第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江西省贛州市全南中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(1+i)2=A.2i B.1+2i C.2+2i D.02.使得等式2cosx?m=1有意義的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(?∞,0] C.[?1,1] D.[?3,1]3.已知向量a=(1,?3)與b=(4,k)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k=(

)A.14 B.?12 C.?4 D.4.已知α∈(0,π)，sinα+cosα=225，則A.425 B.?425 5.把函數(shù)y=cosx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12倍(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=f(x)的圖象，則f(x)=(

)A.cos(2x?π6) B.cos(2x?π36.已知一個(gè)圓柱形容器的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正方形，往容器內(nèi)注水后水面高度為3，若再往容器中放入一個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，則此時(shí)水面的高度為(

)A.103 B.3712 C.1137.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，若f(α)=1，則cos(2α+π3)=A.79

B.?79

C.?8.在△ABC中，若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD=2DC，且AD=mAC+nABA.12 B.2 C.13 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sin2x?3cos2x，下列說(shuō)法正確的是A.f(x)的最小正周期為π

B.f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(5π6,0)

C.f(x)在區(qū)間(0,π3)內(nèi)單調(diào)遞增

D.將函數(shù)10.已知復(fù)數(shù)z=(1?i)(6+i)，則(

)A.z?=7+5i B.|z?2|=52

C.z+7為純虛數(shù)11.已知m，n為兩條不同的直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是(

)A.若n//α，α∩β=m，則m//n

B.若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β

C.若α//β，m//α，n⊥β，則m⊥n

D.若m//n，m⊥α，n⊥β，則α//β三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosα=1213,α∈(?π213.已知向量a=(1,1),b=(?1,3)，則向量a在向量b方向上的投影向量為_(kāi)_____.(用坐標(biāo)表示14.已知a∈R，復(fù)數(shù)z1=a+3i，z2=2?i，若z1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=1+cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．16.(本小題15分)

(1)已知sinα=?23，且α是第四象限的角，求cosα及tanα；

(2)已知tanα=?12，求17.(本小題15分)

如圖所示的幾何體的上部是一個(gè)正四棱錐P?ABCD，下部是一個(gè)正方體，其中正四棱錐P?ABCD的高為32，△PCD是等邊三角形，CD=6．

(1)求該幾何體的表面積；

18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，2ccosB+bcos(B+C)=acosB．

(1)求B；

(2)若b=2393sinB,19.(本小題17分)

如圖，正四棱錐S?ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD．

(1)求證：AC⊥SD；

(2)求二面角P?AB?D的平面角的正切值；

(3)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC.若存在，求SEEC

答案解析1.【答案】A

【解析】解：(1+i)2=1+2i+i2=1+2i?1=2i．

故選：2.【答案】D

【解析】解：由2cosx?m=1得cosx=1+m2，因?yàn)?1≤cosx≤1，所以?1≤1+m2≤1，解得?3≤m≤1．

故選：D3.【答案】B

【解析】解：∵向量a=(1,?3)與b=(4,k)共線(xiàn)，

∴41=k?3，

解得k=?12．

4.【答案】A

【解析】解：由已知得，因?yàn)閟inα+cosα=225，

所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=825，

則2sinαcosα=?1725，

故(sinα?cosα)2=1?2sinαcosα=4225，

又sinαcosα<0且α∈(0,π)，所以sinα>0，cosα<0，

所以sinα?cosα>0，故sinα?cosα=4255.【答案】B

【解析】解：把函數(shù)y=cosx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12倍可得y=cos2x，

再將圖象上所有的點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)為y=cos[2(x?π6)]=cos(2x?π3)．

故選：B．

求出把函數(shù)6.【答案】A

【解析】解：設(shè)放入鐵球時(shí)水面的高度為?，

則根據(jù)題意可得π×22×3+43π×13=π×227.【答案】A

【解析】解：由題圖可知可得T2=π，

因此T=2π，ω=1，

當(dāng)x=π3時(shí)，π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，故φ=2kπ+π6，k∈Z．

由0<φ<π可得φ=π6，

由函數(shù)的最大值為3可得A=3，因此f(x)=3sin(x+π6)，

由f(α)=1，得sin(α+π8.【答案】B

【解析】解：畫(huà)出圖形，如圖所示，

所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=139.【答案】ACD

【解析】解：由題意得f(x)=2(sin2xcosπ3?cos2xsinπ3)=2sin(2x?π3)，

根據(jù)f(x)的最小正周期T=2π2=π，可知A選項(xiàng)正確；

根據(jù)f(5π6)=2sin(2×5π6?π3)=2sin4π3=?3≠0，

可知f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(5π6,0)對(duì)稱(chēng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x∈(0,π3)10.【答案】ABD

【解析】解：∵z=(1?i)(6+i)=6+1?6i+i=7?5i，

∴z?=7+5i，故A正確；

|z?2|=|5?5i|=52+52=52，故B正確；

z+7=7?5i+7=14?5i不是純虛數(shù)，故C錯(cuò)誤；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,?5)，位于第四象限，故11.【答案】CD

【解析】解：若n/?/α，α∩β=m，則m/?/n或m與n異面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m?α，n?α，m//β，n/?/β，但沒(méi)說(shuō)明m與n相交，則α/?/β不一定成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若α/?/β，m/?/α，n⊥β，則m⊥n，所以C選項(xiàng)正確；

若m/?/n，m⊥α，n⊥β，則α/?/β，所以D選項(xiàng)正確．

故選：CD．

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，逐一判斷即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．12.【答案】7【解析】解：由已知得，sinα=?1?cos2α=?513，

所以cos(α?π4)=cosαcosπ13.【答案】(?1【解析】解：因?yàn)閍=(1,1)，b=(?1,3)，則a?b=1×(?1)+1×3=2．

|b|=(?1)2+32=1+9=10，14.【答案】32【解析】解：由復(fù)數(shù)z1=a+3i，z2=2?i，得z1z2=a+3i2?i=(a+3i)(2+i)(2?i)(2+i)=2a?3+(6+a)i15.【答案】π；

[kπ,kπ+π2【解析】解：(1)由f(x)=1+cos2x，

得f(x)的最小正周期為T(mén)=2π2=π；

(2)令2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，解得：kπ≤x≤π2+kπ，k∈Z．

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,kπ+π2]，k∈Z16.【答案】(1)∵sinα=?23，且α是第四象限的角，

∴cosα=1?sin2α=1?(?23)2=53，則tanα=sinαcosα=?235【解析】(1)由已知求解cosα，再由商的關(guān)系可得tanα；

(2)對(duì)α所在象限分類(lèi)，結(jié)合平方關(guān)系聯(lián)立方程組求解．

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．17.【答案】363+180；

【解析】解：(1)設(shè)M是CD的中點(diǎn)，連接PM，

因?yàn)椤鱌CD是邊長(zhǎng)為6的正三角形，

所以PM⊥CD，且PM=62?32=33，

所以該幾何體的表面積S=(12×6×33)×4+62×4+62=363+180；

(2)連接AC，BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接PO，則PO是四棱錐P?ABCD的高，

則PO=32，

所以VP?ABCD=13×18.【答案】π3；

a=4c=3或a=3【解析】(1)因?yàn)?ccosB+bcos(B+C)=acosB，

則由正弦定理可得：2sinCcosB?sinBcosA=sinAcosB，

即2sinCcosB=sin(A+B)=sinC，所以cosB=12，又0<B<π，

所以B=π3；

(2)由b=2393sinB，B=π3可得：b=13，

由BC?AB=?BC?BA=?accosB=?6可得：ac=12，

所以由余弦定理可得：b2=a219.【答案】證明見(jiàn)解析；

67；

存在，SE：EC=2：1【解析】(1)證明：在正四棱錐S?ABCD中，連接BD，設(shè)AC∩BD=O，

連接SO，則點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，

根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可得SO⊥平面ABCD，而AC?平面ABCD，

則SO⊥AC，

又AC⊥BD，SO，BD?平面SBD，BD∩SO=O，

于是AC⊥平面SBD，而SD?平面SBD，

所以AC⊥SD．

(2)過(guò)P作PQ⊥BD于Q，過(guò)Q作QR⊥AB于R，連接PR，

在三角形SBD中，PQ//SO，又SO⊥平面ABCD，

所以PQ⊥平面ABCD，

因?yàn)锳B?平面ABCD，所以AB⊥PQ，

又QR⊥AB，PQ∩QR=Q，PQ，QR?平面PQR，

所以AB⊥平面PQR，

PR?平面PQR，所以AB⊥PR，

于是∠PRQ是二面角P?AB?D的平面角，

令正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，則BD=SD=SB=2AB=22，SO=SB2?(BD2)2=(22)2?(2)2=6，

因?yàn)镾P=3PD，

所以PQ=14SO=64,QR=78AD=74，

在直角三角形PQR中，tan∠PRQ=PQQR=6474=67，

所以二面角P?AB?D的