第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省株洲四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=1?i，則|z|=(

)A.12 B.1 C.2 2.若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，且|aA.2 B.4 C.2或4 D.1或43.已知f(x)是在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)cosx在[?2,2]上的圖象可能為(

)A. B.

C. D.4.圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為3π，則此圓錐的體積為(

)A.223π B.235.已知某中學(xué)共有學(xué)生1000名，其中男生有600人，現(xiàn)按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人，抽取的樣本中男生身高的平均數(shù)和方差分別為160和4，女生身高的平均數(shù)和方差分別為155和3，則估計(jì)該校學(xué)生身高的總體方差是(

)A.9.6 B.9 C.8.6 D.86.如圖，A，B兩地相距45km，甲欲駕車(chē)從A地去B地，由于山體滑坡造成道路AB堵塞，甲沿著與AB方向成18°角的方向前行，中途到達(dá)C點(diǎn)，再沿與AC方向成153°角的方向繼續(xù)前行到達(dá)終點(diǎn)B，則這樣的駕車(chē)路程比原來(lái)的路程約多了(參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，sin27°≈0.45，2≈1.41)(

)A.45.5km B.51.5km C.56.5km D.60.5km7.已知△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所在的對(duì)邊，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+3=3tanBA.34 B.33 C.8.設(shè)角α1、α2滿足12+sinα1A.π4 B.π3 C.π2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=6，則下列結(jié)論正確的是(

)A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是(2,2)B.z?z?=4

C.z的實(shí)部與虛部之積小于等于3D.10.以下結(jié)論正確的是(

)A.“事件A，B互斥”是“事件A，B對(duì)立”的充分不必要條件．

B.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A=“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B=“第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B相互獨(dú)立

C.假設(shè)P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)=0.56

D.若P(A)>0，P(B)>0，則事件A，B相互獨(dú)立與事件A，B互斥不能同時(shí)成立11.在平面四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD.將該四邊形沿著對(duì)角線AC折疊，得到空間四邊形ABCD，E為棱BD的中點(diǎn)，則(

)A.異面直線AC，BD所成的角是π4 B.BD⊥平面AEC

C.平面ABD⊥平面AEC D.三、填空題：本題共3小題，共15分。12.已知平面向量a=(t?1,2?t)，b=(3,?2)，若a//b，則13.某中學(xué)舉辦電腦知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分，80分以上為優(yōu)秀，現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組：第一組[50,60)，第二組[60,70)，第三組[70,80)，第四組[80,90)，第五組[90,100]，其中第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小組的頻數(shù)是40，則參賽的人數(shù)為_(kāi)_____，成績(jī)優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)概率是______．14.已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)G是△ABC的重心.過(guò)點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E.設(shè)AD=λAB，AE=μAC，則1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=asin(π?x)cosx+cos(2x+π4)，且f(π4)=22．

(Ⅰ)求a的值和函數(shù)f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求不等式f(x)>32的解集；

(Ⅲ)在△ABC中，AB=1，16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD為正四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四棱錐的高為1，點(diǎn)E在棱AB上，且2AE=EB．

(1)若點(diǎn)F在棱PC上，是否存在實(shí)數(shù)λ滿足PF=λFC，使得BF//平面PDE？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)在第(1)問(wèn)的條件下，當(dāng)BF//平面PDE時(shí)，求三棱錐P?DEF的體積．17.(本小題15分)

高一年級(jí)疫情期間舉行全體學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)最高分為100分，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行了數(shù)據(jù)分析，將他們的分?jǐn)?shù)分成以下幾組：第一組[0,20)，第二組[20,40)，第三組[40,60)，第四組[60,80)，第五組[80,100]，得到頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)試估計(jì)這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；

(2)已知100名學(xué)生落在第二組[20,40)的平均成績(jī)是32，方差為7，落在第三組[40,60)的平均成績(jī)?yōu)?0，方差為4，求兩組學(xué)生成績(jī)的總平均數(shù)x?和總方差s2；

(3)已知年級(jí)在第二組[20,40)和第五組[80,100]兩個(gè)小組按等比例分層抽樣的方法，隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行座談，之后從這4人中隨機(jī)抽取2人作為學(xué)生代表，求這兩名學(xué)生代表都來(lái)自第五組[80,100]18.(本小題12分)

如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，將△BCD沿BD折起至△BPD(如圖2)，且點(diǎn)E為AP的中點(diǎn)．

(1)證明：平面ABP⊥平面BDE；

(2)若AP?AC=9，求平面PBC與平面BDE19.(本小題12分)

如圖，在正四面體A?BCD中，棱長(zhǎng)為2，E為CD中點(diǎn)．

(1)求證：CD⊥平面ABE．

(2)已知F為棱BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，CF=x，M為線段AF上一動(dòng)點(diǎn)，N為截面ABE上一動(dòng)點(diǎn)．

(i)若存在M，N使得平面FMN//BD，求x范圍．

(ⅱ)設(shè)CM+MN的最小值為關(guān)于x的函數(shù)f(x)，求f(x)值域．

參考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.4

13.100

0.15

14.3

15.(Ⅰ)f(x)=asin(π?x)cosx+cos(2x+π4)

=asinxcosx+cos2xcosπ4?sin2xsinπ4

=a?22sin2x+22cos2x，

因?yàn)閒(π4)=22，所以a?22×1+22×0=22，即a=22，

所以f(x)=22sin2x+22cos2x=sin(2x+π4)，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=2π2=π．

(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+π4)>32，得2kπ+π3<2x+π4<2kπ+2π3，k∈Z，

所以kπ+π24<x<kπ+5π24，k∈Z，

所以不等式f(x)>32的解集為(kπ+π24,kπ+5π24)，k∈Z．

(Ⅲ)因?yàn)閒(34α)=22，所以sin(3α216.(1)存在實(shí)數(shù)λ=2滿足PF=λFC，使得BF//平面PDE．

證明如下：如圖，

取DC上一點(diǎn)G，滿足DG=2GC，連接GF，GB，BF，

因?yàn)镻F=2FC，所以GF//PD．

因?yàn)镚F?平面PDE，PD?平面PDE，所以GF//平面PDE，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，且2AE=EB，所以DG//BE且DG=BE，

所以四邊形EBGD為平行四邊形，所以BG//ED，

因?yàn)锽G?平面PDE，ED?平面PDE，所以BG//平面PDE，

又因?yàn)锽G∩GF=G，BG?平面BGF，GF?平面BGF，

所以平面BGF//平面PDE．

又因?yàn)锽F?平面BGF，所以BF//平面PDE；

(2)已知VP?DEF=VF?PDE，因?yàn)锽F//平面PDE，所以VF?PDE=VB?PDE，

17.解：(1)由圖可得，眾數(shù)為60+802=70，

平均數(shù)為10×0.05+30×0.10+50×0.20+70×0.35+90×0.30=65；

(2)由圖可得，第二組[20,40)的人數(shù)為0.10×100=10人，第三組[40,60)的人數(shù)為0.20×100=20，

故x?=32×10+50×2010+20=44，

s2=13×[7+(32?44)2]+23×[4+(50?44)2]=77；

(3)由題，第二組[20,40)和第五組[80,100]的人數(shù)比為0.10：0.30=1：3，

故在第二組[20,40)和第五組[80,100]分別抽1人和3人．

記第二組[20,40)中的1人為A，第五組[80,100]中的3人分別為B1，B2，B3，

則這4人中隨機(jī)抽取2人作為學(xué)生代表，所有可能的情況有：

(A,B1)，(A,B2)，(A,B3)，18.(1)證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OP，OE，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BC=CD，且O既是AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，

又∵∠BAD=60°，∴△BCD是等邊三角形，

顯然BP=DP，∴OP⊥BD，

又AC∩OP=O，AC，OP?平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

∵AP?平面PAC，

∴BD⊥AP，

在折疊過(guò)程中，始終有BP=AB，又E是AP的中點(diǎn)，

∴BE⊥AP，又BE∩BD=B，BE、BD?平面BDE，

∴AP⊥平面BDE，

∵AP?平面ABP，

∴平面ABP⊥平面BDE；

(2)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴AC=23，

以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x，y軸，作Oz⊥平面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(?3,0,0)，

∴AB=(?3,1,0)，AC=(?23,0,0)，CB=(3,1,0)，

設(shè)P(m,0,n)，∴AP=(m?3,0,n)，

∴AP?AC=?23×(m?3)=9，解得m=?32，

又∵折疊過(guò)程中，OP=OC=3，

∴|OP|=m2+n2=3，

解得n=32，

∴P(?32,0,32)，∴19.(1)證明：在正四面體A?BCD中，△ACD，△BCD為等邊三角形，

∵E為CD中點(diǎn)，∴CD⊥DE，CD⊥AE，

∵DE∩AE=E，DE，AE?平面ABE，

∴CD⊥平面ABE．

(2)(i)如圖，延長(zhǎng)AN交BE于P，N在截面ABE上，

則P在線段BE上，

平面FMN與平面AFP為同一平面，

∵平面FMN//BD，BD，F(xiàn)P?平面BCD，

∴BD//FP，又P在線段BE上，∴x∈[1,2)．

(ii)將平面AFP沿AF展開(kāi)，并延長(zhǎng)CF，AP交于點(diǎn)Q，

CM+MN≤CN≤2sin∠CAN，

當(dāng)CF=x，AF=4+x2?2x，F(xiàn)P=1?x2，

∴CD⊥平面ABE，

當(dāng)FP⊥AE，即FP⊥平面ABE，∠FAP取得最小值，