立方程F(x,y,p)?0,F'p?x,y,p??0其中p?y.定理2:設(shè)微分方程V(x,y,c)?0有?1?F(x,y,y)?0有通積分V(x,y,c)?0又設(shè)積分曲線y=?(x)滿足C－判別式的聯(lián)y=?(x)?x?J?則立方程V(x,y,c)?0,V'c(x,y,c)?0.以上兩個(gè)定理是奇解的必要條件,也就是說(shuō)用C－判別式和P－判別式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一階微分方程的奇解時(shí)通常都會(huì)采用這兩個(gè)判別式.由?1?中奇解部分的定理2和定理5知,只要求解是微分方程的解,用P－判別式求出的解滿足:'?F?y(x,y,p)?0?'',??Fpp(x,y,p)?0用C-判別式求出的解滿足非蛻化條件:???'?C?,?'?C????0,0???,''???Vx,Vy???0,0?則此解就是奇解,既然C－判別式和P－判別式是求奇解的方法,那么是不是這兩個(gè)判別式(C－判別式和P－判別式)對(duì)所有一階微分方程求奇解都有效?3.幾個(gè)例子利用P－判別式和C－判別式對(duì)一些一階微分方程進(jìn)行求解的運(yùn)算,看看會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果?【例1】:求的奇解?y'??y?x?02解:令y'?p,利用P－判別式:?p2?y?x?0;??2p?0消去P得y?x,但y?x不是微分方程的解,所以原方程無(wú)奇解.我們可以發(fā)現(xiàn)利用P－判別式求出的解不一定是奇解.那么利用C－判別式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我們接著看下一個(gè)例子.3?2【例2】:求y?y3的奇解.5'解:原方程的通解為:y??x?c?C－判別式為:353??5?0?y??x??;23???x?c?3?0?5消去C得y=0,但y=0不是方程的解,所以原方程無(wú)奇解.以上兩個(gè)例子充分說(shuō)明了C－判別式和P－判別式是求奇解的必要條件.xy【例3】:求微分方程???y?1?y???ye的奇解.'2解:原方程的P－判別式為:2?y?1p2?yexy?0????;2??2p?y?1??0消去P得y=0易知y=0是微分方程的解.而且:'?F?y(x,y,p)??1?0?''??Fpp(x,y,p)?2?0所以y=0是微分方程的奇解.?1?'?y?1y:求??????2【例4】4y.9解:首先我們不難求出微分方程的通積分:?x?c??y?y?3??0(?)由C－判別式:22?x?c?yy?3????0??(其中C為任意常數(shù))????2?x?c??022確定二支連續(xù)可微的曲線y?0和y?3,對(duì)他們分別作如下形式的參數(shù)表示式:?1:x?cy?0????c????2:x?cy?3????c???容易驗(yàn)證?1滿足相應(yīng)的非蛻化條件:???'?C?,?'?C????0,0??,?''???Vx,Vy???0,0?因此?1是積分曲線族(?)的一支包絡(luò),從而它是微分方程的奇解.而?2不滿足相應(yīng)的非蛻化條件,所以還不能斷言?2是否為包絡(luò),不過(guò)我們可以利用簡(jiǎn)單的作圖得知?2不是曲線族(?)的包絡(luò),因此它不是奇解,雖然它是微分方程的解.從例3.例4兩題中,可以發(fā)現(xiàn),如果利用P－判別式來(lái)求奇解可以直接從方程出發(fā),而如果要用C－判別式需要求出通解,但是無(wú)論用哪一判別式要使求得的解為奇解,則此解一定滿足:用P－判別式時(shí)滿足:'??Fy(x,y,p)?0;?''??Fpp(x,y,p)?0用C－判別式時(shí)滿足:???'?C?,?'?C????0,0??.?''???Vx,Vy???0,0?對(duì)于一些微分方程既能用P－判別式又能用C－判別式求奇解,我們接著看一道例題.dy?dy?【例5】:求???x?y?0的奇解.dx?dx?dy?p,則P-判別式:解:法一:令dx?p2?xp?y?0;??2p?x?0?5?2x2消去P得y??.4法二:方程的通解為y?cx?c2C－判別式:復(fù)習(xí)計(jì)劃一、專業(yè)課復(fù)習(xí)思路1.關(guān)于教材:(1)選擇哪個(gè)課本:北師大通常情況下會(huì)指定兩本教材參考書(shū),考生總是面臨選擇哪本參考書(shū)以及看一本還是看兩本的問(wèn)題,我的答案是根據(jù)自己的興趣特點(diǎn),在北師大指定的兩本參考教材中選擇其中一本為主,建議選擇本科階段使用過(guò)的那本教材,因?yàn)檫@本教材相對(duì)而言比較熟悉,也可以喚起課堂時(shí)的記憶,對(duì)于復(fù)習(xí)有極大地好處,如果條件允許另外一本參考教材最好也看一看,考生可以網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)或者在圖書(shū)館借閱的方式,讀另一本教材的好處是可以補(bǔ)充一下知識(shí)點(diǎn),這樣可以避免考題中出現(xiàn)沒(méi)有復(fù)習(xí)到的情況,在11年的考題中就出現(xiàn)過(guò)這樣的情況,考題中知識(shí)點(diǎn)是一本教材上沒(méi)有的,對(duì)于那些沒(méi)有看這本教材的就吃了很大的虧,所以選擇一本自己喜歡的教材為主線,另一本教材補(bǔ)充性的看看。(2)課本的利用:很多考生復(fù)習(xí)時(shí)不知道該如何利用教材,更有考生把教材簡(jiǎn)單的視為例題或者輔導(dǎo)書(shū)書(shū)使用,這是大錯(cuò)特錯(cuò)的,正確的復(fù)習(xí)方法是復(fù)習(xí)過(guò)程中一定要以教材為主,因?yàn)楸睅煷髷?shù)學(xué)專業(yè)對(duì)內(nèi)容不會(huì)制定大綱,這從某一種程度上增加了考試的難度,使得考生很難把我重點(diǎn),今年的考題側(cè)重這一塊,明年這一塊的內(nèi)容不出現(xiàn)的情況也是有的,所以在復(fù)習(xí)過(guò)程中一定要全面,不要去預(yù)感考哪個(gè)知識(shí)點(diǎn),但是對(duì)于某個(gè)知識(shí)點(diǎn),考生可以猜想或者想象一下針對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可能出現(xiàn)什么題型,怎么考,我怎么答,考生復(fù)習(xí)過(guò)程中要注意一定把基礎(chǔ)知識(shí)打牢、夯實(shí),不要貪圖速度而忽略復(fù)習(xí)的質(zhì)量,對(duì)于考試要以不變的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)萬(wàn)變的題型,抓住課本中講到的內(nèi)容,不放過(guò)細(xì)節(jié),不能存在僥幸心理,僥幸心理可能會(huì)使考生在考場(chǎng)上失敗。(3)如何熟悉課本:總會(huì)有考生會(huì)問(wèn)我要看幾遍課本,看幾遍才能考上,請(qǐng)務(wù)必注意,考上與否不取決于看了幾遍課本而取決于課本上的知識(shí)點(diǎn)掌握了多少掌握的怎么樣,然而,不得不承認(rèn),課本看的次數(shù)多對(duì)于熟悉課本有很大的幫助,但是,不要貪圖次數(shù),要保證看的每一次都很認(rèn)真,看完之后內(nèi)容都很清楚,基本要求是這樣的,第一遍看課本要求看懂所有的內(nèi)容并對(duì)課后習(xí)題做出解答;第二遍看完課本要求對(duì)書(shū)上的定理足夠熟練,明確知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,做相應(yīng)的輔導(dǎo)書(shū),逐塊擊破;第三遍看完課本要求能對(duì)書(shū)上的大部分定理給出證明過(guò)程并且熟練,能給出針對(duì)自身的知識(shí)點(diǎn)總結(jié);如果有時(shí)間可以再看一遍課本,更加熟悉內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)。2.關(guān)于輔導(dǎo)書(shū):輔導(dǎo)書(shū)可以分為以下幾類:歷年真題,針對(duì)教材的課外輔導(dǎo)書(shū),下面詳細(xì)說(shuō)明數(shù)學(xué)專業(yè)如何使用這兩種輔導(dǎo)書(shū)。(1)歷年真題:北師大數(shù)學(xué)專業(yè)的真題公布到07年,也就是說(shuō)07年后的真題很難弄到,細(xì)心的話就能發(fā)現(xiàn)為什么07后的真題開(kāi)始不公布了呢,正是說(shuō)明07年后考題出現(xiàn)了變化,而且這種變化某種程度上還是比較大的,那么心里就會(huì)出現(xiàn)這樣的疑問(wèn),07年以前的真題豈不是沒(méi)用了嗎,答案當(dāng)然是不,當(dāng)然有用,用處就是知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面,因?yàn)闆](méi)有大綱,所以很難知道那些很不重要的內(nèi)容會(huì)不會(huì)考,有了真題,這個(gè)問(wèn)題就不難了,如果沒(méi)有出現(xiàn)在07年以前真題中的知識(shí)點(diǎn),就可以放松警惕了,而把注意力集中在真題中出現(xiàn)過(guò)的知識(shí)點(diǎn),如果有07年以后的真題,從這些知識(shí)點(diǎn)中可以參考的是考題的難度,不能參考的是知識(shí)點(diǎn),因?yàn)榻衲甑闹仉y點(diǎn)明年很可能就不出現(xiàn)了,當(dāng)然也是可以出現(xiàn)的,所以從07后的真題中只要把握住考題的難度就可以了。(2)課外輔導(dǎo)書(shū):首先說(shuō)一下輔導(dǎo)書(shū)的選擇,在備考的過(guò)程中不建議使用吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集,輔導(dǎo)書(shū)上的題目不要太怪太偏僻,目的是考研,當(dāng)然要選擇適合考研的輔導(dǎo)書(shū),我建議每一門(mén)功課都要有至少一本的課外輔導(dǎo)書(shū),但是輔導(dǎo)書(shū)多也不是一件好事,眾多的輔導(dǎo)書(shū)又如何使用呢,針對(duì)每一門(mén)課程,都要選擇一本且僅選擇一本參考書(shū)為主線,通過(guò)這本參考書(shū)熟悉知識(shí)點(diǎn),對(duì)于這本參考書(shū)上的題目最好能夠進(jìn)行總結(jié)歸類,得到啟發(fā),舉一反三,最佳的狀態(tài)就是自己能夠通過(guò)參考書(shū)上題目的啟發(fā)猜想出可能的考題,不得不說(shuō),很多參考書(shū)上的題目類型都大同小異,所以,對(duì)于其他的參考書(shū)遇到相同的類型的題目想完思路直接略過(guò),不必多看,但是對(duì)于沒(méi)出現(xiàn)的題型就要認(rèn)真做,做好總結(jié),為主線的參考書(shū)做補(bǔ)充,只做補(bǔ)充,題型歸類在復(fù)習(xí)中也是很重要的。二、專業(yè)課復(fù)習(xí)方法此專業(yè)考察內(nèi)容包括一下幾門(mén)課程:數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),毋庸置疑,其中數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)式這些課程的基礎(chǔ),應(yīng)該最先把握也要把握的最好,相對(duì)而言高等代數(shù)式比較容易掌握的,數(shù)學(xué)分析還是有些難度的,常微分方程和概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)也要得到重視,復(fù)習(xí)方法就是反復(fù)研讀教材,在不離開(kāi)教材的前提下?tīng)?zhēng)取多做些參考書(shū)。下面詳細(xì)說(shuō)明一下具體的復(fù)習(xí)方法。首先,在北師大指定的教材參考書(shū)中選擇一本為主線,另一本為補(bǔ)充,在第一遍復(fù)習(xí)教材的階段要仔細(xì)研讀教材,同時(shí)通過(guò)07年以前真題的覆蓋知識(shí)點(diǎn)去判斷哪些部分考哪些部分不考,對(duì)于每一章的內(nèi)容都應(yīng)該予以重視,復(fù)習(xí)過(guò)程中切記一定要全面,不要遺漏知識(shí)點(diǎn),每一章復(fù)習(xí)結(jié)束都要相應(yīng)做課后習(xí)題,并且進(jìn)行總結(jié),總結(jié)包括對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)、對(duì)題型及解決方法總結(jié),同時(shí)標(biāo)記自己錯(cuò)的地方以及自己認(rèn)為的重難點(diǎn),在復(fù)習(xí)下一章時(shí)可以翻翻前面的內(nèi)容,免得忘記,第一遍復(fù)習(xí)時(shí)要求熟悉知識(shí)點(diǎn)和書(shū)上的定理,但對(duì)于書(shū)上的證明過(guò)程要求看懂即可。第二步,在復(fù)習(xí)完數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的基礎(chǔ)上,可以展開(kāi)對(duì)常微分和概率論的復(fù)習(xí)了,但同時(shí)數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)可以開(kāi)始看第二遍了,這就要求學(xué)員要安排好自己的時(shí)間,應(yīng)對(duì)緊張的復(fù)習(xí),常微分與概率論的第一遍復(fù)習(xí)方法與數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)同,不過(guò)要注意課后習(xí)題要選擇性的去做,第二遍復(fù)習(xí)數(shù)分高代時(shí)要求要更高些,對(duì)知識(shí)點(diǎn)要熟記,要主動(dòng)思考知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,自己想象可能出現(xiàn)的題型,對(duì)于知識(shí)點(diǎn)要熟記,定理的證明要更加熟悉。第三步,在第二遍復(fù)習(xí)教材過(guò)程中要選擇參考書(shū)使用,在復(fù)習(xí)完一章或一個(gè)知識(shí)點(diǎn)后做相應(yīng)的參考書(shū),翻翻歷年真題的難度和考察形式,注意參考書(shū)的內(nèi)容不是所有都適合,選擇性的去做,因?yàn)槲覀儠r(shí)間是有限的,不肯能做很多的參考書(shū),只要選擇代表性的題目就可以了,同時(shí),要做好總結(jié)。第四步,最后一遍系統(tǒng)的去看教材,這一遍看教材要求學(xué)員不僅要熟記知識(shí)點(diǎn),還要熟記重要定理的證明過(guò)程,把握各章之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系,教材看三遍以后可能還有些知識(shí)點(diǎn)不太熟悉,這時(shí)就針對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)各個(gè)擊破,目的就是熟悉不斷的熟悉教材,同時(shí)要做相應(yīng)的題目,看看那些做過(guò)的題目現(xiàn)在最有什么新的感受或者方法。注意:1.系統(tǒng)看完教材后,復(fù)習(xí)過(guò)程中或在做相關(guān)題目時(shí)凡是遇到不熟悉的知識(shí)點(diǎn)都要拿起課本去查閱;2.我反復(fù)強(qiáng)調(diào)總結(jié),事實(shí)上總結(jié)在復(fù)習(xí)過(guò)程中是非常重要的,它可以使知識(shí)點(diǎn)在我們腦海中形成一框架,加深我們的理解;3.在心態(tài)上,千萬(wàn)不能存在僥幸心理,僥幸心理會(huì)讓我們遺漏知識(shí)點(diǎn),最終在考試中失敗。三、專業(yè)課復(fù)習(xí)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)本專業(yè)考查內(nèi)容包括數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),下面分別介紹一下這幾門(mén)課程的重點(diǎn)。(1)數(shù)學(xué)分析:在數(shù)學(xué)分析考察中極限、連續(xù)、微分、積分、微分中值定理、積分中值定理、泰勒公式的計(jì)算與證明、級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)斂散性判別法、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的計(jì)算都毫無(wú)疑問(wèn)的是重點(diǎn),而多元函數(shù)極限、連續(xù)、梯度等問(wèn)題也不能忽視,去年在這部分就有相關(guān)的題目出現(xiàn)。(2)高等代數(shù):高代第一章多項(xiàng)式雖然不是重點(diǎn),但也不排除考察的可能性;行列式,線性方程組、矩陣去年都考察過(guò),題目難度和課后題相近,因此也是重點(diǎn),同時(shí)這幾章重要性也在于它是后面幾章的基礎(chǔ);二次型、線性空間、線性變換、歐式空間非常重要,同時(shí)要注意這幾章中定理的證明過(guò)程,11年考題中出現(xiàn)過(guò)書(shū)上定理的證明;第八章07年以前考察過(guò),近幾年沒(méi)有考察,考生還是要研讀,不能掉以輕心;最后一章辛空間也要看看。(3)常微分方程:去年常微分仿考題比較簡(jiǎn)單,覆蓋面很全,重點(diǎn)很難把握,建議學(xué)員復(fù)習(xí)時(shí)要全面,比如一階微分方程的常用解法,變量分離、恰當(dāng)微分方程、伯努利方程、隱式微分方程、正交軌線、高階微分方程、微分方程組求解方法、解的存在唯一性定理這些都是很重要的,知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用要靈活。(4)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì):這門(mén)課包括概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分,這兩部分都很重要,概率論中隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)、離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、常見(jiàn)分布、二維離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性都是很重要的;數(shù)理統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)變