1.4.2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(二)1/442/44正弦函數(shù)，余弦函數(shù)圖象和性質正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象值域________________[-1，1][-1，1]3/44正弦函數(shù)余弦函數(shù)單調(diào)性在________________(k∈Z)上遞增，在_________________(k∈Z)上遞減.在________________(k∈Z)上遞增，在________________(k∈Z)上遞減.最值x=_______(k∈Z)時，ymax=1；x=_______(k∈Z)時，ymin=-1.x=_____(k∈Z)時，ymax=1；x=________(k∈Z)時，ymin=-1.[2kπ-π，2kπ][2kπ，2kπ+π]2kπ2kπ+π4/441.判一判(正確打“√”，錯誤打“×”)(1)函數(shù)y=cos2x在上是減函數(shù).()(2)滿足2sinx=3x不存在.()(3)在區(qū)間［0,2π］上,函數(shù)y=cosx僅在x=0時取得最大值1.()5/44【解析】(1)錯誤.函數(shù)y=cos2x在上是增函數(shù).(2)正確.sinx≤1,故sinx=無解.(3)錯誤.在區(qū)間［0,2π］上,函數(shù)y=cosx在x=0與x=2π時取得最大值1.答案：(1)×(2)√(3)×6/442.做一做(請把正確答案寫在橫線上)(1)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是________.(2)若cosx=2m-1有意義，則m取值范圍是________.(3)函數(shù)y=cosx，x∈值域為________.7/44【解析】2.(1)由2kπ≤x－≤2kπ+π(k∈Z)可得：2kπ+≤x≤2kπ+π+(k∈Z)，即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).答案：(2)因為－1≤cosx≤1，即－1≤2m－1≤1，解得：0≤m≤1.答案：［0,1］8/44(3)y=cosx在上是增函數(shù)，在上是減函，且所以當時，當x=0時，ymax=1，故函數(shù)y=cosx,x∈值域為答案：9/44【關鍵點探究】知識點1

正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性對正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性三點說明(1)正弦、余弦函數(shù)在定義域R上均不是單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間.(2)求解(或判斷)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間(或單調(diào)性)是求值域(或最值)關鍵一步.10/44(3)確定含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)較復雜函數(shù)單調(diào)性時，要注意使用復合函數(shù)判斷方法來判斷.11/44【微思索】(1)正弦函數(shù)在定義域上是增函數(shù),而余弦函數(shù)在定義域上是減函數(shù),這種說法對嗎?提醒：不正確.正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間上是增函數(shù),并不是在整個定義域上是增函數(shù).余弦函數(shù)在閉區(qū)間［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)上是減函數(shù),并不是在整個定義域上是減函數(shù).12/44(2)當ω<0時，求y=Asin(ωx+φ)單調(diào)區(qū)間時應對解析式怎樣處理？提醒：可先利用誘導公式將其化為y=－Asin(－ωx－φ)，則y=Asin(－ωx－φ)增區(qū)間即為原函數(shù)減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)增區(qū)間.13/44【即時練】1.以下函數(shù)在上是增函數(shù)是()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x【解析】選D.y=cos2x在上為減函數(shù)，上為增函數(shù).14/442.函數(shù)y=－cosx在區(qū)間上是()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先減后增函數(shù)D.先增后減函數(shù)【解析】選C.y=－cosx在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故選C.15/443.求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間.【解析】令則y=－2sinz，求y=－2sinz增區(qū)間，即取y=sinz減區(qū)間，所以所以即所以單調(diào)增區(qū)間是16/44知識點2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值三點說明(1)明確正、余弦函數(shù)有界性，即|sinx|≤1,|cosx|≤1.(2)對有些函數(shù)，其最值不一定是1或-1，要依賴函數(shù)定義域來決定.(3)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)函數(shù)最值通常利用“整體代換”，即令ωx+φ=Z，將函數(shù)轉化為y=AsinZ形式求最值.17/44【知識拓展】正弦曲線與余弦曲線對稱性探究(1)正弦曲線、余弦曲線對稱軸分別過曲線最高點或最低點，正弦曲線對稱軸是直線x=kπ+(k∈Z),余弦曲線對稱軸是直線x=kπ(k∈Z).(2)正弦曲線、余弦曲線對稱中心分別是正弦曲線、余弦曲線與x軸交點，正弦曲線對稱中心是(kπ,0)(k∈Z)，余弦曲線對稱中心是18/44【微思索】(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象有怎樣對稱性？提醒：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，而且在定義域內(nèi)對稱軸和對稱中心不唯一.(2)求三角函數(shù)值域或最值時首先需要確定什么？提醒：需要確定函數(shù)定義域.19/44【即時練】以下關于函數(shù)y=-3cosx-1說法錯誤是()A.最小值為-4B.是偶函數(shù)C.當x=kπ，k∈Z時，函數(shù)取最大值D.是周期函數(shù)，最小正周期是2π【解析】選C.當x=kπ,k∈Z時，y=cosx可取到最大值，也可取最小值，故函數(shù)y=-3cosx-1,不但能取到最大值，也能取到最小值.20/44【題型示范】類型一正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性以及應用【典例1】(1)(·懷柔高一檢測)已知α,β為銳角三角形兩個內(nèi)角，則以下結論正確是()A.sinα<sinβB.cosα<sinβC.cosα<cosβ

D.cosα>cosβ(2)(·漢沽高一檢測)比較以下各組數(shù)大小：21/44【解題探究】1.題(1)中銳角三角形各個角有怎樣關系？2.題(2)中利用三角函數(shù)單調(diào)性在比較大小時應注意什么？【探究提醒】1.銳角三角形每一個角都小于90°，即任意兩個內(nèi)角和都大于90°.2.在利用三角函數(shù)單調(diào)性在比較大小時應注意把角放在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).22/44【自主解答】(1)選B.α，β為銳角三角形兩個內(nèi)角，所以(2)①因為而y=cosx在［0,π)上單調(diào)遞減，所以即②因為而且y=sinx在上單調(diào)遞增，所以即cos1<sin1.23/44【方法技巧】比較三角函數(shù)值大小策略(1)利用誘導公式轉化為銳角三角函數(shù)值.(2)不一樣名函數(shù)化為同名函數(shù).(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間.24/44【變式訓練】1.(·包頭高一檢測)cos1，cos2，cos3大小關系是_____(用“>”連接).【解析】因為0<1<2<3<π，而y=cosx在［0,π)上單調(diào)遞減，所以cos1>cos2>cos3.答案：cos1>cos2>cos325/442.已知函數(shù)f(x)=2sinωx，其中常數(shù)ω>0.若y=f(x)在上單調(diào)遞增，求ω取值范圍.【解析】因為函數(shù)y=f(x)在上單調(diào)遞增,且ω>0,所以且所以26/44【賠償訓練】已知α,β∈且cosα>sinβ，則α+β與大小為______.【解析】因為α,β∈所以又cosα>sinβ，所以而y=sinx,x∈為增函數(shù)，所以答案：27/44類型二正弦、余弦函數(shù)最值問題【典例2】(1)(·運城高一檢測)已知函數(shù)y=sinx，x∈值域為________.(2)設f(x)=acosx+b最大值是1，最小值是－3，試確定最大值.28/44【解題探究】1.題(1)中欲求函數(shù)值域時首先注意什么？2.題(2)中當cosx取1和-1時函數(shù)能取到最值，需要對a進行分類討論嗎？【探究提醒】1.求此函數(shù)值域時應首先看清該函數(shù)定義域為應在此定義域內(nèi)求值域.2.需要對a進行分類討論，當a>0時，此時函數(shù)最大值為a+b，最小值為－a+b；當a<0時，此時函數(shù)最大值為－a+b，最小值為a+b.29/44【自主解答】(1)y=sinx在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當時，y=sinx有最小值當時，y=sinx有最大值1，所以值域為答案：30/44(2)由題意，a≠0，當a>0時，所以此時其最大值為1.當a<0時，所以此時g(x)=其最大值為1.綜上知，g(x)最大值為1.31/44【延伸探究】若將題(1)中函數(shù)改為“y=sin2x－3sinx+1”，定義域仍為此時該函數(shù)值域又怎樣求？【解析】由本例(1)知，x∈時，sinx∈

設t=sinx，則y=t2－3t+1，t∈而y=t2－3t+1在上單調(diào)遞減，所以值域為32/44【方法技巧】求正弦、余弦函數(shù)值域關注點(1)形如y=asinx(或y=acosx)函數(shù)最值要注意對a討論.(2)將函數(shù)式轉化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)形式.(3)換元后配方利用二次函數(shù)求最值.33/44【變式訓練】(·邢臺高一檢測)求在上最大值和最小值.【解題指南】利用數(shù)形結合思想方法直觀簡單地求出函數(shù)在要求區(qū)間上最值.【解析】當x∈時，由函數(shù)圖象知，f(x)=所以，f(x)在上最大值和最小值分別為34/44【賠償訓練】函數(shù)最大值與最小值之和為()A.B.0

C.-1

D.【解題指南】本題考查三角函數(shù)性質，可利用整體代入法求出最大值和最小值.35/44【解析】選A.因為0≤x≤9,所以所以所以所以所以函數(shù)最大值與最小值之和為36/44【規(guī)范解答】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間時