2.2橢圓2.2.1橢圓及其原則方程自主學(xué)習(xí)新知突破1．理解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程．2．理解橢圓的原則方程的推導(dǎo)及簡化過程．3．掌握橢圓的定義、原則方程及幾何圖形．取一條定長的無彈性的細(xì)繩，把它的兩端分別固定在圖板的兩點F1，F(xiàn)2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖．[問題1]若繩長等于兩點F1，F(xiàn)2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？[提示1]線段F1F2.[問題2]若繩長L不不大于兩點F1，F(xiàn)2的距離，移動筆尖(動點M)滿足的幾何條件是什么？動點的軌跡是什么？[提示2]|MF1|＋|MF2|＝L.動點的軌跡是橢圓．橢圓的定義定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的_________________(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓焦點兩個_____叫做橢圓的焦點焦距兩焦點間的______叫做橢圓的焦距集合語言P＝{M|___________________,2a>|F1F2|}距離之和等于常數(shù)定點距離|MF1|＋|MF2|＝2a對橢圓定義的理解(1)集合的語言描述為P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(2)平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a，當(dāng)2a>|F1F2|時，軌跡是橢圓，當(dāng)2a＝|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2，當(dāng)2a<|F1F2|時，軌跡不存在．橢圓的原則方程(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)c2＝a2－b2

橢圓原則方程中注意的幾個問題(1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c構(gòu)成如圖的直角三角形，我們把它稱為“特性三角形”．(2)方程中的兩個參數(shù)a與b，擬定橢圓的形狀和大?。唤裹cF1，F(xiàn)2的位置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓原則方程的類型．(3)方程Ax2＋By2＝C表達橢圓的充要條件是：ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B.A>B時，焦點在y軸上，A<B時，焦點在x軸上．解析：由橢圓方程知a2＝25，則a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.答案：D答案：A答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)4．求適合下列條件的橢圓的方程．(1)焦點在x軸上，且通過點(2,0)和點(0,1)；(2)焦點在y軸上，與y軸的一種交點為P(0，－10)，P到它較近的一種焦點的距離等于2.合作探究課堂互動求橢圓的原則方程思路點撥：求橢圓原則方程的關(guān)注點擬定橢圓的方程涉及“定位”和“定量”兩個方面．(1)“定位”是指擬定與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點的前提下，擬定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指擬定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解． 用待定系數(shù)法求橢圓的原則方程的解題環(huán)節(jié)：

如圖，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點A(1,0)．Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，求點M的軌跡方程．運用橢圓的定義求軌跡方程思路點撥：首先觀察圖形，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)得到點M到線段AQ兩端的距離相等，然后由A，C這兩個定點聯(lián)想到橢圓的定義，得到點M到這兩個定點A，C的距離的和等于圓C的半徑5，從而可知所求點M的軌跡是橢圓．

由題意知點M在線段CQ上，從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又點M在AQ的垂直平分線上，則|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.

求解有關(guān)橢圓的軌跡問題，普通有以下兩種思路：(1)首先通過題干中給出的等量關(guān)系列出等式，然后化簡等式得到對應(yīng)的軌跡方程；(2)首先分析幾何圖形所揭示的幾何關(guān)系，看所求動點軌跡與否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．

2．已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點B(3,0)，圓P過B點且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．思路點撥：由余弦定理和橢圓定義分別建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求△PF1F2的面積．橢圓定義的應(yīng)用

橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△F1PF2稱為焦點三角形，解有關(guān)橢圓中的焦點三角形問題時要充足運用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．

【錯解一】∵2c＝6，∴c＝3，由橢圓的原則方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b