專題強化八衛(wèi)星運動的三類問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會分析衛(wèi)星的變軌過程及各物理量的變化。2.掌握雙星或多星模型的特點。3.會分析衛(wèi)星的追及與相遇問題。考點一衛(wèi)星的變軌和對接問題1.衛(wèi)星發(fā)射模型(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，有GMmr12=m(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，所需向心力變大，GMmr12<mvA(3)在橢圓軌道B點(遠(yuǎn)地點)，GMmr22>mvB2r2，將做近心運動，再次點火加速，使GMm思考若使在軌道Ⅲ運行的宇宙飛船返回地面，應(yīng)如何操作?提示使飛船先減速進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)近地點時，使飛船再減速進(jìn)入近地圓軌道Ⅰ，之后再減速做近心運動著陸。2.變軌過程分析(1)速度:設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在橢圓軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB，四個速度關(guān)系為vA>v1>v3>vB。(2)向心加速度在A點，軌道Ⅰ上和軌道Ⅱ上的向心加速度關(guān)系aⅠA=aⅡA，在B點，軌道Ⅱ上和軌道Ⅲ上的向心加速度關(guān)系aⅡB=aⅢB，A、B兩點向心加速度關(guān)系aA>aB(均選填“>”“=”或“<”)。(3)周期衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期T1、T2、T3的關(guān)系為T1<T2<T3。(4)機械能在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒。若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ和從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ都需要點火加速，則機械能關(guān)系為E1<E2<E3。3.對接航天飛船與宇宙空間站的“對接”實際上就是兩個做勻速圓周運動的物體追趕問題，本質(zhì)仍然是衛(wèi)星的變軌運行問題。例1(2025·廣東廣州聯(lián)考)2024年6月25日，嫦娥六號攜帶1935.3克月背土壤準(zhǔn)確著陸于內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域。如圖是嫦娥六號繞月運行的簡化圖:軌道Ⅰ為繞月圓軌道，嫦娥六號在A點可以沿橢圓軌道Ⅱ運動到B點，且A點為軌道Ⅱ的遠(yuǎn)月點，B點為近月點。下列說法正確的是()A.嫦娥六號在A點加速可由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道ⅡB.嫦娥六號在軌道Ⅱ運行時A點速度大于B點速度C.嫦娥六號在軌道Ⅰ的機械能比軌道Ⅱ的機械能大D.嫦娥六號在軌道Ⅰ上A點的加速度大于其在軌道Ⅱ上A點的加速度答案C解析嫦娥六號在A點減速，做近心運動，可由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ，故A錯誤;根據(jù)開普勒第二定律，嫦娥六號在軌道Ⅱ運行時A點速度小于B點速度，故B錯誤;同一衛(wèi)星軌道越高，機械能越大，嫦娥六號在軌道Ⅰ的高度更大，則嫦娥六號在軌道Ⅰ的機械能比軌道Ⅱ的機械能大，故C正確;根據(jù)牛頓第二定律GMmr2=ma，可得a=GMr2，嫦娥六號在軌道Ⅰ上A點的加速度等于其在軌道Ⅱ上A點的加速度例2(2025·貴州畢節(jié)模擬)如圖所示，模擬發(fā)射飛船過程中，飛船在橢圓軌道1上的P點點火變軌進(jìn)入圓形軌道2，繞地球做勻速圓周運動。下列說法正確的是()A.飛船在軌道1上P點的線速度大于在軌道2上P點的線速度B.若要讓飛船與同一軌道上位于前方的空間實驗室對接，可將飛船加速到一個較高軌道，然后再減速追上實驗室完成對接C.飛船在兩個軌道上運行時，在P點處的機械能相等D.飛船在兩個軌道上的運轉(zhuǎn)周期T1<T2答案D解析飛船在軌道1上P點點火加速進(jìn)入軌道2，因此軌道1上P點的線速度小于軌道2上P點的線速度，飛船在兩個軌道上運行時，軌道1上P點處的機械能小于軌道2上P點處的機械能，故A、C錯誤;從低軌道加速到高軌后，在高軌上的環(huán)繞速度小，追不上，故B錯誤;根據(jù)萬有引力提供向心力，可得GMmr2=m4π2T2r，解得T=4π2r3GM，可得高軌周期長考點二雙星或多星模型1.雙星模型(1)定義:繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即Gm1m2L2=m1ω12r1，Gm②兩顆星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1+r2=L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即m1m2⑤雙星的運動周期T=2πL3⑥雙星的總質(zhì)量m1+m2=4π2.多星模型所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星及規(guī)律:常見的三星模型Gm2(2R)2+②Gm2L2×cos30°×常見的四星模型①Gm2L2×cosGm2(2②Gm2L2×cosGMmL32例3(2025·北京市八一學(xué)校高三開學(xué)考)所謂“雙星”就是兩顆相距較近的恒星，這兩顆星各自以一定的速率繞某一中心轉(zhuǎn)動才不致由于萬有引力而吸在一起，已知它們的質(zhì)量分別為M1和M2，相距為L，引力常量為G，下列說法正確的是()A.它們的軌道半徑之比r1∶r2=M1∶M2B.線速度大小之比v1∶v2=M1∶M2C.轉(zhuǎn)動中心O的位置距M2為MD.它們轉(zhuǎn)動的角速度為G答案D解析根據(jù)萬有引力提供向心力有GM1M2L2=M1ω2r1，GM1M2L2=M2ω2r2，所以r1r2=M2M1，ω=G(M1+M2)L3，故A錯誤，D正確;根據(jù)v=ωr，可得v1v2=r1例4(2024·重慶卷，7)在萬有引力作用下，太空中的某三個天體可以做相對位置不變的圓周運動，假設(shè)a、b兩個天體的質(zhì)量均為M，相距為2r，其連線的中點為O，另一天體(圖中未畫出)質(zhì)量為m(m?M)，若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置，a、b、c可視為繞O點做角速度相同的勻速圓周，且相對位置不變，忽略其他天體的影響。引力常量為G。則()A.c的線速度大小為a的3倍B.c的向心加速度大小為b的一半C.c在一個周期內(nèi)的路程為2πrD.c的角速度大小為GM答案A解析a、b、c三個天體角速度相同，由于m?M，則對a天體有GMM(2r)2=Mω2r，解得ω=GM4r3，故D錯誤;設(shè)c與a、b的連線與a、b連線中垂線的夾角為α，對c天體有2GMmrsinα2cosα=mω2rtanα，解得α=30°，則c的軌道半徑為rc=rtan30°=3r，由v=ωr，可知c的線速度大小為a的3倍，故A正確;由a=ω2r，可知c的向心加速度大小是b的3倍，故B例5(2025·廣東廣雅中學(xué)高三期中)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G。下列說法中正確的是()A.星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心B.每顆星體做勻速圓周運動的角速度均為(4+C.若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D.若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小變?yōu)樵瓉淼?倍答案B解析四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心，故A錯誤;根據(jù)萬有引力提供向心力2Gm2L2+Gm2(2L)2=mω2·22L，解得每顆星體做勻速圓周運動的角速度均為ω=(4+2)Gm2L3，故B正確;根據(jù)牛頓第二定律2Gm2L2+Gm2(2L)2=ma，可得a=12+2GmL2，若邊長L和星體質(zhì)量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的1考點三天體中的追及相遇問題1.相距最近天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉(zhuǎn)方向相同(如圖甲)，此時刻行星與地球相距最近。甲從此時刻到之后再次“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有以下兩種解決方法。(1)角度關(guān)系ω1t－ω2t=n·2π(n=1，2，3，…)(2)圈數(shù)關(guān)系tT1－tT2=n(n=1，解得t=nT1T2T2-T1(2.相距最遠(yuǎn):行星處在地球和太陽連線的延長線上(如圖乙)，三者共線，運轉(zhuǎn)方向相同，有關(guān)系式乙ω1t－ω2t=(2n－1)π(n=1，2，3，…)或tT1－tT2=2n-12(n例6(多選)(2025·四川雅安聯(lián)考)可近似認(rèn)為太陽系中各行星在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到另一行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日”。若地球及其他行星繞太陽運動的軌道半徑如下表，則下列說法正確的是()行星地球火星木星土星天王星海王星繞太陽運動的軌道半徑/AU1.01.55.29.51930A.火星的運行速率小于地球的運行速率B.木星繞太陽運行的周期比地球繞太陽運行的周期小C.土星的向心加速度比天王星的向心加速度小D.上表中的行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短答案AD解析對各行星，由萬有引力提供向心力有GMmr2=mv2r=m4π2T2r=ma，解得v∝1r，T∝r3，則火星的運行速率小于地球的運行速率;木星繞太陽運行的周期比地球繞太陽運行的周期大;土星的向心加速度比天王星的向心加速度大，選項A正確，B、C錯誤;設(shè)地球的運行周期為T0，角速度為ω0，軌道半徑為r0，則其他行星的軌道半徑為r=kr0，由萬有引力定律有GMmr02=mω02r0，GMmr2=mω2r，各行星相鄰兩次沖日需滿足ω0t－ωt=2π，解得t=kkkk-1T0=T01-1kk，則k值越大，t越小，即上表中的行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短，選項D正確。

A.至少需時間T1TB.至少需時間T1TC.至少需時間T1TD.至少需時間T1T答案AD解析設(shè)經(jīng)過時間Δt兩衛(wèi)星再次相距最近，有2πT1-2πT2Δt=(2k－1)π(k取1，2，3，…)，則Δt=(2k-1)T1T22(T2-T1)，當(dāng)k取1時Δt=T1T22(T2-T1)，A正確，B錯誤;設(shè)經(jīng)過Δt'時間兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，有2πT1-2πT2Δt'限時作業(yè)(限時:40分鐘)基礎(chǔ)對點練對點練1衛(wèi)星的變軌和對接問題1.(2025·河南名校聯(lián)考)北京時間2024年5月3日17時27分，長征五號遙五運載火箭在我國文昌航天發(fā)射場點火升空，嫦娥六號順利發(fā)射。如圖所示，嫦娥六號探測器進(jìn)行多次變軌修正之后，“著陸器、上升器組合體”降落月球表面，下列關(guān)于嫦娥六號探測器的說法正確的是()A.在地球上的發(fā)射速度一定大于第二宇宙速度B.在P點由軌道1進(jìn)入軌道2需要加速C.在軌道1與軌道2上經(jīng)過P點時，機械能相同D.在軌道2上運行時經(jīng)過P點時的速度小于經(jīng)過Q點時的速度答案D解析嫦娥六號發(fā)射出去后繞地球做橢圓運動，沒有離開地球束縛，發(fā)射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故A錯誤;嫦娥六號在軌道1上的P點處減速，使萬有引力大于向心力做近心運動，才能進(jìn)入軌道2，嫦娥六號的機械能減小，則在軌道1與軌道2上經(jīng)過P點時，機械能不相等，故B、C錯誤;由開普勒第二定律可知，在軌道2上運行經(jīng)過P點時的速度小于經(jīng)過Q點時的速度，故D正確。2.(2025·廣東深圳模擬)2023年我國“天宮號”太空實驗室實現(xiàn)了長期有人值守，我國邁入空間站時代。如圖所示，“天舟號”貨運飛船沿橢圓軌道運行，A、B兩點分別為橢圓軌道的近地點和遠(yuǎn)地點，則以下說法正確的是()A.“天舟號”在A點的線速度大于“天宮號”的線速度B.“天舟號”在B點的加速度小于“天宮號”的加速度C.“天舟號”在橢圓軌道的周期比“天宮號”周期大D.“天舟號”與“天宮號”對接前必須先減速運動答案A解析以中心天體的球心為圓心，過A點建一圓軌道，根據(jù)變軌原理可知，“天舟號”在A點從圓軌道加速可進(jìn)入橢圓軌道。根據(jù)GMmr2=mv2r，解得v=GMr，可知“天舟號”在A點所在圓軌道的線速度大于在B點所在圓軌道的線速度，所以“天舟號”在A點的線速度大于“天宮號”的線速度，故A正確;根據(jù)GMmr2=ma，可得a=GMr2，則“天舟號”在B點的加速度大小等于“天宮號”的加速度大小，故B錯誤;由開普勒第三定律，可知“天舟號”比“天宮號”運動周期小，故C錯誤;“天舟號”與“天宮號”3.(多選)(2025·遼寧沈陽聯(lián)考)2024年5月3日，嫦娥六號探測器發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，實現(xiàn)了我國深空探測的重大突破。如圖為嫦娥六號被月球捕獲后繞月球運行的軌道簡化示意圖，探測器經(jīng)地月轉(zhuǎn)移軌道在近月點A第一次“制動”進(jìn)入橢圓軌道Ⅰ，運行一段時間后，又在A點第二次“制動”進(jìn)入圓軌道Ⅱ。則探測器()A.在橢圓軌道Ⅰ的運行周期大于在圓軌道Ⅱ的運行周期B.在圓軌道Ⅱ運行過程中線速度保持不變C.在圓軌道Ⅱ上過A點時的速度大于在橢圓軌道Ⅰ上過B點時的速度D.沿橢圓軌道Ⅰ運行時，在A點的機械能大于在B點的機械能答案AC解析橢圓軌道Ⅰ的半長軸大于圓軌道Ⅱ的軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，探測器在橢圓軌道Ⅰ的運行周期大于在圓軌道Ⅱ的運行周期，A正確;探測器在圓軌道Ⅱ上做勻速圓周運動，線速度大小不變，方向時刻改變，B錯誤;在圓軌道Ⅱ上過A點運行時的軌道半徑小于過B點繞月球做圓周運動的半徑，由GMmr2=mv2r，得vA>vB圓，探測器在B點由圓軌道變軌到橢圓軌道Ⅰ時減速，做向心運動，有vB圓>vB，所以vA>vB，C正確;探測器沿橢圓軌道Ⅰ運行時，只有萬有引力做功，對點練2雙星或多星模型4.(2025·貴州貴陽模擬)中國科研團(tuán)隊利用中國天眼FAST發(fā)現(xiàn)迄今軌道周期最短的脈沖星雙星系統(tǒng)，并命名為M71E。設(shè)此雙星都是質(zhì)量均勻分布的球體，它們的質(zhì)量分別為m1、m2，兩者繞其中心連線上某點做勻速圓周運動，其中一顆星的速度大小為v1，不計其他天體對它們的作用。則另一顆星的速度大小為()A.m1v1mC.m1v1m答案A解析雙星系統(tǒng)角速度相同，設(shè)兩脈沖星的距離為L，做圓周運動半徑分別為r1、r2，有Gm1m2L2=m1ω2r1，Gm1m2L2=m2ω2r2，其中v=ωr5.(2025·廣東廣雅中學(xué)月考)1974年拉塞爾·豪爾斯和約瑟夫·泰勒發(fā)現(xiàn)豪爾斯—泰勒脈沖雙星。如圖，該雙星系統(tǒng)在互相公轉(zhuǎn)時，不斷發(fā)射引力波而失去能量，因此逐漸相互靠近，這現(xiàn)象為引力波的存在提供了首個間接證據(jù)。假設(shè)靠近過程短時間內(nèi)兩星球質(zhì)量不變，下列說法正確的是()A.質(zhì)量較大的星球，其所受的向心力越大B.質(zhì)量較大的星球，其向心加速度較小C.靠近過程線速度大小可能不變D.靠近過程周期越來越大答案B解析兩球之間的萬有引力分別提供了兩球做圓周運動所需的向心力，所以兩球的向心力大小相等，故A錯誤;設(shè)大脈沖星質(zhì)量為m1，半徑為r1，小脈沖星質(zhì)量為m2，半徑為r2，兩者距離為L，有Gm1m2L2=m1a1，Gm1m2L2=m2a2，可見質(zhì)量較大的星球，其向心加速度較小，故B正確;靠近過程，即r1、r2、L變小，由Gm1m2L2=m1ω2r1，Gm1m2L2=m2ω2r2，兩式相加化簡得ω=G(m1+6.宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的，由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對三星系統(tǒng)的影響。穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本形式:一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的軌道上運行，如圖甲所示，周期為T1;另一種是三顆星位于邊長為r的等邊三角形的三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓運行，如圖乙所示，周期為T2。若每顆星的質(zhì)量都相同，則T1∶T2為()A.R2r3RC.rR3R5答案D解析第一種形式下，星體A受到星體B和星體C對其的萬有引力，它們的合力充當(dāng)向心力，則GmmR2+Gmm(2R)2=m4π2T12R，解得T1=4πRR5Gm，第二種形式下，星體之間的距離r，那么圓周運動的半徑為R'=3r3，星體A所受的合力提供向心力，有2Gmmr2cos30°=m4π2T22對點練3天體中的追及相遇問題7.(2025·貴州遵義聯(lián)考)2023年9月21日，景海鵬、朱楊柱、桂海潮三位神舟十六航天員在中國空間站夢天實驗艙向全國青少年進(jìn)行了第四次太空科普授課，朱楊柱告訴我們“他在空間站里一天能看到16次日出(周期為1.5h)”。設(shè)中國空間站a和北斗系統(tǒng)中某顆中圓衛(wèi)星b均為赤道上空衛(wèi)星，中圓衛(wèi)星b的周期為12h，如圖所示，某時刻空間站a和中圓衛(wèi)星b相距最近，且兩者運動方向相同，以下說法正確的是()A.航天員的速度大于第一宇宙速度B.中國空間站a和中圓衛(wèi)星b軌道半徑之比為1∶8C.中國空間站a與中圓衛(wèi)星b加速度之比為8∶1D.從此時刻開始每隔127h中國空間站a和中圓衛(wèi)星b答案D解析根據(jù)萬有引力提供向心力可得GMmr2=mv2r，可得v=GMr，地球第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大線速度，可知航天員的速度小于第一宇宙速度，故A錯誤;根據(jù)開普勒第三定律可得ra3Ta2=rb3Tb2，可得中國空間站a和中圓衛(wèi)星b軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4，故B錯誤;根據(jù)牛頓第二定律可得GMmr2=ma，可得a=GMr2，則中國空間站a與中圓衛(wèi)星b加速度之比為aa∶ab=16∶1，故C錯誤;從此時刻開始，設(shè)每隔t時間中國空間站a和中圓衛(wèi)星b再次相距最近，則有2πTa8.(2025·陜西安康聯(lián)考)行星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道可近似為圓形。已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為1AU(AU為天文單位)，火星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為1.5AU，假設(shè)火星和地球的公轉(zhuǎn)軌道共面，則下列說法正確的是()A.火星的公轉(zhuǎn)周期約為1.5年B.每隔約0.8年會出現(xiàn)一次火星、太陽和地球三者共線的情形C.地球公轉(zhuǎn)的加速度大小約為火星公轉(zhuǎn)的加速度大小的2.25倍D.地球所受太陽的萬有引力大小約為火星所受太陽的萬有引力大小的2.25倍答案C解析由開普勒第三定律可得r火3T火2=r地3T地2，解得T火=r火3r地3T地≈1.8年，故A錯誤;設(shè)相鄰兩次共線的時間間隔為t，則2πT地t－2πT火t=π，解得t≈1.1年>0.8年，故B錯誤;太陽對行星的萬有引力充當(dāng)行星做勻速圓周運動的向心力，則GMmr2=ma，可得a=綜合提升練9.(多選)(2025·福建福州聯(lián)考)2024年5月8日，我國嫦娥六號探測器成功進(jìn)入12h環(huán)月大橢圓軌道Ⅲ。在近月點P點經(jīng)制動后，進(jìn)入4h橢圓停泊軌道Ⅱ，經(jīng)近月點P點再次制動后，進(jìn)入200km圓軌道Ⅰ，Q點為軌道Ⅱ的遠(yuǎn)月點。則探測器()A.在軌道Ⅱ的P點速度大于Q點速度B.在軌道Ⅱ的P點加速度等于Q點加速度C.沿軌道Ⅱ運動至P點需減速進(jìn)入軌道ⅠD.沿軌道Ⅰ運行的周期大于4h答案AC解析根據(jù)開普勒第二定律可知，在軌道Ⅱ的P點速度大于Q點速度，故A正確;根據(jù)GMmr2=ma，解得a=GMr2，可知在軌道Ⅱ的P點加速度大于Q點加速度，故B錯誤;沿軌道Ⅱ運動至P點需減速，做