一、等差數(shù)列選擇題1.已知等差數(shù)列
,且
,則數(shù)列
的前13項(xiàng)之和為()A.24 B.39 C.104 D.52解析：D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】由題意
,
,∴
．故選:D.2．已知等差數(shù)列
中,
,
,則
的值是(）A.15 B.30 C.3 D.64解析：A【分析】設(shè)等差數(shù)列
的公差為
,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組,求出
和
的值,
,即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列
的公差為
,則
,即
解得：
,所以，所以
的值是
,故選：A3.在數(shù)列
中,
,且
,則其通項(xiàng)公式為
()A.
B.
C.
D.
解析：D【分析】先由
得出
,再由累加法計(jì)算出
,進(jìn)而求出
.【詳解】解：，，化簡(jiǎn)得:
,兩邊同時(shí)除以
并整理得:，即
,
,
,…,
,將上述
個(gè)式子相加得:
…
…
,即，，又
也滿足上式,，.故選:D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛:利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí),如果出現(xiàn)
,要注意檢驗(yàn)首項(xiàng)是否符合.4．已知遞減的等差數(shù)列
滿足
,則數(shù)列
的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)n=()A.4或5 B.5或6 C.4 D.5解析：A【分析】由
,可得
,從而得
,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可【詳解】解:設(shè)遞減的等差數(shù)列
的公差為
(
),因?yàn)?,所以
,化簡(jiǎn)得
,所以，對(duì)稱(chēng)軸為
,因?yàn)?,
,所以當(dāng)
或
時(shí),
取最大值,故選：A5.若等差數(shù)列{an}滿足a2=20,a5=8,則a1=()A.24 B.23 C.17 D.16解析：A【分析】由題意可得
,再由
可求出
的值【詳解】解:根據(jù)題意,
,則
,故選:A.6．冬春季節(jié)是流感多發(fā)期,某地醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列
,已知
,
,且滿足
(
),則該醫(yī)院30天入院治療流感的共有()人A.225 B.255 C.365 D.465解析：B【分析】直接利用分類(lèi)討論思想的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和【詳解】解:當(dāng)
為奇數(shù)時(shí),
,當(dāng)
為偶數(shù)時(shí),
,所以，
是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以，故選：B7.在等差數(shù)列{an}中,已知a5=3,a9=6,則a13=()A.9 B.12 C.15 D.18解析：A【分析】在等差數(shù)列{an}中,利用等差中項(xiàng)由
求解.【詳解】在等差數(shù)列{an}中,a5=3,a9=6,所以，所以，故選：A8.設(shè)
是等差數(shù)列
(
)的前
項(xiàng)和,且
,則
()A.
B.
C.
D.
解析：C【分析】由題建立關(guān)系求出公差,即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列
的公差為
,，，，.故選：C9.已知數(shù)列
中,
,且滿足
,若對(duì)于任意
,都有
成立,則實(shí)數(shù)
的最小值是()A.2 B.4 C.8 D.16解析：A【分析】將
變形為
,由等差數(shù)列的定義得出
,從而得出
,求出
的最值,即可得出答案.【詳解】因?yàn)?時(shí),
,所以
,而
所以數(shù)列
是首項(xiàng)為3公差為1的等差數(shù)列,故
,從而
.又因?yàn)?恒成立,即
恒成立,所以
.由得所以
,所以
,即實(shí)數(shù)
的最小值是2故選：A10.已知等差數(shù)列
中,前
項(xiàng)和
,則使
有最小值的
是()A.7 B.8 C.7或8 D.9解析：C【分析】
看作關(guān)于
的二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可以求解.【詳解】，∴數(shù)列
的圖象是分布在拋物線
上的橫坐標(biāo)為正整數(shù)的離散的點(diǎn).又拋物線開(kāi)口向上,以
為對(duì)稱(chēng)軸,且
|,所以當(dāng)
時(shí),
有最小值．故選：C11.已知數(shù)列
是公差不為零的等差數(shù)列,且
,則
()A.
B.
C.3 D.4解析：A【分析】根據(jù)數(shù)列
是等差數(shù)列,且
,求出首項(xiàng)和公差的關(guān)系,代入式子求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?故選：A12.等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和分別為
,若
,則
的值為()A.
B.
C.
D.
解析：C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式,化簡(jiǎn)求解即可【詳解】＝＝＝＝＝.故選C13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.S5,S10-S5,S15-S10必成等差數(shù)列 B.S2,S4-S2,S6-S4必成等差數(shù)列C．S5,S10,S15+S10有可能是等差數(shù)列 D．S2,S4+S2,S6+S4必成等差數(shù)列解析：D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可判定A.B正確;當(dāng)首項(xiàng)與公差均為0時(shí),可判定C正確;當(dāng)首項(xiàng)為1與公差1時(shí),可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意,數(shù)列
為等差數(shù)列,
為前
項(xiàng)和,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得而
,和
構(gòu)成等差數(shù)列,所以,所以A,B正確;當(dāng)首項(xiàng)與公差均為0時(shí),
是等差數(shù)列,所以C正確;當(dāng)首項(xiàng)為1與公差1時(shí),此時(shí)
,此時(shí)
不構(gòu)成等差數(shù)列,所以D錯(cuò)誤.故選:D.14．?dāng)?shù)列
是項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列,它的奇數(shù)項(xiàng)的和是24,偶數(shù)項(xiàng)的和為30,若它的末項(xiàng)比首項(xiàng)大
,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是()A.8 B.4 C.12 D.16解析：A【分析】設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n,由題意可得
,及
可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列
的項(xiàng)數(shù)為2n,
末項(xiàng)比首項(xiàng)大
,，，．由
,可得
,
,即項(xiàng)數(shù)是8,故選:A.15．已知各項(xiàng)不為
的等差數(shù)列
滿足
,數(shù)列
是等比數(shù)列,且
,則
()A.1 B.8 C.4 D.2解析：B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),由題中條件,求出
,再由等比數(shù)列的性質(zhì),即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)不為
的等差數(shù)列
滿足
,所以
,解得
或
(舍);又?jǐn)?shù)列
是等比數(shù)列,且
,所以.故選:B.二、等差數(shù)列多選題16.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,….,其中從第三項(xiàng)起,每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和,后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列
稱(chēng)為"斐波那契數(shù)列",記
為數(shù)列
的前n項(xiàng)和,則下列結(jié)論正確的是()A.
B.
C.
D.
解析:ABCD【分析】由題意可得數(shù)列
滿足遞推關(guān)系
,對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)可得正確答案.【詳解】對(duì)A,寫(xiě)出數(shù)列的前6項(xiàng)為
,故A正確;對(duì)B,
,故B正確;對(duì)C,由
,
,
,……,
,可得:
.故
是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng).對(duì)D,斐波那契數(shù)列總有
,則
,
,
,……,
,

,故D正確;故選:ABCD.【點(diǎn)睛】本題以"斐波那契數(shù)列"為背景,考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì),考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換.17．已知等差數(shù)列
的公差
,前
項(xiàng)和為
,若
,則下列結(jié)論中正確的有()A.
B.
C．當(dāng)
時(shí),
D．當(dāng)
時(shí),
解析:ABC【分析】因?yàn)?是等差數(shù)列,由
可得
,利用通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為
和
即可判斷選項(xiàng)A;利用前
項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B;利用等差數(shù)列的性質(zhì)
即可判斷選項(xiàng)C;由
可得
且
,
即可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?是等差數(shù)列,前
項(xiàng)和為
,由
得:
,即
,即
,對(duì)于選項(xiàng)A:由
得
,可得
,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:
,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:
,若
,則
,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:當(dāng)
時(shí),
,則
,因?yàn)?,所以
,
,所以
,故選項(xiàng)D不正確,故選:ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由
得出
,熟記等差數(shù)列的前
項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式,靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.18.等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,
,則下列結(jié)論一定正確的是()A．
B．
C．當(dāng)
或
時(shí),
取得最大值 D．
解析:ABD【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得
,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),逐一判斷即可得出結(jié)論.【詳解】∵等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,
,∴
,解得
,故
,故A正確;∵
,
,故有
,故B正確;該數(shù)列的前
項(xiàng)和
,它的最值,還跟
的值有關(guān),故C錯(cuò)誤;由于
,
,故
,故D正確,故選:ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前
項(xiàng)和公式進(jìn)行化簡(jiǎn),直接根據(jù)性質(zhì)判斷結(jié)果.19．已知數(shù)列
滿足:
,當(dāng)
時(shí),
,則關(guān)于數(shù)列
的說(shuō)法正確的是()A.
B.數(shù)列
為遞增數(shù)列C.
D.數(shù)列
為周期數(shù)列解析:ABC【分析】由
,變形得到
,再利用等差數(shù)列的定義求得
,然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】當(dāng)
時(shí),由
,得，即
,又
,所以
是以2為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,所以，即
,故C正確;所以
,故A正確;
,所以
為遞增數(shù)列,故正確;數(shù)列
不具有周期性,故D錯(cuò)誤;故選:ABC20．已知等差數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
,公差為d,且
,
,則()A.
B.
C.
D.
解析:BD【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)結(jié)合前
項(xiàng)和公式,求出
,可判斷C,D,由等差數(shù)列基本量運(yùn)算,可得公差,判斷出A,B.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?,
,所以公差
.故選:BD21.首項(xiàng)為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列
,其前
項(xiàng)和為
,則下列4個(gè)命題中正確的有()A.若
,則
,
;B.若
,則使
的最大的n為15;C.若
,
,則
中
最大；D．若
,則
.解析:ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì),逐一檢驗(yàn)選項(xiàng),即可得答案.【詳解】對(duì)于A:因?yàn)檎龜?shù),公差不為0,且
,所以公差
,所以
,即
,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得
,又
,所以
,
,故A正確;對(duì)于B:因?yàn)?,則
,所以
,又
,所以，所以
,
,所以使
的最大的n為15,故B正確;對(duì)于C:因?yàn)?,則
,
,則
,即
,所以則
中
最大,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,則
,又
,所以
,即
,故D正確,故選:ABD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是先判斷d的正負(fù),再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),對(duì)求和公式進(jìn)行變形,求得項(xiàng)的正負(fù),再分析和判斷,考查等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用,屬中檔題.22．已知正項(xiàng)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,若對(duì)于任意的
,
,都有
,則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C.若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為
,
,
,則
D.數(shù)列
為遞減的等差數(shù)列解析:AC【分析】令
,則
,根據(jù)
,可判定A正確;由
,可判定B錯(cuò)誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可判定C正確;
,根據(jù)
,可判定D錯(cuò)誤.【詳解】令
,則
,因?yàn)?,所以
為等差數(shù)列且公差
,故A正確;由
,所以
,故B錯(cuò)誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得
,所以
,
,故
,故C正確;由
,因?yàn)?,所以
是遞增的等差數(shù)列,故D錯(cuò)誤.故選:AC.【點(diǎn)睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的三種方法;1.作差比較法:根據(jù)
的符號(hào),判斷數(shù)列
是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列;2、作商比較法：根據(jù)
或
與1的大小關(guān)系,進(jìn)行判定;3.數(shù)形結(jié)合法:結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.23．已知等差數(shù)列
的公差不為
,其前
項(xiàng)和為
,且
、
、
成等差數(shù)列,則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有(）A.
B.
C.
最小 D.
解析:BD【分析】設(shè)等差數(shù)列
的公差為
,根據(jù)條件
、
、
成等差數(shù)列可求得
與
的等量關(guān)系,可得出
、
的表達(dá)式,進(jìn)而可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列
的公差為
,則
,
,因?yàn)?、
、
成等差數(shù)列,則
,即
,解得
,
,
.對(duì)于A選項(xiàng),
,
,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),
,
,B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),
.若
,則
或
最小;若
,則
或
最大.C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),
,D選項(xiàng)正確.故選:BD.【點(diǎn)睛】在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量,通過(guò)建立方程(組)獲得解,另外在求解等差數(shù)列前
項(xiàng)和
的最值時(shí),一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)或者數(shù)列的單調(diào)性來(lái)求解.24．無(wú)窮數(shù)列
的前
項(xiàng)和
,其中
,
,
為實(shí)數(shù),則()A.
可能為等差數(shù)列B.
可能為等比數(shù)列C.
中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列D.
中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列解析:ABC【分析】由
可求得
的表達(dá)式,利用定義判定得出答案.【詳解】當(dāng)
時(shí),
.當(dāng)
時(shí),
.當(dāng)
時(shí),上式＝
.所以若
是等差數(shù)列,則
所以當(dāng)
時(shí),
是等差數(shù)列,
時(shí)是等比數(shù)列;當(dāng)
時(shí),
從第二項(xiàng)開(kāi)始是等差數(shù)列．故選:ABC【點(diǎn)睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和
與通項(xiàng)公式
的關(guān)