一輪復(fù)習(xí)講義冪函數(shù)與二次函數(shù)

憶一憶知識要點(diǎn)憶一憶知識要點(diǎn)①對稱軸:②頂點(diǎn):時(shí)遞減時(shí)遞增時(shí)遞增，時(shí)遞減2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)定義域x∈R(個(gè)別題目有限制的,由解析式確定)值域a>0a<0奇偶性b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性a>0a<0圖象特點(diǎn)憶一憶知識要點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)且二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

02分類討論在二次函數(shù)中的應(yīng)用涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)根分布問題,一般情況下要從四個(gè)方面考慮:①

f(x)

圖象的開口方向;②方程

f(x)=0的判別式;④區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號.③

f(x)

圖象的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)實(shí)根分布問題憶一憶知識要點(diǎn)①方程

f(x)=0

有兩正根

②方程

f(x)=0

有兩負(fù)根

③方程

f(x)=0

有一正根一負(fù)根

憶一憶知識要點(diǎn)記

f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)實(shí)根分布問題根的分布圖象充要條件根的分布圖象充要條件根的分布圖象充要條件兩個(gè)實(shí)根有且僅有一根在區(qū)間內(nèi)2.二次函數(shù)圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)(1)開口方向:a>0時(shí),開口____,a<0時(shí),開口_____．向上向下(2)頂點(diǎn)、對稱軸：頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____________;對稱軸方程為________.(3)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)①與y軸的交點(diǎn)是________;②當(dāng)Δ>0時(shí)，與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2分別是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．且|x1-x2|=______;

③當(dāng)Δ＝0時(shí),與x軸切于一點(diǎn)________;

④當(dāng)Δ<0時(shí)，與x軸_______．不相交(0,c)(4)在對稱軸的兩側(cè)單調(diào)性相反.(5)當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù).Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有兩不等實(shí)根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有兩相等實(shí)根x1=x2無實(shí)根{x|x≠x1}R3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系{x|x1<x<x2}??4.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立問題①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

對勾函數(shù)奇偶性:奇函數(shù)xyo單調(diào)性【例1】已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值.對稱軸為①當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤2時(shí)，得a=3或a=-2,與0≤a≤2矛盾.不合要求；②當(dāng)<0，即a<0時(shí)，y在[0，1]上單調(diào)遞減，有ymax=f(0)=2，③當(dāng)>1，即a>2時(shí)，y在[0，1]上單調(diào)遞增，綜上，得有ymax=f(1)=2,已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t).

解：

f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.①當(dāng)t+1<4,即t<3時(shí)，

f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增.此時(shí)h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7；②當(dāng)t≤4≤t+1,即3≤t≤4時(shí)，h(t)=f(4)=16；③當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減.此時(shí)h(t)=f(t)=-t2+8t.綜上可知練一練例2.設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切值都恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：設(shè)f(m)=mx2-2x-m+1,【點(diǎn)評】解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).則

f(m)是一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當(dāng)-2≤m≤2時(shí)，線段在x軸下方,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是【1】練一練與直線y=k有交點(diǎn),xy-11Y=k【2】若方程x2-2x=k在區(qū)間[-1,1]上有解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_____________.-1≤k≤3由圖象，得練一練【3】方程x2-mx+1=0的兩根為α,β且則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.練一練由圖可知，方法2:設(shè)f(x)=x2-mx+1,則f(0)=1.【3】方程x2-mx+1=0的兩根為α,β且則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.練一練例3.已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四個(gè)不相等的實(shí)根}.(2)由圖象可知，y＝f(x)與y＝mx圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，直線y＝mx應(yīng)介于x軸與切線l1之間.解:作出圖象如圖所示.(1)遞增區(qū)間為[1,2]和[3，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，1]和[2,3].得x2＋(m－4)x＋3＝0.由Δ＝0，得當(dāng)時(shí)，舍去.所以集合M＝{m|0＜m＜4－2}.例3.已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四個(gè)不相等的實(shí)根}.則問題轉(zhuǎn)化為m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在區(qū)間［2，3］上恒成立，（1）變量分離法(分離參數(shù))例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題．問題等價(jià)于f(x)max≤0,解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo（2）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題則解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo例4.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.（３）數(shù)形結(jié)合思想不等式恒成立問題解：據(jù)題意，由已知得: