第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省名校聯(lián)盟常德市漢壽一中等多校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.通過圓臺側(cè)面一點，有無數(shù)條母線

B.棱柱的底面一定是平行四邊形

C.用一個平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺

D.圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形2.設(shè)集合A={2,1?a,a2?a+2}，若4∈A，則a=A.?3或?1或2 B.?3或?1 C.?3或2 D.?1或23.已知集合A={?1,2}，B={x|ax+2=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的取值所組成的集合是(

)A.{?1,2} B.{?1,1} C.{?2,0,1} D.{?1,0,2}4.若函數(shù)f(x)=log3ax(a>0且a≠1)在[?1,2]上的值域為[m,2]，則A.?4或?1 B.0或?2 C.?2或?1 D.?4或?25.對于實數(shù)x，規(guī)定<x>表示不小于x的最小整數(shù)，例如：<?3.5>=?3，<2.1>=3，則不等式3<x>2?13<x>+4<0成立的一個必要不充分條件是A.x∈(0,3] B.x∈[0,3) C.x∈(1,2] D.x∈(0,4]6.“2a>2b”是“l(fā)ogA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.函數(shù)y=ln|x|x2A.B.C.D.8.函數(shù)f(x)=ln(x2A.(?∞,?2) B.(?∞,?1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.以A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三個點為頂點作平行四邊形，則第四個頂點D的坐標(biāo)可以是(

)A.(2,3) B.(2,?1) C.(4,1) D.(?2,?1)10.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延長邊CD至點E，使得DE=CD.動點P從點A出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，若AP=λAB+μAEA.當(dāng)點P在線段AB上移動時，λ+μ∈[0,1]

B.滿足λ+μ=1的點P有且只有一個

C.滿足λ+μ=2的點P有兩個

D.λ+μ最大值為311.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+y)+f(x?y)=f(x)?f(y)，且f(1)=?2，則(

)A.f(0)=2

B.f(x)為奇函數(shù)

C.f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2023)=?2

D.?2≤f(x)≤2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知1<a<4，2<b<8，則a?2b的取值范圍為______．13.關(guān)于x的不等式(ax?1)2<x2恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)a14.若(a?1)?1<(2a+1)?1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a=(1,2)

(1)若|c|=25，且c//a，求c的坐標(biāo)；

(2)若b=(1,1)16.(本小題15分)

某校為了解高二段學(xué)生每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長的分布情況，隨機抽取了100名高二學(xué)生進行調(diào)查，得到了這100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長(單位：分鐘)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)若該校高二段有800名學(xué)生，估計該段日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長不低于80分鐘的學(xué)生有多少名？

(2)估計該100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長的平均數(shù)和第75百分位數(shù)．17.(本小題15分)已知集合A={x|x2?4x?5≥0}

(1)若a=?1，求A∩B和A∪B；

(2)若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍．18.(本小題17分)

設(shè)0<α<π<β<2π，向量a=(1,?2)，b=(2cosα,sinα)，c=(sinβ,2cosβ)，d=(cosβ,?2sinβ)．

(1)a⊥b，求α；

(2)若|c+d|=319.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x|x+a|(a∈R)．

(1)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，求a的值；

(2)若a<0，記函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的最小值為M(a)．

(i)求M(a)；

(ii)設(shè)函數(shù)g(x)=x2+ax+4(a∈R)滿足：對任意x∈R，均存在x0∈[2,+∞)，使得g(x)=f(答案解析1.【答案】D

【解析】解：對于A，經(jīng)過圓臺側(cè)面上一點只有一條母線，A錯誤；

對于B，棱柱的底面是多邊形，不一定是平行四邊形，B錯誤；

對于C，用一個平面平行于棱錐底面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺，C錯誤；

對于D，圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形，因為是軸截面，所以都是全等的等腰三角形，三角形的底邊是圓錐的底面圓的直徑，三角形的兩腰是圓錐的母線長，D正確；

故選：D．

利用解析幾何知識，根據(jù)柱錐臺的相關(guān)概念逐一分析四個答案結(jié)論的真假，可得答案．

本題以命題的真假判斷為載體，考查了柱錐臺的基本概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了集合的確定性，互異性，無序性，屬于中檔題．

分別由1?a=4，a2?a+2=4，求出a的值，再將【解答】

解：若1?a=4，則a=?3，∴a2?a+2=14，∴A={2,4,14}，滿足；

若a2?a+2=4，則a=2或a=?1，

a=2時，1?a=?1，∴A={2,?1,4}；

a=?1時，1?a=2，不符合互異性，

則a=?3或23.【答案】D

【解析】解：∵A∪B=A，∴B?A，

當(dāng)a=0時，B=?，滿足條件；

當(dāng)a≠0時，?a+2=0或2a+2=0，解得a=2或a=?1；

綜上可得，實數(shù)a的取值所組成的集合是：{0,2,?1}．

故選：D．

根據(jù)A∪B=A可得出B?A，然后可討論a是否為0：a=0時，顯然滿足題意；a≠0時，可得出?a+2=0或2a+2=0，然后解出a的值，從而可得出實數(shù)a的值所組成的集合．

本題考查集合的并集的運算以及集合之間的關(guān)系，子集的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：∵函數(shù)y=log3x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)y=ax在[?1,2]上的值域為[3m,9]．

對底數(shù)a分兩種情況討論：

①當(dāng)0<a<1時，y=ax在[?1,2]上單調(diào)遞減，則a?1=9，解得a=19，

則3m=a2=181，得m=?4．

②當(dāng)a>1時，y=ax在[?1,2]上單調(diào)遞增，

則a2=9，解得a=3或一3(舍去)，

則3m=a?15.【答案】D

【解析】解：由3<x>2?13<x>+4<0可得13<<x><4，

根據(jù)定義可得，<x>可取1，2，3，則0<x≤3，

結(jié)合選項可知，只有D符合題意．

故選：D．

解二次不等式先求出<x>6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．

分別解出2a>2b，log2a>log2b【解答】

解：當(dāng)a<0或b<0時，如a=1，b=?1，滿足“2a>2b”，但不能得到log2a>log2b，

反之由log2a>log2b即：a>b>07.【答案】B

【解析】解：函數(shù)y=f(x)=ln|x|x2+2的定義域為(?∞,0)∪(0,+∞)，

且f(?x)=ln|?x|(?x)2+2=ln|x|x2+2=f(x)，故函數(shù)是偶函數(shù)，故排除選項AC；8.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

由x2?2x?8>0得：x<?2或x>4，令【解答】解：由x2?2x?8>0得：x<?2或x>4，

即f(x)的定義域為{x|x<?2或x>4}，

令t=x2?2x?8，

y=lnt在t∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，

而x∈(?∞,?2)時，t=x2?2x?8為減函數(shù)，x∈(4,+∞)時，t=x2?2x?89.【答案】ACD

【解析】解：因為A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，

以ABC三個點為頂點作平行四邊形，如圖所示：

設(shè)第四個頂點D的坐標(biāo)為(x,y)，

若AB=DC，則(1,?1)=(3?x,2?y)，

即3?x=12?y=?1，解得x=2y=3，所以D(2,3)，選項A正確；

若AC=BD，則(3,1)=(x?1,y)，

即x?1=3y=1，解得x=4y=1，所以D(4,1)，選項C正確；

若AD=CB，則(x,y?1)=(?2,?2)，

即x=?2y?1=?2，解得x=?2y=?1，所以D(?2,?1)，選項D10.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題目；菱形ABCD中，∠BAD=60°，延長邊CD至點E，使得DE=CD．

動點P從點A出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，若AP=λAB+μAE，

建立如圖所示的平面坐標(biāo)系，設(shè)菱形ABCD的邊長為1，P(x,y)，則

A(0,0),B(1,0),C(32,32),D(12,32),E(?12,32)，

即AB=(1,0),AE=(?12,32),AP=(x,y)，

由AP=λAB+μAE，得(x,y)=λ(1,0)+μ(?12,32)=(λ?12μ,32μ)，

即x=λ?12μy=32μ，即λ+μ=x+3y，

①當(dāng)點P在AB上時，0≤x≤1，且y=0，

即λ+μ=x+3y=x∈[0,1]，所以A正確；

②當(dāng)點P在BC(不含點B)上時，則BP=mBC，

即(x?1,y)=m(12,32)，化簡y=3(x?1)，

即λ+μ=x+3y=x+3(x?1)=4x?3，

因為1<x≤32，即1<4x?3≤3，即λ+μ∈(1,3]；

③當(dāng)點P在CD(不含點C)上時，則12≤x<32，且y=32，

即12+32≤x+3y<32+32，即2≤x+3y<3，即λ+μ∈[2,3)；

④當(dāng)點P在AD(不含點A、D)上時，則AP=nAD，

即(x,y)=n(12,32)，化簡y=3x，

即λ+μ=x+3y=x+3x=4x，

因為0<x<111.【答案】ACD

【解析】解：A.令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)?f(0)，得f(0)=2，A正確；

B.令x=0，得f(y)+f(?y)=f(0)?f(y)，f(0)=2，則f(?y)=f(y)，函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故B錯誤；

C.令y=1，得f(x+1)+f(x?1)=f(x)?f(1)，即[f(x+1)+f(x)]+[f(x?1)+f(x)]=0，

設(shè)f(x?1)+f(x)=g(x)，則g(x+1)+g(x)=0，

所以g(x+2)=?g(x+1)=g(x)，所以函數(shù)g(x)的周期為2，

g(1)=f(0)+f(1)=2?2=0，g(3)=f(2)+f(3)=0，…，g(2023)=f(2022)+f(2023)=0，

所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2023)=0，f(0)=2，

所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2023)=?2，故C正確；

D.由f(x+y)+f(x?y)=f(x)?f(y)，f(0)=2，f(1)=?2，

令x=y=12，得f(1)+f(0)=f2(12)=0，所以f(12)=0，

將y換成x，得f(2x)+f(0)=f2(x)，①，

將x，y換成x+12，得f(2x+1)+f(0)=f2(x+12)，②，

將x換成2x+12，y換成12，得f(2x+1)+f(2x)=f(2x+12)?f(12)=0，③，12.【答案】(?15,0)

【解析】解：若1<a<4，2<b<8，則?16<?2b<?4，

∴?15<a?2b<0，

故答案為：(?15,0)．

由?2<b<3求得?16<?2b<?4，可得a?2b的取值范圍．

本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，由2<b<8，求得?2b的范圍是解題的關(guān)鍵．也可以利用線性規(guī)劃求解．13.【答案】(?3【解析】【分析】本題主要考查含參不等式的解法及不等式解集中的整數(shù)解問題．

先將原不等式轉(zhuǎn)化為[(a+1)x?1][(a?1)x?1]<0，再對a分類討論分別求出原不等式的解集，然后根據(jù)其解集中恰有兩個整數(shù)求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】

解：不等式(ax?1)2<x2可化為[(a+1)x?1][(a?1)x?1]<0，

①當(dāng)a=1時，原不等式等價于2x?1>0，其解集為(12,+∞)，不滿足題意；

②當(dāng)a=?1時，原不等式等價于2x+1<0，其解集為(?∞,?12)，不滿足題意；

③當(dāng)a>1時，原不等式等價于(x?1a+1)(x?1a?1)<0，其解集為(1a+1,1a?1)，

∵其解集中恰有2個整數(shù)，∴2<1a?13≥1a?1，解得：43≤a<32；

14.【答案】{a|a<?2或?1【解析】解：不等式(a?1)?1<(2a+1)?1可化為1a?1<12a+1，

即1a?1?12a+1<0，

所以a+2(a?1)(2a+1)<0，

解得a<?2或?12<a<1，

15.【答案】解：(1)∵a=(1,2)，c/?/a，故可設(shè)c=λa=(λ,2λ)，由|c|=25，可得λ2+4λ2=20，

解得λ=±2，

∴c=(2,4)或(?2,?4)．

(2)∵a=(1,2)，b=(1,1)，

∴a+λb=(λ+1,λ+2)，

∵a與a+λb的夾角為銳角，

【解析】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，兩個向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)設(shè)c=λa=(λ,2λ)，由|c|=25，可得λ2+4λ2=20，解方程求得λ值．

(2)求出a+λb=(λ+1,λ+2)，由a與a16.【答案】解：(1)由(0.025+0.005)×10×800=240，可知每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長不低于80分鐘的同學(xué)約有240人；

(2)由(0.005×45+0.015×55+0.02×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=72，

可知，100名學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長樣本的平均數(shù)約為72，

設(shè)第75百分位數(shù)為x，

因為(0.005+0.015+0.02+0.03)×10=0.7，(0.005+0.015+0.02+0.03+0.025)×10=0.95，

所以第75百分位數(shù)在80?90之間，

則0.7+(x?80)×0.025=0.75，

解得x=82，

所以100名學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長樣本的第75百分位數(shù)約為82．

【解析】(1)求得不低于80分的頻率，進而可求人數(shù)；

(2)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的估計公式可求平均數(shù)，利用百分位數(shù)的定義計算可求第75百分位數(shù)．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)和百分位數(shù)的定義，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)a=?1時，集合A={x|x2?4x?5≥0}={x|x≤?1或x≥5}，

集合B={x|2a≤x≤a+2}={x|?2≤x≤1}，

∴A∩B={x|?2≤x≤?1}，

A∪B={x|x≤1或x≥5}．

(2)∵A∩B=B，∴B?A，

當(dāng)B=?時，2a>a+2，解得a>2；

當(dāng)B≠?時，a≤2a+2≤?1或a≤22a≥5，

解得a≤?3．

綜上，【解析】本題考查交集和并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意不等式性質(zhì)的合理運用．

(1)由此能求出集合A={x|x2?4x?5≥0}={x|x≤?1或x≥5}，從而能求出A∩B和A∪B．

(2)由A∩B=B，得B?A18.【答案】解：(1)若a⊥b，則a?b=2cosα?2sinα=0，∴tanα=1.再由0<α<π<β