2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何難點突破解析與解題策略考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離是（）A.1B.C.D.22.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成角的余弦值是（）A.B.C.D.3.若點P在平面α內(nèi)，點Q在平面α外，且PQ與平面α的距離為d，則下列說法正確的是（）A.過P點有無數(shù)條直線與PQ垂直，且這些直線與平面α的距離都為dB.過Q點有無數(shù)條直線與PQ垂直，且這些直線與平面α的距離都為dC.過P點只有一條直線與PQ垂直，且這條直線與平面α的距離為dD.過Q點只有一條直線與PQ垂直，且這條直線與平面α的距離為d4.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則直線EF與平面A?ABB?所成角的正弦值是（）A.B.C.D.5.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2，則點A?到平面BCC?B?的距離是（）A.B.C.D.6.已知點A(1,0,0)，點B(0,1,0)，點C(0,0,1)，則向量AB與向量AC的夾角的余弦值是（）A.B.C.D.7.若平面α與平面β所成二面角的平面角為60°，且平面α的法向量為(1,0,0)，平面β的法向量為(0,1,0)，則平面α與平面β所成角的度數(shù)是（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)到直線l：x=1,y=2,z=3+t的distance是（）A.1B.C.D.29.已知直線l?：x=1與直線l?：y=2所成角的正弦值是（）A.0B.C.D.110.若點P在直線l上，點Q在直線m上，且l與m所成角的平面角為60°，則點P到直線m的距離是點Q到直線l的距離的（）倍A.1B.C.D.211.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則直線EF與直線B?B所成角的余弦值是（）A.B.C.D.12.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2，則點A?到直線BC的距離是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知點A(1,2,3)，點B(3,2,1)，點C(2,1,3)，則向量AB與向量AC的夾角的余弦值是。14.若平面α與平面β所成二面角的平面角為45°，且平面α的法向量為(1,1,0)，平面β的法向量為(0,1,1)，則平面α與平面β所成角的度數(shù)是。15.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)到平面π：2x-y+z=1的距離是。16.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則直線EF與平面A?ABB?所成角的正弦值是。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PBC的余弦值。18.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,0,0)，點B(0,1,0)，點C(0,0,1)，點D(1,1,1)。（1）求向量AB與向量AC的夾角的余弦值；（2）求平面ABC的一個法向量的坐標(biāo)；（3）求點D到平面ABC的距離。19.（12分）已知正方體ABCDA?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點。（1）求證：EF⊥平面BCC?B?；（2）求直線EF與直線B?B所成角的余弦值。20.（12分）在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2。（1）求證：平面A?BC⊥平面A?AB；（2）求點A?到直線BC的距離。21.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=a。（1）求證：PC⊥BD；（2）求二面角P-BC-D的余弦值。22.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)，點B(3,2,1)，點C(2,1,3)，點D(0,0,1)。（1）求向量AB與向量AC的夾角的正弦值；（2）求平面ABC的一個法向量的坐標(biāo)；（3）求點D到平面ABC的距離。四、證明題（本大題共2小題，共30分。證明題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）23.（15分）已知正方體ABCDA?B?C?D?的棱長為a，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點。求證：EF⊥平面BCC?B?。24.（15分）在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為a的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2a。求證：平面A?BC⊥平面A?AB。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：點A(1,2,3)到平面π：x+y+z=1的距離公式為d=|1*1+2*1+3*1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|5-1|/√3=4/√3=2√3/3，選項D為2。2.答案：C解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成角的余弦值是cosθ=|1*1+0*0+0*0|/√(1^2+0^2+0^2)√(0^2+1^2+1^2)=1/√2*√2=1/2，選項C為√3/2。3.答案：A解析：過P點有無數(shù)條直線與PQ垂直，且這些直線與平面α的距離都為d，因為垂直于同一直線的所有直線共面，且距離相等。4.答案：B解析：正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則EF=√(CC?^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√(1+1/4)=√5/2，平面A?ABB?的法向量為(0,0,1)，EF與平面A?ABB?所成角的正弦值是sinθ=EF_z/EF=1/√5/2=2/√5=√5/5，選項B為√2/2。5.答案：C解析：三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2，點A?到平面BCC?B?的距離是A?到BC的距離，即A?C=√(AA?^2+AC^2)=√(2^2+1^2)=√5，選項C為√3。6.答案：A解析：向量AB=(3,0,-1)，向量AC=(-1,-1,1)，向量AB與向量AC的夾角的余弦值是cosθ=|3*(-1)+0*(-1)+(-1)*1|/√(3^2+0^2+(-1)^2)√((-1)^2+(-1)^2+1^2)=|-4|/√10*√3=-4/√30=-2√30/15，選項A為1/2。7.答案：A解析：平面α與平面β所成二面角的平面角為60°，且平面α的法向量為(1,0,0)，平面β的法向量為(0,1,0)，則平面α與平面β所成角的度數(shù)是30°，選項A為30°。8.答案：B解析：點A(1,2,3)到直線l：x=1,y=2,z=3+t的距離是點A到直線上的點(1,2,3)的距離，即√((1-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2)=√0=0，選項B為√2。9.答案：C解析：直線l?：x=1與直線l?：y=2所成角的正弦值是sinθ=|0*0+1*1|/√(0^2+1^2)√(0^2+1^2)=1/1=1，選項C為1。10.答案：B解析：l與m所成角的平面角為60°，則點P到直線m的距離是點Q到直線l的距離的cos60°=1/2倍，選項B為√3/2。11.答案：D解析：正方體ABCDA?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則EF=√(CC?^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，直線EF與直線B?B所成角的余弦值是cosθ=|EF_z-B?B_z|/EF*|B?B|=|√5/2-1|/√5/2=√5/2-1/√5/2=√5-2/√5=1/√5=√5/5，選項D為√2/2。12.答案：A解析：三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2，點A?到直線BC的距離是A?到BC的距離，即A?C=√(AA?^2+AC^2)=√(2^2+1^2)=√5，選項A為√3。二、填空題答案及解析13.答案：1/2解析：向量AB=(2,0,-2)，向量AC=(1,-1,0)，向量AB與向量AC的夾角的余弦值是cosθ=|2*1+0*(-1)+(-2)*0|/√(2^2+0^2+(-2)^2)√(1^2+(-1)^2+0^2)=2/√8*√2=2/4=1/2。14.答案：45°解析：平面α與平面β所成二面角的平面角為45°，則平面α與平面β所成角的度數(shù)是45°。15.答案：7/√6解析：點A(1,2,3)到平面π：2x-y+z=1的距離是d=|2*1-2*1+3*1-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=|2-2+3-1|/√6=2/√6=√6/3，選項為7/√6。16.答案：√2/2解析：正方體ABCDA?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則EF=√(CC?^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，平面A?ABB?的法向量為(0,0,1)，EF與平面A?ABB?所成角的正弦值是sinθ=EF_z/EF=1/√5/2=2/√5=√5/5，選項為√2/2。三、解答題答案及解析17.解析：（1）證明：PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD⊥DC，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面ABCD，∴BC⊥AE，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴平面ABE⊥平面PAC；（2）解：過A作AH⊥PC于H，∵平面ABE⊥平面PAC，∴AH⊥平面PAC，∴∠ABH是二面角A-PBC的平面角，∵AB=1，AE=1/2PC=√3/2，∴AH=√(AB^2-AE^2)=√(1-(√3/2)^2)=√(1-3/4)=√1/4=1/2，∴cos∠ABH=AH/AB=1/2/1=1/2。18.解析：（1）向量AB=(1,1,0)，向量AC=(1,-1,1)，向量AB與向量AC的夾角的余弦值是cosθ=|1*1+1*(-1)+0*1|/√(1^2+1^2+0^2)√(1^2+(-1)^2+1^2)=0/√2*√3=0；（2）平面ABC的一個法向量的坐標(biāo)是(1,1,1)×(1,-1,1)=(1*1-1*1,1*1-1*1,1*(-1)-1*1)=(0,0,-2)，取(0,0,1)為法向量；（3）點D到平面ABC的距離是d=|0*1+0*1+1*(-1)|/√(0^2+0^2+1^2)=|-1|/1=1。19.解析：（1）證明：正方體ABCDA?B?C?D?的棱長為1，E是CC?的中點，F(xiàn)是CD的中點，則EF=√(CC?^2+CF^2)=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，CC?⊥平面BCC?B?，∴CC?⊥EF，又∵EF⊥BC，∴EF⊥平面BCC?B?；（2）解：過E作EH⊥B?B于H，∵平面BCC?B?⊥平面A?ABB?，∴EH⊥平面A?ABB?，∴∠EBH是直線EF與直線B?B所成角，∵EH=1/2，B?B=1，∴sin∠EBH=EH/B?B=1/2/1=1/2，∴cos∠EBH=√(1-sin^2∠EBH)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。20.解析：（1）證明：三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA?垂直于底面ABC，且AA?=2，∴AA?⊥AB，AA?⊥AC，又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面A?AC，∴AB⊥A?C，又∵BC⊥AC，∴AC⊥平面BCA?，∴AC⊥A?B，∴A?C⊥平面A?AB，∴平面A?BC⊥平面A?AB；（2）解：過A?作A?H⊥BC于H，∵平面A?BC⊥平面A?AB，∴A?H⊥平面A?AB，∴∠A?HB是二面角A-A?B-BC的平面角，∵AB=1，A?B=√5，∴A?H=√(A?B^2-AH^2)=√(5-1^2)=√4=2，∴sin∠A?HB=A?H/A?B=2/√5=√5/5。21.解析：（1）證明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，AC⊥BD，PA∩AC=A，∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥PB，∵BD⊥AC，PB⊥AC，∴AC⊥平面PBD，∴PC⊥BD；（2）解：過A作AH⊥BC于H，∵平面PBC⊥平面PBD，∴AH⊥平面PBD，∴∠AHD是二面角P-BC-D的平面角，∵AB=AD=a，AH=√3/2a，AD=2a，∴sin∠AHD=AH/AD=√3/2a/2a=√3/4，∴cos∠AHD=√(1-sin^2∠AHD)=√(1-(√3/4)^2)=√(1-3/16)=√13/4。22.解析：（1）向量AB=(2,0,-2)，向量