第10節(jié)函數(shù)與方程課標(biāo)要求1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.【知識(shí)梳理】1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②____________<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).【診斷自測(cè)】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝2x的零點(diǎn)為0.()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)y＝f(x)(x∈D)在區(qū)間(a，b)?D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).()2.(蘇教必修一P253T8改編)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3 B.2C.7 D.03.(北師大必修一P132T3(2)改編)函數(shù)f(x)＝log2x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)4.(人教A必修一P156T13改編)若函數(shù)f(x)＝2x＋a在(－1，1)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________.考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1(1)(2025·東北師大附中模擬)方程log3x＋x＝2的根所在區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)思維建模確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.訓(xùn)練1(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程lnx－x＋2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為()x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123A.(1，2) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，5)(2)(2025·南昌調(diào)研)函數(shù)f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，函數(shù)g(x)＝f(x)＋2x－6的零點(diǎn)為a，且a∈(n，n＋1)(n∈N)，則n＝________.考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2(1)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝2x－1，則方程f(x)＝|log9x|的實(shí)根的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4C.5 D.6思維建模求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn).(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).訓(xùn)練2(1)(2025·海南質(zhì)檢)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3(2)函數(shù)f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝x2－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[－3，3]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.6 B.7C.8 D.9考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用角度1根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例3(2025·北京朝陽(yáng)區(qū)質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(m,x－2)(m∈R)，則“－3<m≤0”是“f(x)在區(qū)間(－1，2)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件角度2根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)范圍例4已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C.(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))思維建模已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問(wèn)題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.訓(xùn)練3(1)(2025·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－4x＋m)(4eq\f(x,3)－m－1)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)m的取值個(gè)數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4(2)函數(shù)f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<－eq\f(1,2) B.a<－eq\f(3,2)C.－eq\f(3,2)<a<－eq\f(1,2) D.a<－eq\f(3,4)嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問(wèn)題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，設(shè)中間函數(shù)為t，通過(guò)換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.一、判斷嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例1(2025·漳州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,－|x＋1|＋1，x≤0，))則函數(shù)g(x)＝f(f(x)－1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3 B.5C.6 D.8二、由嵌套函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)例2(2025·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，x>0.))若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋(m－4)f(x)＋2(2－m)＝0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[1，3) B.(0，2)C.[1，2) D.(0，1)訓(xùn)練(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs