浙江省衢州、麗水、湖州三地市2025屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測（二模）數(shù)學(xué)試題1．已知集合A=xx2?x?2≤0，A．(0,2] B．(0,2) C．[?1,2] D．(0,1]2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a2?4+(a?2)i（a∈RA．2或?2 B．2 C．0 D．?23．已知向量a=(1,1)，b=(?1,1)，則向量a+A．(1,1) B．(?1,1) C．(0,1) D．(0,0)4．若(1?x)7=aA．31 B．32 C．63 D．645．“sin2α<0”是“tanA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要6．正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M,N分別為正方形A．0 B．34 C．12 D．37．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c．已知A,B,C成等差數(shù)列，a,c,43bA．14 B．12 C．338．過拋物線C:y2=4x焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點，過點A作C的切線l，交x軸于點M，過點B作直線l的平行線交x軸于點NA．12 B．10 C．9 D．89．已知函數(shù)f(x)=sinA．f(x)的最大值是2 B．f(x)在(0,πC．f(π2?x)=f(x) D．f(x)10．若函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x?y+1=0對稱，則函數(shù)f(x)的解析式可能是（）A．f(x)=3x+2 B．f(x)=C．f(x)=ex?2x11．如圖，多面體PABCQ由正四面體P?ABC和正四面體Q?ABC拼接而成，一只螞蟻從頂點P出發(fā)，沿著多面體的各條棱爬行，每次等概率地爬行到相鄰頂點中的一個，記n次爬行后，該螞蟻落在點P的概率為pn，落在點Q的概率為qA．p2=14 B．p3>12．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=213．已知斜率大于零的直線l交橢圓Γ:x24+y2=1于A,B兩點，交x,y軸分別于C,D兩點，且14．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=1+2f(x)?f(x)2，則f(2025)+2f(0)15．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥DC．將△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，連接AC，得到三棱錐A?BCD．（1）求證：CD⊥平面ABD；（2）點E是BC的中點，連接AE、DE，若AB=AD=2（i）求二面角B?AD?E的正切值；（ii）求三棱錐A?BCD的外接球體積．16．某校舉辦定點投籃挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每位參賽同學(xué)可在A,B兩點進行投籃，共投兩次．第一次投籃點可在A,B兩點處隨機選擇一處，若投中，則第二次投籃點不變；若未投中，則第二次切換投籃點．在A點投中得2分，在B點投中得3分，未投中均得0分，各次投中與否相互獨立．（1）在參賽的同學(xué)中，隨機調(diào)查50名的得分情況，得到如下2×2列聯(lián)表：得分≥3分得分<3分合計先在A點投籃20525先在B點投籃101525合計302050是否有99%（2）小明在A點投中的概率為0.7，在B點投中的概率為0.3．（i）求小明第一次投中的概率；（ii）記小明投籃總得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：χα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82817．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1（（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若E上兩點A,B滿足F2B=λF1A（λ>1），且四邊形18．已知函數(shù)f(x)=ex+a（a∈R），（1）當(dāng)a=1時，（i）求曲線y=f(x)在點(?1,f(?1))處的切線方程；（ii）若點P是函數(shù)f(x)圖象上一點，求OP的最小值；（2）若函數(shù)f(x)圖象上存在不同兩點A,B滿足OA=OB=19．對于給定的n項整數(shù)數(shù)列An：a1,a2,???,an（n≥3），定義變換H(i)：①若i=1，則a1加2，an,a2均加1，其余項不變；②若1<i<n，則ai加2，ai?1,ai+1均加1，其余項不變；③若i=n，則an加2，an?1,（1）找出一系列變換，使得數(shù)列：1,2,3經(jīng)過這系列變換后成為常數(shù)列；（2）是否能找出一系列變換，使得數(shù)列：?1,?1,0,2,2經(jīng)過這系列變換后成為常數(shù)列，若存在，請給出具體的變換；若不存在，請說明理由；并請判斷當(dāng)n為奇數(shù)時，對于任意數(shù)列An（3）當(dāng)n為偶數(shù)且數(shù)列An

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：解不等式x?2x+1≤0，可得?1≤x≤2，即集合A=x?1≤x≤2，

集合故答案為：A.【分析】先解不等式求得集合A，B，再根據(jù)集合的交集定義求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得：a2?4=0a?2≠0故答案為：D.【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念，列方程組求解a的值即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由向量a=(1,1)，b=(?1,1)，可得a+則向量a+b在向量b上的投影向量為故答案為：B.【分析】由題意，根據(jù)投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：(1?x)7令x=0，a0令x=1，a0+令x=?1，a0?①+②=2a0+a2+a4+故答案為：C.【分析】利用賦值法求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由sin2α<0，可得π+2kπ<2α<2π+2kπ，k∈Z則π2+kπ<α<π+kπ，k∈Z，即π4+kπ2<α由tanα2>1，可得kπ+則2kπ+π<2α<2kπ+2π，k∈Z，此時sin2α<0則“sin2α<0”是“tan故答案為：B.【分析】解不等式sin2α<0與tanα26．【答案】C【解析】【解答】解：以點D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)正方體邊長為1，則D0,0,0,BMN=則cosMN即異面直線BD與MN所成角的余弦值為12故答案為：C.【分析】以點D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解異面直線所成角余弦值即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，因為A,B,C成等差數(shù)列，所以2B=A+C，又因為A+B+C=π，所以B=π又因為a,c,43b成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，所以c=qa由正弦定理可得asin整理可得sinA=2q又因為sin2A+cos整理可得q?23q3+5q2+4+q?22=0，解得故答案為：D.【分析】由A,B,C成等差數(shù)列可得B=π3，再由a,c,43b成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，可得c=qa，b=3q2a8．【答案】C【解析】【解答】解：易知拋物線C:y2=4x的焦點F1,0，如圖所示：

由題意，設(shè)直線AB方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1y2=4x，

消元整理可得y2?2my?4=0則B1設(shè)在點A處的切線方程為y?2t=kx?聯(lián)立y?2t=kx?t2由Δ=16?4k?4t則在點A處得切線方程為y?2t=1tx?令y=0，求得x=?t2，則M=?過點B作直線l的平行線BN，易知kBN=1t，直線令y=0，則x=2+1t2FN=則FM+4當(dāng)且僅當(dāng)t2=2時等號成立，故故答案為：C.【分析】易知拋物線的焦點F1,0，設(shè)At2,2t，設(shè)直線AB方程為x=my+1，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，求得B1t2,?2t，設(shè)在點A處的切線方程為y?2t=kx?t2，聯(lián)立切線與拋物線方程，由于Δ=16?4k?4t29．【答案】A,C【解析】【解答】函數(shù)f(x)=sinx+cosx=2sinx+B、當(dāng)x∈(0,π2)時，x+π4∈πCfπ2?x=D、令fx=0，則2sinx+π4=0，即sinx+π4=0，解得x+π4=kπ，故答案為：AC.【分析】先利用輔助角公式化簡函數(shù)f(x)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式逐項判斷即可.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x?y+1=0對稱，

所以函數(shù)f(x)需滿足在定義域上單調(diào)；A、函數(shù)f(x)=3x+2定義域為R，且單調(diào)遞增，故A正確；B、函數(shù)f(x)=ex?C、函數(shù)f(x)=ex?2x定義域為R，f'(x)=ex?2，

當(dāng)x>ln2時，f'D、函數(shù)f(x)=ln(x+1+易知f'(x)=11+x故答案為：ABD.【分析】由題意可知：函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)，再逐項求定義域，判斷單調(diào)性即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設(shè)螞蟻n次爬行后，落在點A或B或由題意可得：pn+1=1易得p2=1由原方程組可得rn+2則rn+2+12rn+1同理rn+2?rn+1=?1由①②可知，rn=23?故答案為：ACD.【分析】螞蟻從點P出發(fā)，第一次爬行后只能到達A,B,C中的一個，從而可確定p1和q1，從A,B,C中的任一點出發(fā)，均有從該點出發(fā)的四條棱，到達點P或Q的概率為14；設(shè)螞蟻n次爬行后，落在點A或B或C的概率為rn，只能從A,B,C中的任一點出發(fā)到達點P或Q，則可確定pn+1、q12．【答案】110【解析】【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=2，故答案為：110.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.13．【答案】1【解析】【解答】解：設(shè)直線AB方程為y=kx+b，k>0，點Ax1,聯(lián)立y=kx+bx24Δ=64k2由韋達定理可得：x1+x2=?直線y=kx+b中，令x=0，得y=b，則D0,b，

令y=0，得x=?bk則CD的中點坐標(biāo)為C?因為C,D是線段AB的三等分點，所以線段CD的中點為線段AB的中點，則?b2k=?故答案為：12【分析】設(shè)直線AB為y=kx+b，k>0，點Ax1,y1,Bx2,y2，易知b≠0，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理可得x1+14．【答案】3+【解析】【解答】解：由f(x+1)=1+2f(x)?f(x)2，可得2f(x)?f(x)2原式兩邊平方得f(x+1)2=1+2又2f(x+1)=2+22f(x)?f(x)②-①可得2f(x+1)?f(x+1)即2f(x+1)?f(x+1)2+2f(x)?又f(x+1)?12=2f(x)?f(x)2[f(x+1)?1]=?f(x+2)?1所以2所以[f(x+2)?1]2=[f(x)?1]2，即則函數(shù)f(x)時周期為2的周期函數(shù)，即f(2025)=f(1)，又因為[f(0)?1]2設(shè)f(0)?1=cosθ,f(1)?1=sin則f(2025)+2f(0)=3+5故f(1)+2f(0)最大值為3+5故答案為：3+5【分析】由f(x+1)=1+2f(x)?f(x)2，求得1≤f(x)≤2，推得f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)時周期為2的周期函數(shù)，求得f(2025)=f(1)，再由[f(0)?1]2+[f(1)?1]215．【答案】（1）證明：在直角梯形ABCD中，因為AB⊥AC，AB⊥AD，AD∩AC=A，AD,AC?平面ACD，

所以AB⊥平面ACD，又因為CD?平面ACD，所以AB⊥CD，

又因為BD⊥CD，BD∩AB=B，BD,AB?平面ABD，所以CD⊥平面ABD；（2）解：（i）以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，如圖所示：

則A(1,0,1)，E(1,1,0)，DA=(1,0,1)，DE=(1,1,0)，

設(shè)平面ADE的一個法向量為n=x,y,z，則n?DA=x+z=0n?DE=x+y=0，取x=1，則n=1,?1,?1，

由（1）可知，平面ABD的一個法向量為m=0,1,0，

則cosn,m=n?mnm=?33，

由圖可知：二面角B?AD?E平面角是銳角，

設(shè)二面角B?AD?E平面角為θ【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判斷定理證明AB⊥平面ACD，即可證得CD⊥平面ABD；（2）（i）以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，求得平面ADE的一個法向量與平面ABD的一個法向量，利用空間向量法求二面角B?AD?E的余弦值，再求正切值即可；

（ii）由題意可知，E為三棱錐A?BCD的外接球的球心，且球半徑為2，根據(jù)球的體積公式求解即可.（1）因為AB⊥AC，AB⊥AD，AD∩AC=A，AD,AC?平面ACD，所以AB⊥平面ACD，又CD?平面ACD，所以AB⊥CD又因為BD⊥CD，BD∩AB=B，BD,AB?平面ABD，所以CD⊥平面ABD.（2）（i）以D為坐標(biāo)原點，以DB，DC，Dz所在直線為x軸，y軸，則A(1,0,1)，E(1,1,0)，所以DA=(1,0,1)DE=(1,1,0)，設(shè)平面ADE的一個法向量為n=x,y,z取x=1，則n=由（1）可知，平面ABD的一個法向量為m=所以cosn由圖可知二面角B?AD?E平面角是銳角，記為θ，則cosθ=33，所以故二面角B?AD?E的正切值為2.（ii）因為∠BAC=∠BDC=π所以E為三棱錐A?BCD的外接球的球心，且球半徑為2，故三棱錐A?BCD的外接球體積為8216．【答案】（1）解：零假設(shè)為H0：投籃得分與第一投籃點選擇無關(guān)，

χ2=50(300?50)225×25×30×20（2）解：設(shè)事件A為第1次選擇在點A投籃；記事件B為在點B投籃；記事件E為投中，

由題意可得：P(A)=12，P(B)=12，P(EA)=0.7，P(EB)=0.3，

（i）PE=P(EA)+P(EB)=P(A)?P(EA)+P(B)?P(EB)=12，則小明第一次投籃命中的概率為0.5；

（ii）由題意可知：小明投籃總得分X可取0，2，3，4，6，

P(X=0)=X02346P2173499則E(X)=0×21【解析】【分析】（1）先進行零假設(shè)，再計算χ2（2）設(shè)第1次選擇在點A投籃記為事件A，在點B投籃記為事件B，投中記為事件E，

（i）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式計算小明第一次投中的概率即可；

（ii）由題意可得X的所有可能取值，計算出對應(yīng)的概率，列分布列，求期望即可.（1）零假設(shè)為H0χ2根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0（2）設(shè)第1次選擇在點A投籃記為事件A，在點B投籃記為事件B，投中記為事件E，則P(A)=12，P(B)=12，（i）P(E)=P(EA)+P(EB)=P(A)?P(EA所以小明第一次投籃命中的概率為0.5.（ii）小明投籃總得分X可取0，2，3，4，6，則P(X=0)=1P(X=2)=1P(X=3)=1P(X=4)=1P(X=6)=1∴X的分布列為X02346P2173499∴E(X)=0×2117．【答案】（1）解：由題意可得：2c=22，解得c=2，易知雙曲線的漸近線為ay±bx=0，

因為圓(x?2)2+y2=1與E的漸近線相切，所以2ba（2）解：由F2B=λF1A，可得F1A,F2B同向，直線F1A、F2B與E均有兩個交點，

設(shè)直線F1A:x=ty?2，它與E聯(lián)立方程：x=ty?2x2?y2=1，消元整理可得(t2?1)y2?22ty+1=0，易知Δ=4(t2+1)>0，

由韋達定理可得y1+y2=22tt2?1,y1y2=1此時F1A,F2B反向，舍去；

同理可得t=?102也不滿足要求，當(dāng)t2=17時，可驗證得F1A,F2B同向，符合題意，

若t=?77，由x=?77y?2x2?【解析】【分析】（1）由題意可得c=2，再根據(jù)點到直線距離公式列方程，求得b=1，最后根據(jù)雙曲線中a,b,c的關(guān)系求得a=1（2）設(shè)直線F1A:x=ty?2，它與E的另一個交點記為C，由對稱性可知，四邊形AF1F2B面積等于三角形ACF2面積，設(shè)A(x（1）由題意得2c=22，解得c=∵雙曲線的漸近線為ay±bx=0，∴2ba2+b2=1（2）由F1A,F2設(shè)直線F1由雙曲線的對稱性可知，F(xiàn)1C=F2所以四邊形AF1F設(shè)A(x聯(lián)立方程：x=ty?2x2y1三角形ACF2面積整理得14t4?37t2經(jīng)檢驗t2=52>1時，y不妨令t=102，此時解得x1=2畫出圖象如下：此時F1同理可得t=?10當(dāng)t2=1若t=?77，由x=?77y?由于λ>1，所以yA=?14故λ=|若t=77，同理可得綜上，λ=3.18．【答案】（1）解：（i）當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)=ex+1定義域為R，f'(x)=ex+1，且f'(?1)=1，f(?1)=1，

則切線方程為y?x?2=0；

（ii）設(shè)點Px,ex+1，由題意可得OP=x2+e2x+2(x∈R)，

記g(x)=x2+e2x+2（2）解：記函數(shù)?(x)=x2+e2x+2a定義域為R，?'(x)=2(x+e2x+2a)，

易知?'(x)單調(diào)遞增，且存在負實數(shù)x0，使得?'(x0)=0，則a=ln(?x0)2?x0，e2x0+2a=?x0，

當(dāng)x∈(?∞,x0),?'(x)<0,?(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，+∞),?'(x)>0,?(x)單調(diào)遞增，

則函數(shù)?(x)最小值為?(x0)，

limx→+∞?(x)=+∞，且limx→?∞?(x)=+∞，

為使?(x)=1+a有兩個不等實數(shù)解，則?(x0)<1+|a|，

即x02+e2x0+2a<1+ln(?x0)2?x0?x02?x0<1+ln(?x0)2?x0【解析】【分析】（1）（i）將a=1代入，求函數(shù)的定義域，再求f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合點斜式求切線方程即可；

（ii）設(shè)點Px,ex+1，根據(jù)兩點間距離公式可得OP=x2+（2）記?(x)=x2+e2x+2a,x∈R，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可得存在負實數(shù)x0使得?'(x0)=0，為使?(x)=1+a有兩個不等實數(shù)解，則有?(x0)<1+|a|，推導(dǎo)可得有（1）當(dāng)a=1，f(x)=e（i）因為f'(x)=ex+1，則f（ii）設(shè)Px,ex+1，則則g'(x)=2(x+e2x+2)，易知所以當(dāng)x∈(?∞,?1),故g(x)最小值為g(?1)=2，得OP的最小值2.（2）記?(x)=x2+e2x+2a,x∈R，則?'(x)=2(x+e2x+2a)，易知?所以當(dāng)x∈(?∞,故?(x)最小值為?(x注意到，limx→+∞?(x