2025年高數(shù)第八章測試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典測試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。2025年高數(shù)第八章測試題一、選擇題（每題4分，共20分）1.下列函數(shù)在區(qū)間\((-1,1)\)內(nèi)收斂的是：A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)2.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)的收斂半徑為：A.1B.2C.\(\infty\)D.03.函數(shù)\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}\)在何處收斂？A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)4.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\ln(n)}\)的收斂性是：A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無法判斷5.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{1-x}\)在\(x=0\)處的泰勒級數(shù)展開式為：A.\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)B.\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\)C.\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)D.\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}\)二、填空題（每題5分，共25分）1.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的前三項和為________。2.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n^2}\)的收斂域為________。3.函數(shù)\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\)在\(x=1\)處的值是________。4.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)在\(p>1\)時________。5.函數(shù)\(f(x)=\ln(1+x)\)在\(x=0\)處的麥克勞林級數(shù)展開式的前三項為________。三、解答題（每題10分，共50分）1.判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)的收斂性。2.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot2^n}\)的收斂半徑和收斂域。3.將函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)在\(x=\frac{\pi}{4}\)處展開為泰勒級數(shù)。4.判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}\)的收斂性。5.將函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}\)展開為冪級數(shù)，并求其收斂域。答案及解析一、選擇題1.B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)-解析：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是p-級數(shù)，當(dāng)\(p=2>1\)時，級數(shù)收斂。其他選項均發(fā)散。2.C.\(\infty\)-解析：根據(jù)冪級數(shù)的收斂半徑公式，\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0\)，所以收斂半徑為\(\infty\)。3.B.\(x=1\)-解析：該冪級數(shù)是關(guān)于\(x-1\)的展開，所以中心在\(x=1\)，且收斂半徑為\(\infty\)。4.B.條件收斂-解析：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\ln(n)}\)是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，\(\frac{1}{n\ln(n)}\)單調(diào)遞減且趨近于0，所以條件收斂。但不是絕對收斂，因為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)}\)發(fā)散。5.A.\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)-解析：\(\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)在\(|x|<1\)時收斂。二、填空題1.1-解析：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots=1\)。2.\((2-\sqrt{2},2+\sqrt{2})\)-解析：根據(jù)根值判別法，\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^2}}=0\)，所以收斂半徑為1，中心在2，收斂域為\((2-1,2+1)=(1,3)\)。3.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)-解析：\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\cos(x)\)，所以\(f(1)=\cos(1)\approx\frac{\sqrt{2}}{2}\)。4.收斂-解析：當(dāng)\(p>1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)滿足萊布尼茨判別法，條件收斂。5.\(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\)-解析：\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\)。三、解答題1.判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)的收斂性。-解析：使用比值判別法：\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{e}<1\]所以級數(shù)收斂。2.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot2^n}\)的收斂半徑和收斂域。-解析：使用根值判別法：\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\cdot2^n}}=\frac{1}{2}\]所以收斂半徑為2。收斂域為\((-2,2)\)。3.將函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)在\(x=\frac{\pi}{4}\)處展開為泰勒級數(shù)。-解析：\(f(x)=\sin(x)\)的泰勒級數(shù)展開式為：\[\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-\frac{\pi}{4})^{2n+1}}{(2n+1)!}\]4.判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}\)的收斂性。-解析：使用比較判別法，\(\frac{\ln(n)}{n^2}\leq\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\)，而\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)收斂，所以原級數(shù)收斂。5.將函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}\)展開為冪級數(shù)，并求其收斂域。-解析：分解為部分分式：\[f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}\]分別展開：\[\frac{1}{x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\quad(|x|<1)\]\[\frac{1}{x-2}=\s