河南省鄭州市2024-2025學年高一下學期期末考試數學試卷一、單選題1．已知復數，則（

）．A． B． C． D．2．已知按斜二測畫法得到（如圖所示），其中，，則中的長為（

）．A． B．2 C． D．3．在中，若，，，則（

）．A． B． C．2 D．84．數據5，7，3，2，11，13的第70百分位數為（

）．A．7 B．11 C．13 D．175．已知正方體，點E是上底面上任意一點，過A，C，E三點做平面截正方體，則截面形狀不可能是（

）．A．等邊三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形6．已知直線a和平面，若，則下列說法正確的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則7．為弘揚中華優(yōu)秀傳統文化，進一步推進成語文化更好地傳承，鄭州市各中小學和幼兒園持續(xù)推進“成語文化進校園”活動，甲、乙兩人組成“星隊”參加此項活動．活動規(guī)則如下：每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為（

）．A． B． C． D．8．數學必修二55頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即，其中a，b，c分別為內角A，B，C的對邊．若，，則面積的最大值為（

）．A．3 B． C． D．二、多選題9．設，在復平面內z對應的點為Z，則下列結論中滿足條件的點Z的集合對應的圖形正確的是（

）．A．若，則點Z的集合是圓B．若，則點Z的集合是兩個圓所夾的圓環(huán)（包括邊界）C．若，則點Z的集合是y軸所在的直線D．若，則點Z的集合是一、三象限角平分線10．已知樣本數據，，…，的平均數是3，方差是2，樣本數據，，…，的平均數是1，方差是4，則下列結論正確的是（

）．A．數據，，…，的平均數是7B．數據，，…，的方差是16C．數據，，…，，，，…，的平均數為3D．數據，，…，，，，…，的方差為411．如圖，在四棱錐中，面，，，，，，點E滿足，則下列結論正確的是（

）．A．平面B．平面C．異面直線與所成的角為D．點Q為底面內一動點，若與底面所成的角為，則點Q的軌跡長度為三、填空題12．已知，，若與垂直，則．13．已知圓錐的母線長為3，其側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為．14．已知，角的對邊分別是，已知，若，則的取值范圍是．四、解答題15．已知復數，．(1)若z為純虛數，求；(2)若z在復平面內對應的點在直線上，求m的值．16．康百萬莊園，又名河洛康家，位于河南省鄭州市鞏義市康店鎮(zhèn)莊園路59號，始建于明朝中葉，明末清初初具規(guī)模.康百萬莊園是十七、十八世紀華北黃土高原封建堡壘式建筑的代表，被譽為“豫商精神家園”、“中原古建典范”，建筑面積64300平方米.莊園背依邙山，面臨洛水，因而有“金龜探水”的美稱，是全國三大莊園（康百萬莊園、劉氏莊園、牟氏莊園）之一，與山西晉中喬家大院、河南安陽馬氏莊園并稱“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百萬莊園被中華人民共和國國務院公布為第五批全國重點文物保護單位．2005年，康百萬莊園被授予國家AAAA級旅游景區(qū)．近年來康百萬莊園成為越來越多人旅游之地，現為更好地提升旅游品質，莊園風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的平均數；（以區(qū)間中點值作為代表）(2)估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的中位數；（保留兩位小數）(3)莊園景區(qū)的工作人員采用分層抽樣的方法從評分在、的兩組中抽取6人，再從6人中隨機抽取2人進行交流，求抽取的2人評分分別在和內各1人的概率，17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．(1)求角A；(2)點M在線段上，且滿足．若，求的面積．18．如圖，在直三棱柱中，，，，M是的中點．求：(1)求直三棱柱外接球球O的表面積；(2)求點到平面的距離；(3)求平面與平面所成角的余弦值．19．如圖，設，是平面內相交成的兩條射線，，分別是與，同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系．在仿射坐標系中，若，則記．(1)若，，求；(2)若，，且，求；(3)如圖所示，在仿射坐標系中，B，C分別在x軸、y軸正半軸上，，，E，F分別為，中點，求的最大值．

題號12345678910答案ABABCDCBABCABD題號11答案BC1．A根據共軛復數的定義寫出即可.【詳解】由共軛復數的概念及，則.故選：A2．B應用斜二測畫法求原圖中相關線段長，進而求中的長.【詳解】由題設及斜二測畫法知，原圖中，且高，顯然是的中點，所以.故選：B3．A應用余弦定理求邊長即可.【詳解】由余弦定理知.故選：A4．B應用百分位數的求法求第70百分位數.【詳解】由題設，數據從小到大依次為，所以，故第70百分位數是第5個數，為11.故選：B5．C根據正方體的結構特征，討論的位置并結合平面的基本性質、空間想象判斷截面的形狀，即可得.【詳解】如下圖，當在上，截面形狀為矩形，當與重合，截面形狀為等邊三角形，當在除上述兩種情況外的其它位置，截面形狀為等腰梯形.故選：C6．D根據線線、線面及面面的位置關系，應用平面的基本性質及線面平行的判定判斷各項的正誤.【詳解】A：，，則平行或異面，錯；B：，，則或，錯；C：，，則可能平行、相交、異面，錯；D：，則平面中必存在一條直線，而，則，，，故，對.故選：D7．C應用獨立事件乘法及互斥事件加法求目標概率.【詳解】由題意，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為.故選：C8．B應用正余弦邊角關系將已知條件化為，代入已知三角形面積公式求其最大值.【詳解】由，則，根據正余弦邊角關系，有，整理得，所以三角形面積，當，時，最大面積.故選：B9．ABC根據各項復數模的關系式，確定對應點軌跡，即可得.【詳解】A：表示以原點為圓心，1為半徑的圓，對；B：表示以原點為圓心，半徑分別為1、2的兩個圓所成圓環(huán)（含邊界），對；C：表示到兩點距離相等的點，即為軸所在直線，對；D：表示到兩點距離相等的點，即為二、四象限的角平分線，錯.故選：ABC10．ABD應用均值、方差的性質求新數據的均值和方差判斷A、B，應用分層抽樣的均值和方差求法判斷C、D.【詳解】由題意，，A：由題設，數據平均數為，對；B：由題設，數據方差為，對；C：由題設，數據平均數為，錯；D：由題設，數據方差為，對；故選：ABD11．BCA應用反證思想，假設平面，得到，再由得到矛盾；B過作，得，結合線面平行的判定即可判斷；C過作，則異面直線與所成角，即為與所成角，根據已知并利用余弦定理、向量數量積的運算律等求的大小即可；D首先確定的軌跡是平面內，以為圓心，為半徑的圓弧上，進而求軌跡長，即可判斷.【詳解】A：若平面，平面，則，又，故，而面，面，則，由于直線外一點與直線垂直的直線有且僅有一條，故有矛盾，錯；B：過作，，則，又，則，且，所以，故為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面，對；C：過作，則異面直線與所成角，即為與所成角，面，面，則，由題設為平行四邊形，則，故，，由，，而，，故，所以，所以，則，對；D：若與底面所成的角為，面，，則的軌跡是平面內，以為圓心，為半徑的圓弧上，由上分析易知，，且到的距離，故的軌跡與的交點為，則，所以，所以，故，則軌跡長度在之間，顯然不在該范圍內，錯.故選：BC12．5由題意，再應用向量垂直的坐標表示列方程求參數值.【詳解】由題設，則，所以.故答案為：513．由圓錐側面展開圖及弧長公式求圓錐底面周長，進而確定底面半徑，再應用圓錐表面積的求法求解.【詳解】由弧長公式知，圓錐底面周長為，若圓錐的底面半徑為，則，即，所以圓錐的表面積為.故答案為：14．先根據余弦定理將展開，再結合正弦定理將邊化為角，進而得出關于的表達式，最后根據的范圍求解的取值范圍.【詳解】因為，根據余弦定理，所以.根據正弦定理的.因為.所以化簡得，.繼續(xù)化簡為.因為，所以，所以.等式兩邊同時除以得.因為，所以.令，則，所以，在時單調遞減，所以.故答案為：.15．(1)；(2)或．（1）根據純虛數的定義求參數值；（2）寫出復數對應點坐標，由點在直線上列方程求參數值.【詳解】（1）由純虛數知，可得，故，則；（2）由題設，對應點為，且在上，所以，則，所以或.16．(1)84(2)86.67(3)．（1）應用頻率分布直方圖應用以區(qū)間中點值乘以頻率求和計算平均數即可；（2）應用頻率分布直方圖應用頻率和為計算中位數即可；（3）先應用分層抽樣得出抽取人數，再應用古典概型計算求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，平均數為．（2）∵，，∴中位數落在內，令中位數為m，則，解得．（3）∵評分在、內的頻率分別是0.15，0.3，∴在中抽取人，記為a，b．在中抽取人，記為A，B，C，D．從6人中隨機抽取2人，則有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件，設“選取的2人評分分別在、內各1人”為事件M，則滿足條件M的有：，，，，，，，，共8個基本事件．∴．∴選取的2人評分分別在和內各1人的概率為．17．(1)(2)（1）先應用正弦定理，再結合二倍角正弦公式計算結合角的范圍即可求解；（2）先應用數量積運算律及定義化簡，再結合三角形面積公式及余弦定理計算求值.【詳解】（1）由正弦定理可得：，∵，∴，，即，∵，∴，．（2）令，，則．又，四邊形為菱形，為的角平分線．，，，即，由余弦定理可得：，即：，解得：，∴．18．(1)；(2)；(3).（1）由題設是等邊三角形，結合棱柱的結構特征求其外接球的半徑，進而求其表面積；（2）由等體積法，結合棱柱的體積公式求點面距；（3）在平面中，延長、，使得，連接，由線面角定義有即為平面與平面所成的角，進而求其余弦值.【詳解】（1）由題設，易知是等邊三角形．設三角形，三角形的外心分別是、，直三棱柱的外接球半徑是R，由題意知，，，∴，∴直三棱柱外接球的表面