河南省2024年高招數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<3}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<2}

D.{x|2<x<4}

2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z的模等于（）

A.1

B.-1

C.2

D.0

3.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

4.已知向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，則向量a+b的坐標(biāo)是（）

A.(2,1)

B.(4,-3)

C.(1,2)

D.(-2,3)

5.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

6.若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=2，a_3=8，則S_5等于（）

A.20

B.30

C.40

D.50

7.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.65°

D.135°

9.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則其在x=2處的切線斜率是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

10.已知直線l過點(diǎn)(1,2)，且與直線y=3x-1垂直，則直線l的方程是（）

A.y=-3x+5

B.y=3x-1

C.y=1/3x+1

D.y=-1/3x+3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=3^x

C.y=1/x

D.y=lg(x+1)

2.已知z為復(fù)數(shù)，且z滿足|z|=1，則z可能等于（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S_6等于（）

A.31

B.63

C.127

D.255

4.下列函數(shù)中，以π為最小正周期的有（）

A.y=tan(x)

B.y=cos(2x)

C.y=sin(x/2)

D.y=sec(x)

5.已知直線l1的方程為y=2x+1，直線l2的方程為y=-x/2+k，則l1與l2的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.相交

C.重合

D.垂直

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極小值點(diǎn)是______。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長度等于______。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=5，d=-2，則S_5=______。

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對(duì)稱？該點(diǎn)是______。

5.已知直線l過點(diǎn)(1,2)，且與直線y=3x-1垂直，則直線l的方程是______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{x+2y=5

{3x-y=2

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算lim(x→0)(sin(x)-x)/(x^3)。

5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，所以A∩B={x|1<x<3}∩{x|1<x<3}={x|1<x<3}，故選B。

2.A

解析：z^2=1，則z=±1，復(fù)數(shù)1和-1的模都是1，故選A。

3.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則底數(shù)a必須大于1，故選B。

4.A

解析：向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，則向量a+b=(3+(-1),-1+2)=(2,1)，故選A。

5.C

解析：圓x^2+y^2-4x+6y-3=0可化為(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心坐標(biāo)為(2,-3)，故選C。

6.C

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，則a_2=a_1+d=8，d=a_3-a_1=8-2=6，所以S_5=5a_1+10d=5*2+10*6=40，故選C。

7.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故選A。

8.A

解析：在△ABC中，角A+角B+角C=180°，角A=60°，角B=45°，則角C=180°-60°-45°=75°，故選A。

9.A

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f'(x)=3x^2-6x+2，f'(2)=3*2^2-6*2+2=12-12+2=1，故選A。

10.A

解析：直線l過點(diǎn)(1,2)，且與直線y=3x-1垂直，則直線l的斜率為-1/3，方程為y-2=-1/3(x-1)，即y=-1/3x+5/3，化簡得y=-3x+5，故選A。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,D

解析：函數(shù)y=3^x是指數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)y=lg(x+1)是對(duì)數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。故選B,D。

2.A,B,C,D

解析：復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則z的模為1，z可以表示為cosθ+isinθ，其中θ為實(shí)數(shù)，所以z可能等于1(cos0+isin0)，-1(cosπ+isinπ)，i(cosπ/2+isinπ/2)，-i(cos3π/2+isin3π/2)，故選A,B,C,D。

3.A,C

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，則q^3=a_4/a_1=16/1=16，q=2，所以S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=1*(1-2^6)/(1-2)=1*(-63)/(-1)=63，故選A,C。

4.A,B,D

解析：函數(shù)y=tan(x)的周期是π；函數(shù)y=cos(2x)的周期是π/|ω|=π/2；函數(shù)y=sec(x)的周期是2π。函數(shù)y=sin(x/2)的周期是2π/|ω|=2π/(1/2)=4π。故選A,B,D。

5.B,D

解析：直線l1的斜率為2，直線l2的斜率為-1/2，兩直線斜率之積為-1，所以兩直線垂直。故選B,D。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)，f'(x)在x=1處由正變負(fù)，所以x=1是極小值點(diǎn)。

2.√2

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB，所以b=a*sinB/sinA=√3*sin45°/sin60°=√3*√2/(√3*√3/3)=√2。

3.-10

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，d=-2，S_5=5a_1+10d=5*5+10*(-2)=25-20=-10。

4.(π/6,0)

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)的圖像關(guān)于點(diǎn)(π/6,0)對(duì)稱。

5.y=-1/3x+7/3

解析：直線l過點(diǎn)(1,2)，且與直線y=3x-1垂直，則直線l的斜率為-1/3，方程為y-2=-1/3(x-1)，即y=-1/3x+7/3。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+2)/(x+1)dx=∫1dx+∫2/x+1dx=x+2ln|x+1|+C。

2.解：{x+2y=5

{3x-y=2

由第二個(gè)方程得y=3x-2，代入第一個(gè)方程得x+2(3x-2)=5，即x+6x-4=5，7x=9，x=9/7，y=3*(9/7)-2=27/7-14/7=13/7，所以解為x=9/7，y=13/7。

3.解：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)，f(1-√(1/3))=1-(1-√(1/3))^3+2(1-√(1/3))，f(1+√(1/3))=1-(1+√(1/3))^3+2(1+√(1/3))，f(-1)=-1-3+2=-2，f(3)=27-27+6=6，所以最大值為6，最小值為-2。

4.解：lim(x→0)(sin(x)-x)/(x^3)=lim(x→0)(cos(x)-1)/3x^2=lim(x→0)(-sin(x))/6x=-1/6。

5.解：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)，長度為√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√8=2√2。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.函數(shù)的單調(diào)性：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)。

2.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)的模，輻角，復(fù)數(shù)的運(yùn)算。

3.數(shù)列：等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式。

4.三角函數(shù)：三角函數(shù)的圖像，性質(zhì)，周期性，對(duì)稱性。

5.解析幾何：直線方程，圓的方程，點(diǎn)到直線的距離，兩直線的位置關(guān)系。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)基本概