第四章曲線運(yùn)動(dòng)萬有引力與航天

1.通過實(shí)驗(yàn)，了解曲線運(yùn)動(dòng)，知道物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件.

2.通過實(shí)驗(yàn)，探究并認(rèn)識(shí)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.會(huì)用運(yùn)動(dòng)合成與分解的方法分析平拋運(yùn)動(dòng).體

會(huì)將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為簡單運(yùn)動(dòng)的物理思想.能分析生產(chǎn)生活中的拋體運(yùn)動(dòng).

3.會(huì)用線速度、角速度、周期描述勻速圓周運(yùn)動(dòng).知道勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的大小和

課方向.通過實(shí)驗(yàn)，探究并了解勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系.能

程用牛頓第二定律分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.了解生產(chǎn)生活中的離心現(xiàn)象及其產(chǎn)生的原

標(biāo)因.

準(zhǔn)4.通過史實(shí)，了解萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程.知道萬有引力定律.認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)萬有引力定律

的重要意義.認(rèn)識(shí)科學(xué)定律對人類探索未知世界的作用.

5.會(huì)計(jì)算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度.

6.知道經(jīng)典力學(xué)的局限性，初步了解相對論時(shí)空觀和微觀世界的量子特征.體會(huì)人類對自

然界的探索是不斷深入的.

1.理解物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件，理解向心力、向心加速度等概念.

2.掌握平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律.

3.會(huì)用運(yùn)動(dòng)與相互作用知識(shí)分析曲線運(yùn)動(dòng)問題.

物理觀念4.了解萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程及重要意義.

5.掌握萬有引力定律的應(yīng)用.

6.會(huì)計(jì)算環(huán)繞速度.

核7.運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀念拓展對天體運(yùn)動(dòng)的探究.

心1.會(huì)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法分析平拋運(yùn)動(dòng)，會(huì)用牛頓第二定律分析圓

素周運(yùn)動(dòng).

養(yǎng)科學(xué)思維2.體會(huì)將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡單運(yùn)動(dòng)的思想方法，認(rèn)識(shí)其物理模型特征.

3.運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)分析天體運(yùn)動(dòng)問題.

4.建構(gòu)雙星、多星運(yùn)動(dòng)模型.

通過實(shí)驗(yàn)研究平拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.學(xué)習(xí)引力常量的測量方

科學(xué)探究

法，體會(huì)猜想、假設(shè)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在發(fā)現(xiàn)海王星中的重要科學(xué)作用.

科學(xué)態(tài)度聯(lián)系生活中的曲線運(yùn)動(dòng)模型，讓學(xué)生掌握生活中的物理應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生

與責(zé)任的學(xué)習(xí)興趣.

1.曲線運(yùn)動(dòng)主要考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法的應(yīng)用，平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)

動(dòng)的規(guī)律及其應(yīng)用.

命題分析

2.萬有引力與航天是每年高考的必考內(nèi)容，多是通過聯(lián)系最新科技以選

擇題形式呈現(xiàn).

命1.以曲線運(yùn)動(dòng)為背景命制的題目常常涉及臨界、極值、數(shù)形結(jié)合等問題，

題題型有選擇題和計(jì)算題.近幾年高考特別注重聯(lián)系生產(chǎn)、生活及科技實(shí)

探際的命題.

趨勢分析

究2.以萬有引力與航天為背景命制的題目：(1)應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算重

力加速度、天體質(zhì)量、天體密度等；(2)對天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的分析，衛(wèi)星

的發(fā)射與變軌，與天體運(yùn)動(dòng)有關(guān)的能量問題等.

風(fēng)洞、航展表演、投籃、飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)、拋撒谷粒、小船渡河、拋體運(yùn)動(dòng)、

預(yù)設(shè)情境

火車轉(zhuǎn)彎、水流星、體育運(yùn)動(dòng)、天體的質(zhì)量和密度、衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量、天

體的“追及”、衛(wèi)星的變軌和對接、雙星或多星等.

第1講曲線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成與分解

一、曲線運(yùn)動(dòng)

1.速度的方向

質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向，沿曲線在這一點(diǎn)的切線方向.

2.運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速度的方向時(shí)刻改變，物體的加速度

一定不為0，因此，曲線運(yùn)動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng).

3.物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)角度：物體的加速度的方向與它的速度方向不在同一

直線上.

(2)動(dòng)力學(xué)角度：物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線

上.

二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1.分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)

一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，參與的這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)叫作分運(yùn)動(dòng)，

物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)叫作合運(yùn)動(dòng).

2.運(yùn)動(dòng)的合成

由分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)的過程.包括位移、速度和加速度的合

成.

3.運(yùn)動(dòng)的分解

由合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)的過程.解題時(shí)應(yīng)按實(shí)際效果分解，或正

交分解.

4.遵從的規(guī)律

運(yùn)動(dòng)的合成與分解遵從矢量運(yùn)算法則.

5.合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

(1)等時(shí)性：合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)、分運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間相等，

即同時(shí)開始、同時(shí)進(jìn)行、同時(shí)停止.

(2)獨(dú)立性：各分運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，不受其他運(yùn)動(dòng)的影響.各分運(yùn)

動(dòng)共同決定合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡.

(3)等效性：各分運(yùn)動(dòng)疊加起來與合運(yùn)動(dòng)有完全相同的效果.

考點(diǎn)一物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件與軌跡分析

1.物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡

物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度沿軌跡的切線方向，合力指向軌跡凹側(cè)，

如圖所示.

2.物體做曲線運(yùn)動(dòng)的特征

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：由于做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的瞬時(shí)速度方向沿曲線的切

線方向，所以做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向時(shí)刻發(fā)生變化，即曲線運(yùn)動(dòng)

一定為變速運(yùn)動(dòng).

(2)動(dòng)力學(xué)特征：由于做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的速度時(shí)刻變化，說明物體

具有加速度，根據(jù)牛頓第二定律可知，物體所受的合力一定不為零且和

速度方向始終不在一條直線上（曲線運(yùn)動(dòng)條件）.合力在垂直于速度方向

上的分力改變物體速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改變物體速

度的大小.

(3)若合外力的方向與速度方向夾角成銳角，則物體速率增大；若兩

者夾角為鈍角，則速率減小.

物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件

【例1】在珠海航展上，殲擊機(jī)進(jìn)行了空中表演，其軌跡是曲線，

如圖所示.殲擊機(jī)在運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是()

A.殲擊機(jī)的速度可能不變

B.殲擊機(jī)所受合力大小一定不變

C.殲擊機(jī)所受合力方向與它的速度方向可能在一條直線上

D.殲擊機(jī)在曲線運(yùn)動(dòng)過程中所受合力一定指向曲線凹側(cè)

【解析】D殲擊機(jī)做的是曲線運(yùn)動(dòng)，速度方向時(shí)刻發(fā)生改變，A

錯(cuò)誤；物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是物體的初速度方向與力的方向不在同一

條直線上，力的大小可以不變，也可以變化，B錯(cuò)誤；當(dāng)殲擊機(jī)所受合

力方向與它的速度方向存在夾角時(shí)，才能做曲線運(yùn)動(dòng)，在同一條直線上

是做直線運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；在曲線運(yùn)動(dòng)過程中所受合力一定指向曲線凹側(cè)，

D正確.

【變式訓(xùn)練1】在演示“做曲線運(yùn)動(dòng)的條件”的實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)在水

平桌面上向右做直線運(yùn)動(dòng)的小鋼球，第一次在其運(yùn)動(dòng)路線的正前方放置

條形磁鐵，第二次在其運(yùn)動(dòng)路線的旁邊放置條形磁鐵，如圖所示，虛線

表示小鋼球的運(yùn)動(dòng)軌跡.觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，以下敘述正確的是()

A.第一次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.第二次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球的運(yùn)動(dòng)類似平拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條

拋物線

C.該實(shí)驗(yàn)說明做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向沿軌跡的切線方向

D.該實(shí)驗(yàn)說明物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是物體受到的合力的方向與

速度方向不在同一直線上

【解析】D第一次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球受到沿初速度方向的磁鐵的吸

引力作用，做直線運(yùn)動(dòng)，并且隨著距離的減小，吸引力變大，加速度變

大，故小鋼球做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；第二次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球所

受的磁鐵的吸引力方向總是指向磁鐵，是變力，故小鋼球的運(yùn)動(dòng)不是類

平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡也不是一條拋物線，B錯(cuò)誤；該實(shí)驗(yàn)說明物體做曲線

運(yùn)動(dòng)的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一直線上，但是

不能說明做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向沿軌跡的切線方向，C錯(cuò)誤、D

正確.

物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡分析

【例2】（2023·遼寧卷）某同學(xué)在練習(xí)投籃，籃球在空中的運(yùn)動(dòng)

軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是()

ABCD

【解析】A籃球做曲線運(yùn)動(dòng)，所受合力指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)，A

正確.

【變式訓(xùn)練2】（2023·江蘇卷）達(dá)·芬奇的手稿中描述了這樣一個(gè)

實(shí)驗(yàn)：一個(gè)罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，沿途連續(xù)漏出沙

子.若不計(jì)空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是

()

AB

CD

【解析】D罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，沙子在時(shí)

1

間Δt內(nèi)水平方向相對于罐子位移為a(Δt)2，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，

2

1

在時(shí)間Δt內(nèi)相對于罐子位移為g(Δt)2，說明沙子連線的傾角是一定的，

2

D正確.

決定物體運(yùn)動(dòng)軌跡的兩個(gè)因素

決定物體運(yùn)動(dòng)軌跡的兩個(gè)因素是：初速度與合力.物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡在

合力與速度方向的夾角范圍內(nèi)，且彎向受力方向，這是分析該類問題的技巧.

考點(diǎn)二運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1.運(yùn)動(dòng)的合成與分解的運(yùn)算法則

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是指描述運(yùn)動(dòng)的各物理量，即位移、速度、加速

度的合成與分解.由于它們均是矢量，合成與分解都遵守平行四邊形定

則.

2.合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡的判斷

(1)若合加速度不變，則為勻變速運(yùn)動(dòng)；若合加速度（大小或方向）

變化，則為非勻變速運(yùn)動(dòng).

(2)若合加速度的方向與合初速度的方向在同一直線上，則為直線運(yùn)

動(dòng)，否則為曲線運(yùn)動(dòng).

運(yùn)動(dòng)的合成與分解的運(yùn)算

【例3】在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m＝2kg的滑塊在水平方向

F＝4N的恒力作用下運(yùn)動(dòng).如圖所示給出了滑塊在水平面上運(yùn)動(dòng)的一段

軌跡，滑塊過P、Q兩點(diǎn)時(shí)速度大小均為v＝5m/s，滑塊在P點(diǎn)的速度

方向與PQ連線夾角α＝37°，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則下列說法

正確的是()

A.水平恒力F的方向與PQ連線成53°夾角

B.滑塊從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為3s

C.滑塊從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過程中速度最小值為3m/s

D.P、Q兩點(diǎn)連線的距離為10m

【解析】B滑塊在水平恒力作用下由P點(diǎn)到Q點(diǎn)，滑塊過P、Q

兩點(diǎn)時(shí)速度大小均為v＝5m/s，即水平恒力不做功，所以力應(yīng)該和位移

的方向垂直，A錯(cuò)誤；把滑塊在P點(diǎn)的速度分解到垂直于PQ方向上有

v2＝vsinα＝3m/s，由題意知在這個(gè)方向上滑塊先減速后反向加速，由

F

牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得運(yùn)動(dòng)的加速度a＝＝2m/s2，由于運(yùn)動(dòng)具有對稱性，

m

v2

得滑塊從P到Q的時(shí)間t＝2×＝3s，B正確；把速度分解到PQ方向

a

上有v1＝vcosα＝4m/s，滑塊在PQ方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)滑塊在

垂直于PQ方向上的速度等于零時(shí)，速度最小，為4m/s，C錯(cuò)誤；P、

Q兩點(diǎn)之間的距離為PQ＝v1t＝12m，D錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練3】（多選）跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項(xiàng)

目，如圖所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從直升機(jī)上由靜止跳下后，在下落過程中將會(huì)

受到水平風(fēng)力的影響，下列說法正確的是()

A.風(fēng)力越大，運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)間越長，運(yùn)動(dòng)員可完成更多的動(dòng)作

B.風(fēng)力越大，運(yùn)動(dòng)員著地速度越大，有可能對運(yùn)動(dòng)員造成傷害

C.運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)間與風(fēng)力無關(guān)

D.運(yùn)動(dòng)員著地速度與風(fēng)力無關(guān)

【解析】BC水平風(fēng)力不會(huì)影響豎直方向的運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)員下

落時(shí)間與風(fēng)力無關(guān)，A錯(cuò)誤、C正確；運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)豎直方向的速度是

確定的，水平風(fēng)力越大，落地時(shí)水平分速度越大，運(yùn)動(dòng)員著地時(shí)的合速

度越大，有可能對運(yùn)動(dòng)員造成傷害，B正確、D錯(cuò)誤.

合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡的判斷

【例4】[易錯(cuò)題]（2024·安徽卷）（多選）一傾角為30°足夠大的

光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖甲所

示.從t＝0開始，將一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊從O點(diǎn)由靜止釋放，同時(shí)對物

塊施加沿x軸正方向的力F1和F2，其大小與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示.

已知物塊的質(zhì)量為1.2kg，重力加速度g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力.則

()

甲乙

A.物塊始終做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

B.t＝1s時(shí)，物塊的y坐標(biāo)值為2.5m

C.t＝1s時(shí)，物塊的加速度大小為53m/s2

D.t＝2s時(shí)，物塊的速度大小為102m/s

【解析】BD根據(jù)圖像可得F1＝4－t(N)，F(xiàn)2＝3t(N)，故兩力的

合力為F＝4＋2t(N)，物塊在y軸方向受到的力不變?yōu)閙gsin30°，x軸

方向的力在改變，合力在改變，故物塊做的不是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)

mgsin30°2

誤；在y軸方向的加速度為ay＝＝gsin30°＝5m/s，故t＝1s

m

12

時(shí)，物塊的y坐標(biāo)值為y＝ayt＝2.5m，B正確；t＝1s時(shí)，F(xiàn)＝6N，

2

2262222

故此時(shí)加速度大小為a＝ax＋ay＝()＋5m/s＝52m/s，C錯(cuò)

1.2

誤；對x軸正方向，對物塊根據(jù)動(dòng)量定理Ft＝mvx－0，由于F與時(shí)間t

(4＋2×0)＋(4＋2×2)

成線性關(guān)系，故可得×2＝1.2vx，解得vx＝10m/s，此

2

時(shí)y軸方向速度為vy＝gsin30°·t＝5×2m/s＝10m/s，故此時(shí)物塊的速度

22

大小為v＝vx＋vy＝102m/s，D正確.

【易錯(cuò)點(diǎn)】學(xué)生易錯(cuò)選A.主要原因是未認(rèn)真審題，沿x軸正方向

的力F1和F2均隨時(shí)間變化，這兩個(gè)力的合力隨時(shí)間在不斷變化，故物

體的加速度發(fā)生變化.

【變式訓(xùn)練4】一質(zhì)量為2kg的物體在如圖甲所示的xOy平面上

運(yùn)動(dòng)，沿x軸方向上的v－t圖像和沿y軸方向上的y－t圖像分別如圖乙、

丙所示，下列說法正確的是()

甲乙丙

A.前2s內(nèi)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)

B.物體的初速度為8m/s

C.1s末物體的速度大小為42m/s

D.前2s內(nèi)物體所受的合外力為16N

【解析】C由v－t圖像可知，物體在x方向上做初速度為v0x＝8

m/s的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a＝4m/s2.根據(jù)y－t圖像可知，

物體在y方向上做速度大小為vy＝4m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)，合速度方向

與加速度方向不在同一直線上，則在前2s內(nèi)，物體的合運(yùn)動(dòng)為勻變速

曲線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；物體的初速度為水平速度和豎直速度的合速度，初

2222

速度為v＝v0x＋vy＝8＋4m/s＝45m/s，B錯(cuò)誤；1s末物體在x方

22

向的速度為vx＝v0x－at＝4m/s，故1s末物體的速度大小為v′＝vx＋vy＝

42＋42m/s＝42m/s，C正確；前2s內(nèi)物體的加速度大小為4m/s2，

由牛頓第二定律可知，物體所受合力為F＝ma＝8N，D錯(cuò)誤.

1.合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

(1)等時(shí)性：各個(gè)分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)總是同時(shí)開始、同時(shí)進(jìn)行、同時(shí)結(jié)束，經(jīng)歷時(shí)

間相等（不同時(shí)的運(yùn)動(dòng)不能合成）.

(2)獨(dú)立性：一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)時(shí)，各分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行，互不影響.

(3)等效性：各分運(yùn)動(dòng)疊加起來與合運(yùn)動(dòng)有完全相同的效果.

(4)同一性：各分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)是指同一物體參與的分運(yùn)動(dòng)和實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)，

不能是幾個(gè)不同物體發(fā)生的不同運(yùn)動(dòng).

2.求解運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題的技巧

(1)求解運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題，應(yīng)抓住合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性、獨(dú)立性.

(2)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)分解時(shí)一般按運(yùn)動(dòng)效果進(jìn)行分解.

考點(diǎn)三小船渡河模型

當(dāng)船頭方向垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，

渡河時(shí)間最短d

最短時(shí)間tmin＝

v船

如果v船>v水，當(dāng)船頭方向與上游河岸夾角

θ滿足v船cosθ＝v水時(shí)，合速度垂直河岸，

渡河位移最短，等于河寬d

渡河位移最短

如果v船<v水，當(dāng)船頭方向（即v船方向）

與合速度方向垂直時(shí)，渡河位移最短，等

于dv水

v船

【例5】一小船渡河，河寬d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.

(1)若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船在最短的時(shí)間內(nèi)渡河，

船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？位移是多少？

(2)若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，船

頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？位移是多少？

(3)若船在靜水中的速度為v2＝1.5m/s，欲使船渡河的航程最短，船

頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？位移是多少？

【解析】(1)若v2＝5m/s，欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)垂直

于河岸方向，如圖甲所示，合速度為傾斜方向，垂直于河岸的分速度為

v2＝5m/s.

甲

dd180

t＝＝＝s＝36s，

v⊥v25

225

v合＝v1＋v2＝5m/s，

2

x＝v合t＝905m.

乙

(2)若v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度應(yīng)沿垂直于河岸

方向，船頭應(yīng)朝圖乙中的v2方向.垂直于河岸過河則要求v∥＝0，有

v2sinθ＝v1，得θ＝30°.

所以當(dāng)船頭與上游河岸成60°角時(shí)航程最短.

x＝d＝180m，

180

＝d＝d＝＝

t5s243s.

v⊥v2cos30°3

2

(3)若v2＝1.5m/s，與(2)中不同，因?yàn)榇傩∮谒?，所以船一定?/p>

d

下游漂移，設(shè)合速度方向與河岸下游方向夾角為α，則航程x＝.欲

sinα

使航程最短，需α最大，如圖丙所示，由出發(fā)點(diǎn)A作出v1矢量，以v1矢

量末端為圓心，v2大小為半徑作圓，A點(diǎn)與圓周上某點(diǎn)的連線為合速度

方向，欲使v合與河岸下游方向的夾角最大，應(yīng)使v合與圓相切，即v合

⊥v2.

丙

v23

由sinα＝＝，得α＝37°，

v15

所以船頭應(yīng)朝與上游河岸成53°角方向.

d180

t＝＝s＝150s，

v2cosα1.2

v合＝v1cosα＝2m/s，

x＝v合t＝300m.

【變式訓(xùn)練5】洪水無情人有情，每一次重大搶險(xiǎn)救災(zāi)，都有子弟

兵的身影.如圖所示，水速為v，消防武警駕駛沖鋒舟行駛，若沖鋒舟沿

與平直河岸成30°角的線路把被困群眾從A處送到對岸安全地B處，采

取以最小速度和舟頭垂直于河岸兩種方案行駛，則兩種方案中沖鋒舟的

最小速度v1和以舟頭垂直于河岸行駛沖鋒舟的速度v2之比為()

A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶2

【解析】D沖鋒舟以最小速度v1和舟頭垂直于河岸兩種方案分

別從A到B，沖鋒舟最小速度v1垂直于AB連線，有v1＝vsin30°，沖

v13

鋒舟速度v2垂直于平直河岸時(shí)，有v2＝vtan30°，可知＝cos30°＝，

v22

D正確.

解決小船渡河問題

考點(diǎn)四繩（桿）端速度分解模型

1.繩（桿）端速度分解模型特點(diǎn)：沿繩（或桿）方向的速度分量大

小相等.

2.繩（桿）端速度的分解思路

【例6】如圖所示，水平光滑長桿上套有一物塊Q，跨過懸掛于O

點(diǎn)的輕小光滑圓環(huán)的輕繩一端連接Q，另一端懸掛一物塊P.設(shè)輕繩的左

邊部分與水平方向的夾角為θ，初始時(shí)θ很小.現(xiàn)將P、Q由靜止同時(shí)釋放，

關(guān)于P、Q以后的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()

A.當(dāng)θ＝60°時(shí)，P、Q的速度之比是3∶2

B.當(dāng)θ＝90°時(shí)，Q的速度最大

C.當(dāng)θ＝90°時(shí)，Q的速度為零

D.當(dāng)θ向90°增大的過程中Q的合力一直增大

【解析】BP、Q用同一根繩連接，則Q沿繩子方向的速度與P

的速度大小相等，則當(dāng)θ＝60°時(shí)，Q沿繩子方向的分速度vQcos60°＝vP，

vP1

解得＝，A錯(cuò)誤；當(dāng)θ＝90°時(shí)，即Q到達(dá)O點(diǎn)正下方，垂直Q運(yùn)動(dòng)

vQ2

方向上的分速度為0，即vP＝0，此時(shí)Q的速度最大，B正確、C錯(cuò)誤；

當(dāng)θ向90°增大的過程中Q的合力逐漸減小，當(dāng)θ＝90°時(shí)，Q的速度最大，

加速度為零，合力為零，D錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練6】[易錯(cuò)題]（生活情境）“筋膜槍”利用其內(nèi)部特制的

高速電機(jī)帶動(dòng)槍頭，產(chǎn)生的高頻振動(dòng)可以作用到肌肉深層，以達(dá)到緩解

疼痛、促進(jìn)血液循環(huán)等作用.如圖所示為某款筋膜槍的內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡化圖，

連桿OB以角速度ω繞垂直于紙面的O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)連桿AB，使套

在橫桿上的滑塊左右滑動(dòng)，從而帶動(dòng)槍頭振動(dòng).已知AB桿長為L，OB

桿長為R，當(dāng)AB⊥OB時(shí)，滑塊的速度大小為()

ωRL2＋R2ωLL2＋R2ωRL

A.ωRB.C.D.

LRL2＋R2

【解析】B當(dāng)AB⊥OB時(shí)，桿AB的速度等于B點(diǎn)的速度為vB

＝ωR，滑塊沿桿的方向的速度等于桿的速度，則有vB＝vcosθ＝

LωRL2＋R2

v，聯(lián)立得v＝，B正確.

L2＋R2L

【易錯(cuò)點(diǎn)】本題易錯(cuò)選A.主要原因是誤認(rèn)為滑塊的速度等于B

點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度.滑塊的實(shí)際速度沿橫桿向右，其沿AB桿方向上的

分速度大小和B點(diǎn)的速度大小相等.

四種常見的速度分解模型

1.籃球無轉(zhuǎn)動(dòng)加速下落時(shí)軌跡如圖甲所示，若在籃球釋放瞬間給它

一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)速度，軌跡如圖乙所示，引起軌跡乙的原因稱為馬格努斯效應(yīng)，

馬格努斯效應(yīng)在球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中非常普遍.已知P為甲軌跡上一點(diǎn)，Q

為乙軌跡上一點(diǎn).根據(jù)軌跡下列判斷正確的是()

甲乙

A.籃球在P點(diǎn)受到空氣給它的力不可能水平向左

B.籃球在P點(diǎn)受到空氣給它的力可能大于籃球重力

C.籃球在Q點(diǎn)受到空氣給它的力可能水平向左

D.籃球在Q點(diǎn)受到空氣給它的力可能斜向左上

【解析】A籃球在P點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，垂直于直線方向的合力為零，

因此籃球水平方向不受空氣的作用力，籃球加速下落，豎直方向所受空

氣的作用力小于重力，A正確、B錯(cuò)誤；在Q點(diǎn)籃球做曲線運(yùn)動(dòng)，空氣

給籃球的作用力和重力的合力指向曲線的凹側(cè)，重力豎直向下，所以空

氣給籃球的作用力可能斜向右上，C、D均錯(cuò)誤.

2.無人機(jī)在空中拍攝運(yùn)動(dòng)會(huì)入場式表演.無人機(jī)起飛上升并向前追

蹤拍攝，飛行過程的水平方向速度vx和豎直向上的速度vy與飛行時(shí)間t

的關(guān)系圖線如圖所示.下列說法正確的是()

A.無人機(jī)在0～t1時(shí)間內(nèi)沿直線飛行

B.無人機(jī)在t1～t2時(shí)間內(nèi)沿直線飛行

C.無人機(jī)在t1時(shí)刻上升至最高點(diǎn)

D.無人機(jī)在0～t1時(shí)間內(nèi)處于失重狀態(tài)

【解析】A由題圖可知，無人機(jī)t＝0時(shí)的初速度為0，0～t1時(shí)

間內(nèi)水平方向和豎直方向加速度恒定，即合加速度恒定，做勻加速運(yùn)動(dòng)，

初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)，A正確；0～t1時(shí)間內(nèi)無人機(jī)

沿直線飛行，t1時(shí)刻，水平方向加速度變?yōu)?，合加速度方向?yàn)樨Q直方

向，與此時(shí)速度方向不共線，所以做曲線運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；t1時(shí)刻之后，

豎直速度方向依然向上，無人機(jī)還在上升，直到t2時(shí)刻，豎直速度減為

0，到達(dá)最高點(diǎn)，C錯(cuò)誤；0～t1時(shí)間內(nèi)豎直方向加速度向上，處于超重

狀態(tài)，D錯(cuò)誤.

3.如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時(shí)開始渡河，M、N分

別是甲、乙兩船的出發(fā)點(diǎn)，兩船頭與河岸均成α角，甲船船頭恰好對準(zhǔn)N

點(diǎn)的正對岸P點(diǎn)，經(jīng)過一段時(shí)間乙船恰好到達(dá)P點(diǎn)，假設(shè)甲、乙劃船速

度大小相等，且渡河過程中能相遇，兩船相遇不影響各自的航行，下列

判斷正確的是()

A.甲船也能到達(dá)正對岸

B.甲船渡河時(shí)間一定較短

C.兩船相遇在NP直線上的某點(diǎn)（非P點(diǎn)）

D.甲、乙兩船渡河時(shí)間不相等

【解析】C甲船航行的方向與河岸成α角，水流速度水平向右，

合速度一定不會(huì)垂直于河岸，則甲船不能垂直到達(dá)對岸，A錯(cuò)誤；在垂

dd

直于河岸方向上，v甲＝vsinα，v乙＝vsinα，渡河時(shí)間為t甲＝＝，

v甲vsinα

dd

t乙＝＝，兩船渡河時(shí)間相等，因?yàn)樵诖怪庇诤影斗较蛏系姆炙?/p>

v乙vsinα

度相等，又是同時(shí)出發(fā)的，所以兩船相遇在NP直線上的某點(diǎn)（非P點(diǎn)），

B、D錯(cuò)誤，C正確.

4.如圖所示，某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s的速度斜向上擊

出，擊球點(diǎn)到豎直墻壁的距離為4.8m，當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時(shí)，擊

中墻壁上離地高度為8.45m的P點(diǎn).網(wǎng)球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度

分量大小變?yōu)榕銮暗?.75.平行墻面的速度分量不變，重力加速度g取

10m/s2，網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點(diǎn)到墻壁的距離d分別為()

A.v＝5m/sB.v＝3m/sC.d＝3.6mD.d＝3.9m

2

【解析】D設(shè)網(wǎng)球飛出時(shí)的速度為v0，在豎直方向有（v0豎）＝

2g(H－h(huán))，v0豎＝12m/s，由速度三角形原則可知v水平＝5m/s，則網(wǎng)球水

v0豎

平方向到墻面的距離為x水平＝v水平t＝v水平＝6m，由幾何關(guān)系可知，

g

4

當(dāng)球打到墻上時(shí)，垂直墻的速度分量為v水平1＝v水平·＝4m/s，平行墻面

5

3

的速度為v水平2＝v水平·＝3m/s，網(wǎng)球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量

5

大小為v水平1′＝0.75·v水平1＝3m/s，由速度三角形可知v＝

22

（v水平2）＋（v水平1′）＝32m/s，A、B錯(cuò)誤；網(wǎng)球落地時(shí)間為t′＝

2H

＝1.3s，則著地點(diǎn)到墻壁的距離d＝v水平1′·t′＝3.9m，C錯(cuò)誤、D

g

正確.

5.（生活情境）（多選）釣魚是一項(xiàng)越來越受到歡迎的運(yùn)動(dòng)，釣到大

魚時(shí)一般會(huì)先將魚遛至沒有力氣再收線.如圖所示，在收尾階段，魚已經(jīng)

浮在水面不再掙扎，釣魚者以恒定速率v收魚線（釣魚者和魚竿視為不

動(dòng)），魚線與水平面的夾角為θ，以下說法正確的是()

A.魚在靠近釣魚者過程中速率增大

B.當(dāng)θ＝60°時(shí)，魚的速率為2v

C.當(dāng)θ＝37°時(shí)，魚的速率為0.8v

D.魚受到的合外力恒定

【解析】AB如圖所示，將魚的速度分解為沿繩子方向的速度和

垂直繩子方向的速度，則v＝v魚cosθ，釣魚者以恒定速率v收魚線過程

中θ增大，v魚增大，魚做變加速運(yùn)動(dòng)，合外力不是恒定值，A正確、D

錯(cuò)誤；根據(jù)v＝v魚cosθ，可知當(dāng)θ＝60°時(shí)，v魚＝2v，當(dāng)θ＝37°時(shí)，v魚

＝1.25v，B正確、C錯(cuò)誤.

6.（多選）如圖所示，一輕繩繞過無摩擦的兩個(gè)輕質(zhì)小定滑輪O1、

O2和質(zhì)量為m的小球連接，另一端與套在光滑直桿上質(zhì)量也為m的小

物塊連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內(nèi)，與水平

面的夾角θ＝60°，直桿上C點(diǎn)與兩定滑輪均在同一高度，C點(diǎn)到定滑輪

O1的距離為L，重力加速度為g，設(shè)直桿足夠長，小球運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)

與其他物體相碰.現(xiàn)將小物塊從C點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)小物塊沿桿下滑距

離也為L時(shí)（圖中D處），下列說法正確的是()

A.小物塊剛釋放時(shí)輕繩中的張力一定小于mg

3

B.小球下降的最大距離為（1－）L

2

C.小物塊在D處的速度與小球速度大小之比為3∶1

D.小物塊在D處的速度與小球速度大小之比為2∶3

【解析】AB剛釋放的瞬間，小球的瞬時(shí)加速度豎直向下，輕繩

中的張力一定小于mg，A正確；當(dāng)連接小物塊的輕繩與桿垂直時(shí)，小

3

球下降的距離最大，根據(jù)幾何知識(shí)得Δh＝L－Lsin60°＝（1－）L，B

2

正確；將小物塊的速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的分速度，沿繩

方向的分速度等于小球的速度，根據(jù)平行四邊形定則，小物塊在D處的

速度與小球的速度之比為v1∶v2＝2∶1，C、D錯(cuò)誤.

7.如圖所示，在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中，從A點(diǎn)以水平速度v0向左拋出一個(gè)

質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球拋出后所受空氣作用力沿水平方

向，其大小為F，經(jīng)過一段時(shí)間小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)正下方的B點(diǎn)處，重力

加速度為g，在此過程中，求：

(1)小球離A、B所在直線的最遠(yuǎn)距離；

(2)A、B兩點(diǎn)間的距離；

(3)小球的最大速率vmax.

【解析】(1)將小球的運(yùn)動(dòng)沿水平方向和豎直方向分解，水平方向

有

2

F＝max，v0＝2axxmax，

2

mv0

解得xmax＝.

2F

v0

(2)水平方向速度減小為零所需時(shí)間t1＝，由對稱性知小球從A運(yùn)

ax

動(dòng)到B的總時(shí)間t＝2t1，豎直方向上有

22

12mgv0

y＝gt2＝.

2F2

(3)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速率最大，此時(shí)有

vx＝v0，vy＝gt，

22v0222

則vmax＝vx＋vy＝F＋4mg.

F

8.有一小船（視為質(zhì)點(diǎn)）從岸邊A點(diǎn)出發(fā)過寬d＝400m的河，河

由寬度之比為1∶3的Ⅰ、Ⅱ區(qū)域組成.Ⅰ區(qū)域水速大小v1＝3m/s，Ⅱ區(qū)域水

速大小v2＝5m/s，方向向右，如圖所示.為保證小船安全過河，小船在Ⅰ、

Ⅱ區(qū)域的相對靜水速度分別為v3＝5m/s和v4＝3m/s.B點(diǎn)為對岸上的點(diǎn)，

且A、B連線與河岸垂直.求：

(1)小船以最短時(shí)間過河到達(dá)的位置；

(2)小船以最短路程過河到達(dá)的位置.

d

【解析】(1)船頭正對對岸過河時(shí)用時(shí)最短，過Ⅰ區(qū)域有t1＝＝20

4v3

s，

水流方向位移s1＝v1t1＝60m，

3d

過Ⅱ區(qū)域有t2＝＝100s，

4v4

水流方向位移s2＝v2t2＝500m，

則小船最后在B點(diǎn)下游的位置離B的距離為

s＝s1＋s2＝560m.

(2)過Ⅰ區(qū)域時(shí)，v3>v1，則船可以垂直過河，水流方向位移s3＝0.

過Ⅱ區(qū)域時(shí)，由于v4<v2，當(dāng)船頭方向與合速度垂直時(shí)位移有最小值，

22

則船實(shí)際速度大小v實(shí)＝v2－v4＝4m/s，

設(shè)水流方向位移為s4，

v43d

由幾何關(guān)系有tanθ＝＝，

v實(shí)4s4

解得s4＝400m.

則小船最后在B點(diǎn)下游的位置離B距離為

s′＝s3＋s4＝400m.

第2講拋體運(yùn)動(dòng)

一、拋體運(yùn)動(dòng)

1.定義

以一定的速度將物體拋出，在空氣阻力可以忽略的情況下，物

體只受重力的作用，這時(shí)的運(yùn)動(dòng)叫作拋體運(yùn)動(dòng).

2.運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線.

3.分類

(1)平拋運(yùn)動(dòng)；

(2)斜拋運(yùn)動(dòng).

二、平拋運(yùn)動(dòng)

1.定義

將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，物體只在重力作

用下的運(yùn)動(dòng).

2.運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物

線.

3.研究方法：化曲為直

(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)；

(2)豎直方向：自由落體運(yùn)動(dòng).

4.基本規(guī)律

如圖，以拋出點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初速度v0方向（水平方向）為x

軸正方向，豎直向下為y軸正方向.(1)速度關(guān)系

22

大?。簐＝vx＋vy

合速度

水平方向：vx＝v0

―――→方向：＝vy＝gt

豎直方向：vy＝gttanθ

vxv0

(2)位移關(guān)系

水平方向：＝

xv0t合位移

1―――→

豎直方向：y＝gt2

2

大小：s＝x2＋y2

ygt

方向：tanα＝＝

x2v0

軌跡方程：＝g2Ｗ

(3)y2x.

2v0

三、斜拋運(yùn)動(dòng)

1.定義

將物體以初速度v0沿斜向上方或斜向下方拋出，物體只在

重力作用下的運(yùn)動(dòng).

2.運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

加速度為重力加速度g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng).

3.研究方法

斜拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的

勻變速直線運(yùn)動(dòng).

4.基本規(guī)律（以斜向上拋為例，如圖所示）

(1)水平方向：v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ.

12

(2)豎直方向：v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－gt.

2

四、類平拋運(yùn)動(dòng)的分析

所謂類平拋運(yùn)動(dòng)，就是受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)類似于平拋運(yùn)動(dòng)，即受

到一個(gè)恒定的外力且外力與初速度方向垂直，物體做勻變速曲線運(yùn)動(dòng).

1.受力特點(diǎn)

物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直.

2.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

沿初速度v0方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿合力方向做初速度為零的

勻加速直線運(yùn)動(dòng).

考點(diǎn)一平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用

1.關(guān)于平拋運(yùn)動(dòng)必須掌握的四個(gè)物理量

物理量相關(guān)分析

飛行時(shí)2h

t＝，飛行時(shí)間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)

間(t)g

2h

水平射x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與

g

程(x)

其他因素?zé)o關(guān)

222

v＝vx＋vy＝v0＋2gh，以θ表示落地時(shí)速度與水平方向間的夾角，有

落地速

vy2gh

度(v)tanθ＝＝，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān)

vxv0

因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為恒定的重力加速度g，所以做

速度的平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度改變

改變量量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示

(Δv)

2.平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)重要推論

(1)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過

2

vygty

此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖甲所示.其推導(dǎo)過程為tanθ＝＝＝.

v0v0tx

2

甲乙

(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻任一位置處，設(shè)其速度方向與水平

方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tanθ＝2tanα.如圖乙所

vygt·t2y

示.其推導(dǎo)過程為tanθ＝＝＝＝2tanα.

v0v0·tx

平拋運(yùn)動(dòng)的分析

【例1】（2023·湖南卷）如圖甲，我國某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋

撒谷粒進(jìn)行水稻播種.某次拋出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，

其軌跡在同一豎直平面內(nèi)，拋出點(diǎn)均為O，且軌跡交于P點(diǎn)，拋出時(shí)谷

粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上.

忽略空氣阻力，關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()

甲乙

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度

B.谷粒2在最高點(diǎn)的速度小于v1

C.兩谷粒從O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

D.兩谷粒從O到P的平均速度相等

【解析】B拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用，加速度均為重

力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A錯(cuò)誤；谷粒2做

斜拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上為勻速直線運(yùn)動(dòng)，故運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度即為水

平方向上的分速度，與谷粒1比較，水平位移相同，但運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長，

故谷粒2水平方向的速度較小即最高點(diǎn)的速度小于v1，B正確；谷粒2

做斜向上拋運(yùn)動(dòng)，谷粒1做平拋運(yùn)動(dòng)，均從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，故位移相

同，在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，谷粒1做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎

直方向上位移相同，故谷粒2運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長，C錯(cuò)誤；兩谷粒從O點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)到P點(diǎn)的位移相同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同，故平均速度不相等，谷粒1的平

均速度大于谷粒2的平均速度，D錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練1】（多選）摩托車跨越表演是一項(xiàng)驚險(xiǎn)刺激的運(yùn)動(dòng)，

受到許多極限愛好者的喜愛.假設(shè)在一次跨越河流的表演中，摩托車離開

平臺(tái)時(shí)的速度為24m/s，剛好成功落到對面的平臺(tái)上，測得兩岸平臺(tái)高

度差為5m，如圖所示.若飛越中不計(jì)空氣阻力，摩托車可以近似看成質(zhì)

點(diǎn)，g取10m/s2，則下列說法正確的是()

A.摩托車在空中的飛行時(shí)間為1s

B.河寬為24m

C.摩托車落地前瞬間的速度大小為10m/s

D.若僅增加平臺(tái)的高度（其他條件均不變），摩托車依然能成功跨

越此河流

1

【解析】ABD摩托車在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有h＝gt2，

2

解得摩托車在空中的飛行時(shí)間為t＝1s，A正確；河流的寬度即摩托車

水平方向位移為d＝x＝v0t＝24×1m＝24m，B正確；豎直方向速度為

2222

vy＝gt＝10m/s，則摩托車落地前瞬間的速度為v＝v0＋vy＝24＋10

m/s＝26m/s，C錯(cuò)誤；摩托車離開平臺(tái)做平拋運(yùn)動(dòng)，僅增加平臺(tái)的高度

（其他條件均不變），則在空中的飛行時(shí)間增大，摩托車水平方向位移

增大，所以摩托車依然能成功跨越此河流，D正確.

有約束條件的平拋運(yùn)動(dòng)模型

【例2】（教考銜接·人教版必修二P21第3題）（多選）如圖所示，

將一個(gè)小球從A點(diǎn)以速度v1水平拋出，小球垂直落在傾角為θ的斜面

上的P點(diǎn).若將小球從圖中的B點(diǎn)以速度v2水平拋出，小球垂直落在斜

面上的Q點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），下列說法正確的是()

A.Q點(diǎn)在P點(diǎn)上方

B.Q點(diǎn)可能與P點(diǎn)重合

C.Q點(diǎn)在P點(diǎn)下方

D.水平初速度v2一定大于v1

【解析】AD小球兩次都垂直打在斜面上，則小球末速度方向與

初速度方向之間夾角不變，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論可知，第一次平拋運(yùn)動(dòng)

位移xAP平行于第二次平拋運(yùn)動(dòng)位移xBQ，如圖所示，Q點(diǎn)在P點(diǎn)上方，

v0

A正確，B、C錯(cuò)誤；小球兩次都垂直打在斜面上，則＝tanθ，vy＝2gh，

vy

聯(lián)立可得v0＝2ghtanθ，因hB>hA，則v2>v1，D正確.

【變式訓(xùn)練2】如圖所示，斜面AC與水平方向的夾角為α，在底

端A點(diǎn)正上方與頂端C點(diǎn)等高處的E點(diǎn)以速度v0水平拋出一小球，小

球垂直于斜面落到D點(diǎn)，重力加速度大小為g，則()

v0

A.小球在空中飛行時(shí)間為

g

v0

B.小球落到斜面上時(shí)的速度大小為

cosα

1

C.CD與DA長度的比值為

2tan2α

D.小球的位移方向垂直于AC

【解析】C

小球的運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖所示，把小球在D點(diǎn)處的速度沿水平、豎直

v1v0

方向分解，小球垂直于斜面落到D點(diǎn)，所以在D點(diǎn)時(shí)有tanα＝＝，

v2gt

v0

解得t＝，A錯(cuò)誤；小球垂直于斜面落到D點(diǎn)，所以小球落到斜

gtanα

v0v0t

面上時(shí)的速度大小為v＝，B錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系，DA＝，CD

sinαcosα

1

gt2

＝2，整理得與的比值為1，正確；由位移方向與水平

CDDA2C

sinα2tanα

方向夾角的正切值是速度方向與水平方向夾角的正切值的1可知，位移

2

方向不垂直于AC，D錯(cuò)誤.

類平拋運(yùn)動(dòng)的分析【例3】[易錯(cuò)題]A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以

相同的水平速度v0拋出，A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為