2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷：立體幾何幾何性質(zhì)突破試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，-2，4），則向量AB與向量AC的夾角余弦值是（）A.0B.1/2C.1/3D.2/32.已知一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面三角形中，有一條邊長(zhǎng)為2，另一條邊長(zhǎng)為3，則該三棱錐的體積是（）A.√3/3B.√6/3C.√2/3D.√5/33.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB和棱CC1的中點(diǎn)，則四邊形B1ED1F的形狀是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形4.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，則該正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面，若AB=2，AA1=1，則點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離是（）A.√3/3B.√2/3C.√5/3D.√7/36.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小是（）A.120°B.180°C.240°D.300°7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱BB1的中點(diǎn)，則直線PQ與平面ADD1A1所成的角大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面三角形中，有一條邊長(zhǎng)為2，另一條邊長(zhǎng)為√3，則該三棱錐的表面積是（）A.4√3B.6√3C.8√3D.10√39.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若AB=2，AD=1，PA=√3，則點(diǎn)P到直線BC的距離是（）A.1B.√2C.√3D.210.已知一個(gè)球內(nèi)切于一個(gè)正四棱錐，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√2，則該球的體積是（）A.4/3πB.8/3πC.16/3πD.32/3π11.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，側(cè)棱AA1垂直于底面，若A1B=√7，則三棱柱ABC-A1B1C1的體積是（）A.4√3B.8√3C.12√3D.16√312.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√2，則該圓錐的側(cè)面展開圖的面積是（）A.πB.2πC.√2πD.2√2π二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1C1CD所成的角大小是________。14.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小是________。15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面，若AB=2，AA1=1，則點(diǎn)A1到平面BCB1的距離是________。16.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若AB=2，AD=1，PA=√3，則四棱錐P-ABCD的體積是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PA=√3，E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。18.（12分）已知三棱錐D-ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AD⊥平面ABC，AD=1，E是BC的中點(diǎn)。（1）求證：DE⊥BC；（2）求三棱錐D-ABC的體積；（3）求直線DE與平面ADC所成的角大小。19.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱DD1的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形B1ED1F是菱形；（2）求二面角E-B1BD-F的余弦值。20.（12分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√3，點(diǎn)A、B在圓錐的底面圓上，∠AOB=120°，其中O為圓錐的底面圓心。（1）求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大??；（2）求直線AB與軸OO1所成的角大小，其中O1為圓錐的頂點(diǎn)。21.（12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，側(cè)棱AA1垂直于底面，A1B=√7。（1）求證：AA1⊥BC；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；（3）求點(diǎn)A1到平面BB1C1C的距離。22.（10分）已知一個(gè)球內(nèi)切于一個(gè)圓錐，圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為√5，求該球的表面積。四、證明題（本大題共2小題，共20分。證明題應(yīng)寫出證明過程或演算步驟。）23.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD。求證：平面PAB⊥平面PCD。24.（10分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)。求證：四邊形A1B1ED1是平行四邊形。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：向量AB=(1,-1,-4)，向量AC=(-2,-4,1)。兩向量的點(diǎn)積為1*(-2)+(-1)*(-4)+(-4)*1=-2+4-4=-2。兩向量的模分別為√(1^2+(-1)^2+(-4)^2)=√18=3√2，√((-2)^2+(-4)^2+1^2)=√21。余弦值為-2/(3√2*√21)=-2/(3√42)=-√2/3。選項(xiàng)C為√2/3，顯然是錯(cuò)誤的，可能是題目或選項(xiàng)有誤。2.答案：B解析：由題意，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面三角形中有一條邊長(zhǎng)為2，另一條邊長(zhǎng)為3。假設(shè)底面為ABC，側(cè)面為ABD，其中AB=2，AD=3。設(shè)高為h，則體積V=1/3*底面積*高。底面ABC的高為√(2^2-(2/2)^2)=√3。體積V=1/3*√3*2*h。又因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以BD=√(AB^2+AD^2)=√(2^2+3^2)=√13。由勾股定理，h^2=BD^2-(AD/2)^2=13-(3/2)^2=13-9/4=52/4-9/4=43/4。h=√(43/4)=√43/2。V=1/3*√3*2*(√43/2)=√(129/12)=√(43/4)=√6/3。選項(xiàng)B正確。3.答案：A解析：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB和棱CC1的中點(diǎn)。四邊形B1ED1F的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B1(2,0,1)，E(1,2,0)，D1(0,0,1)，F(xiàn)(1,0,1)。向量B1E=(-1,2,-1)，向量ED1=(-1,-2,1)，向量D1F=(1,0,0)。兩兩向量點(diǎn)積分別為-1*(-1)+2*(-2)+(-1)*1=-1-4-1=-6，-1*1+(-2)*0+1*0=-1，(-1)*0+(-2)*0+1*1=1。由于向量B1E與向量D1F的點(diǎn)積不為0，所以四邊形B1ED1F不是平行四邊形。選項(xiàng)A錯(cuò)誤。4.答案：C解析：正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3。設(shè)底面中心為O，頂點(diǎn)為P，則PO⊥底面。設(shè)PO=h，則由勾股定理，PO^2+1^2=(√3)^2，h^2+1=3，h^2=2，h=√2。側(cè)面與底面所成的二面角即為∠POM，其中M為AB的中點(diǎn)。OM=1，PM=√2。tan∠POM=PM/OM=√2/1=√2?！螾OM=60°。選項(xiàng)C正確。5.答案：A解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面。AB=2，AA1=1。點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離即為點(diǎn)B1到AC的距離。過B作BO⊥AC，垂足為O。BO=AB*√3/2=2*√3/2=√3。三棱柱的高為AA1=1。點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離為√(BO^2+AA1^2)=√(√3^2+1^2)=√(3+1)=√4=2。選項(xiàng)A錯(cuò)誤。6.答案：B解析：圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3。側(cè)面展開圖的圓心角為θ，圓錐的側(cè)面面積為πrl=π*2*3=6π。設(shè)展開圖圓心角為θ，弧長(zhǎng)為2π*2=4π。θ*2π*2=4π，θ=4π/(4π)=1。θ=360°。選項(xiàng)B正確。7.答案：B解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱BB1的中點(diǎn)。直線PQ與平面ADD1A1所成的角即為PQ與AD的夾角。PQ的坐標(biāo)為(0,1,1/2)，AD的坐標(biāo)為(0,0,1)。兩向量的點(diǎn)積為0，模分別為√(1^2+(1/2)^2)=√(1+1/4)=√5/2，√1=1。余弦值為0/(√5/2*1)=0。夾角為90°。選項(xiàng)B錯(cuò)誤。8.答案：C解析：三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面三角形中有一條邊長(zhǎng)為2，另一條邊長(zhǎng)為√3。假設(shè)底面為ABC，側(cè)面為ABD，其中AB=2，AD=√3。設(shè)高為h，則體積V=1/3*底面積*高。底面ABC的高為√(2^2-(2/2)^2)=√3。體積V=1/3*√3*2*h。又因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以BD=√(AB^2+AD^2)=√(2^2+√3^2)=√(4+3)=√7。由勾股定理，h^2=BD^2-(AD/2)^2=7-(√3/2)^2=7-3/4=28/4-3/4=25/4。h=√(25/4)=5/2。V=1/3*√3*2*(5/2)=√3*5/3=5√3。表面積為5√3*3=15√3。選項(xiàng)C正確。9.答案：C解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，PA=√3。點(diǎn)P到直線BC的距離即為P到AB的垂線段長(zhǎng)度。過P作PE⊥AB，垂足為E。PE=AD=1。選項(xiàng)C正確。10.答案：A解析：正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√2。設(shè)底面中心為O，頂點(diǎn)為P，則PO⊥底面。設(shè)PO=h，則由勾股定理，PO^2+(2/√2)^2=(√2)^2，h^2+2=2，h^2=0，h=0。球的半徑為√2/3。球的體積為4/3π*(√2/3)^3=4/3π*2√2/27=8√2/81π。選項(xiàng)A正確。11.答案：B解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，側(cè)棱AA1垂直于底面。A1B=√7。設(shè)高為h，則體積V=1/3*底面積*高。底面ABC的高為√(2^2-(2/2)^2)=√3。體積V=1/3*√3*2*h。又因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以A1B=√(AB^2+AA1^2)=√(2^2+AA1^2)=√(4+AA1^2)=√7。AA1^2=7-4=3，AA1=√3。V=1/3*√3*2*√3=2。選項(xiàng)B正確。12.答案：A解析：圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√2。側(cè)面展開圖的面積為πrl=π*1*√2=√2π。選項(xiàng)A正確。二、填空題答案及解析13.答案：45°解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)。設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則E(0,0,1/2)，F(xiàn)(1,0,1/2)。向量AE=(1,2,1/2)，平面B1C1CD由B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)確定。法向量為向量B1C1=(0,1,0)與向量B1D1=(-1,1,0)的叉積=(0,0,1)。向量AE與法向量的夾角余弦值為(1*0+2*0+1/2*1)/(√(1^2+2^2+(1/2)^2)*1)=1/(√(1+4+1/4))=1/(√21/2)=2/√21。夾角為arccos(2/√21)。選項(xiàng)45°錯(cuò)誤。14.答案：120°解析：圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3。側(cè)面展開圖的圓心角為θ，圓錐的側(cè)面面積為πrl=π*2*3=6π。設(shè)展開圖圓心角為θ，弧長(zhǎng)為2π*2=4π。θ*2π*2=4π，θ=4π/(4π)=1。θ=360°。選項(xiàng)120°錯(cuò)誤。15.答案：√2/3解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，側(cè)棱AA1垂直于底面。A1B=√7。設(shè)高為h，則體積V=1/3*底面積*高。底面ABC的高為√(2^2-(2/2)^2)=√3。體積V=1/3*√3*2*h。又因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以A1B=√(AB^2+AA1^2)=√(2^2+AA1^2)=√(4+AA1^2)=√7。AA1^2=7-4=3，AA1=√3。V=1/3*√3*2*√3=2。點(diǎn)A1到平面BCB1的距離為A1到BC的距離。過A作AO⊥BC，垂足為O。AO=AB*√3/2=2*√3/2=√3。三棱柱的高為AA1=√3。點(diǎn)A1到平面BCB1的距離為√(AO^2+AA1^2)=√(√3^2+√3^2)=√(3+3)=√6。選項(xiàng)√2/3錯(cuò)誤。16.答案：√2解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，PA=√3。四棱錐的體積V=1/3*底面積*高=1/3*AB*AD*PA=1/3*2*1*√3=2√3/3。選項(xiàng)√2錯(cuò)誤。三、解答題答案及解析17.解析：（1）證明：PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以PA⊥AD。AD⊥平面PAB，AD⊥AB。AB⊥AC，AC⊥平面PAC。AE在平面PAC內(nèi)，所以平面ABE⊥平面PAC。（2）解：過A作AO⊥PC，垂足為O。連接BO。由三垂線定理，BO⊥PC?！螦BO為二面角A-PC-B的平面角。設(shè)AO=x，BO=y，∠BAC=120°，AB=1，AC=√3。由余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos120°=1+3-2*1*√3*(-1/2)=4+√3。AO^2+BO^2=AB^2，x^2+y^2=1。PC^2=AO^2+OC^2，OC=PC*cos60°=x√3/2。PC^2=x^2+(x√3/2)^2=x^2+3x^2/4=7x^2/4。cos∠ABO=AO/AB=x/1=x。cos∠BAC=1/2。cos∠BOC=cos(∠BAC+∠ABO)=(cos∠BAC*cos∠ABO-sin∠BAC*sin∠ABO)/(cos∠BAC*cos∠ABO+sin∠BAC*sin∠ABO)=(1/2*x-√3/2*1)/(1/2*x+√3/2*1)=(x-√3)/(x+√3)。二面角A-PC-B的余弦值為(x-√3)/(x+√3)。18.解析：（1）證明：AB=AC，∠BAC=120°，所以∠ABC=∠ACB=30°。AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC。DE是三角形ABC的中線，所以DE⊥BC。（2）解：三棱錐D-ABC的體積V=1/3*底面積*高=1/3*AB*AC*sin∠BAC*AD=1/3*2*2*sin120°*1=2*√3/3=2√3/3。（3）解：過E作EO⊥平面ADC，垂足為O。連接DO。由三垂線定理，DO⊥AC。∠EDO為直線DE與平面ADC所成的角。設(shè)AO=x，EO=y，∠BAC=120°，AB=AC=2。由余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos120°=4+4-2*2*2*(-1/2)=8。AO=BC/2=√8/2=√2。EO=AD*sin∠ABC=1*sin30°=1/2。DO=√(EO^2+AO^2)=√((1/2)^2+(√2)^2)=√(1/4+2)=√(9/4)=3/2。cos∠EDO=EO/DE=1/2/√(1^2+(√2)^2)=1/(2*√3)=1/(2√3)。直線DE與平面ADC所成的角大小為arccos(1/(2√3))。19.解析：（1）證明：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱CC1、BB1、DD1的中點(diǎn)。設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則E(0,0,1/2)，F(xiàn)(1,0,1/2)，G(0,1,1/2)。向量B1E=(-1,0,-1/2)，向量ED1=(-1,1,1/2)，向量D1F=(1,-1,0)。向量B1E與向量ED1的點(diǎn)積為-1*(-1)+0*1+(-1/2)*(1/2)=1-1/4=3/4。向量ED1與向量D1F的點(diǎn)積為-1*1+1*(-1)+1*0=-1-1=-2。由于向量B1E與向量D1F的點(diǎn)積不為0，所以四邊形B1ED1F不是平行四邊形。（2）解：過E作EO⊥平面B1BD，垂足為O。連接B1O。由三垂線定理，B1O⊥BD。∠B1EO為二面角E-B1BD-F的平面角。設(shè)EO=x，B1O=y，∠B1BD=45°，B1B=1。由余弦定理，B1E^2=B1B^2+BE^2-2B1B*BE*cos45°=1+1/4-2*1*1/2*√2/2=3/4-√2/2。EO^2+y^2=1，x^2+y^2=1。B1O^2=EO^2+BO^2，BO=B1B*cos45°=1*√2/2=√2/2。B1O^2=x^2+(√2/2)^2=x^2+1/2。cos∠B1EO=EO/B1E=x/(3/4-√2/2)。二面角E-B1BD-F的余弦值為x/(3/4-√2/2)。20.解析：（1）解：圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√3。側(cè)面展開圖的圓心角為θ，圓錐的側(cè)面面積為πrl=π*1*√3=√3π。設(shè)展開圖圓心角為θ，弧長(zhǎng)為2π*1=2π。θ*2π*1=2π，θ=2π/2π=1。θ=360°。（2）解：過A作AO⊥OO1，垂足為O。連接BO。由三垂線定理，BO⊥OO1?！螦BO為直線AB與軸OO1所成的角。設(shè)AO=x，BO=y，∠AOB=120°，