2025/7/25CO-PSO1PSO求解約束優(yōu)化問題2025/7/25CO-PSO2構(gòu)造算法為了簡化CO問題的尋優(yōu)過程，通?？刹捎萌缦碌乃悸啡?gòu)造算法：將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題、將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題、將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。2025/7/25CO-PSO3約束優(yōu)化問題描述2025/7/25CO-PSO4約束優(yōu)化問題的求解難點(diǎn)(1)優(yōu)化曲面的復(fù)雜性。復(fù)雜的優(yōu)化曲面對約束優(yōu)化帶來的求解難點(diǎn)類似于無約束優(yōu)化問題，(2)不可行域的存在性。約束的存在，導(dǎo)致決策變量的搜索空間產(chǎn)生了不可行域。

(3)滿足約束與優(yōu)化目標(biāo)的不平衡。2025/7/25CO-PSO5求解約束極值問題的傳統(tǒng)方法可行方向法〔FeasibleDirection〕、梯度投影法(GradientProjectionMethod)、約束集法(ActiveSetMethod)、罰函數(shù)法〔PenaltyFunctionMethod)等等。這些方法各有不同的適用范圍及局限性，其中大多數(shù)方法需要借助問題的梯度信息，要求目標(biāo)函數(shù)或約束條件連續(xù)可微，并且常常為滿足嚴(yán)格的可行性要求而付出很大的計算代價。2025/7/25CO-PSO6約束優(yōu)化問題的求解思路2025/7/25CO-PSO72025/7/25CO-PSO8罰函數(shù)法罰函數(shù)法就是將目標(biāo)函數(shù)和約束同時綜合為一個罰函數(shù)，典型的罰函數(shù)如下:2025/7/25CO-PSO9G(x),H(x)常用形式如何合理設(shè)置罰因子，是利用罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的一個瓶頸，也是約束優(yōu)化領(lǐng)域的關(guān)鍵問題。2025/7/25CO-PSO10定常罰函數(shù)法該類方法將罰因子在整個算法流程中設(shè)置為定值，但算法通常因數(shù)值的單一性而效果不佳。分層罰因子法，采用如下罰函數(shù)：2025/7/25CO-PSO112.動態(tài)罰函數(shù)法在動態(tài)罰函數(shù)法中,罰因子的數(shù)值是時變的，通常隨進(jìn)化代數(shù)增大而增大。理由：在進(jìn)化初期采用較小的罰因子，算法將有可能對不可行域進(jìn)行一定程度的搜索；而進(jìn)化后期采用較大的罰因子，將使算法的搜索集中在可行域，尋找目標(biāo)更優(yōu)的可行解。動態(tài)罰函數(shù)2025/7/25CO-PSO12其中，τ表示溫度，Vi(x)為各約束違反量的函數(shù)。2025/7/25CO-PSO134.適應(yīng)性罰函數(shù)法適應(yīng)性罰函數(shù)法，把搜索過程中獲得的信息作為反響，來指導(dǎo)罰因子的調(diào)整。2025/7/25CO-PSO14非固定多段映射罰函數(shù)法

通常，所構(gòu)造的廣義目標(biāo)函數(shù)具有如下形式：其中f(x)代表原目標(biāo)函數(shù)；h(k)H(x)稱為懲罰項(xiàng)，H(x)表示懲罰力度,h(k)為懲罰因子。如果在求解CO問題的整個過程中固定不變，那么稱之為固定罰函數(shù)法〔StationaryPFM，SPFM〕；相反那么稱之為非固定罰函數(shù)法〔Non-StationaryPFMNSPFM〕。通常NSPFM對CO問題的求解結(jié)果總是要優(yōu)于SPFM。2025/7/25CO-PSO15動態(tài)調(diào)整其中h(k)可以被動態(tài)調(diào)整，H(x)具體定義如下2025/7/25CO-PSO16基于排序的方法2025/7/25CO-PSO174.2.3基于多目標(biāo)的方法多目標(biāo)優(yōu)化問題通?？擅枋鋈缦?對于問題的兩個可行解x1和x2，假設(shè)下式滿足，那么稱解x1支配解x2，記作x1>x22025/7/25CO-PSO18Pareto最優(yōu)解給定一個可行解x’，假設(shè)S中不存在支配x的解，那么稱x’為Pareto最優(yōu)解或非支配解(non-dominatedsolution)或非劣解。所有Pareto最優(yōu)解構(gòu)成目標(biāo)空間的Pareto前沿(Paretofront)。2025/7/25CO-PSO19目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)當(dāng)作并列的多個目標(biāo)通過采用非支配解的概念來比較解，可使搜索向Pare-to前沿方向前進(jìn)，其中非支配解集中第一個目標(biāo)函數(shù)值最小且其余目標(biāo)值均等于0的解就是原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。2025/7/25CO-PSO20

一種基于支配的約束處理規(guī)那么:(1)可行解總優(yōu)于不可行解;(2)假設(shè)兩個解均可行，那么目標(biāo)值好的解為優(yōu);(3)假設(shè)兩個解均不可行且其中一個解為非支配解而另一個解為受支配解，那么非支配解為優(yōu);(4)假設(shè)兩個解均不可行且它們同為非支配解或受支配解，那么約束違反量小的解為優(yōu)。2025/7/25CO-PSO21基于協(xié)進(jìn)化PSO算法的約束優(yōu)化罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的性能取決于兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié):(1)罰函數(shù)形式的設(shè)計。罰函數(shù)要綜合考慮約束和目標(biāo)兩個方面，因此設(shè)計罰函數(shù)時應(yīng)該考慮挖掘不可行解違反約束的信息，設(shè)計有效的約束違反函數(shù)，合理表達(dá)可行解與不可行解在綜合評價上的差異。(2〕罰因子的選取。罰因子直接平衡約束違反量和目標(biāo)間的平衡。2025/7/25CO-PSO22一種基于協(xié)進(jìn)化模型的微粒群優(yōu)化設(shè)計思路歸納為，在設(shè)計罰函數(shù)方面，不但考慮不可行解違反約束的總量，而且還利用各不可行解違反約束的個數(shù)這一信息;在罰因子選擇方面，基于協(xié)進(jìn)化模型，把罰因子也作為尋優(yōu)變量，在搜索過程中利用PSO算法自適應(yīng)地進(jìn)行調(diào)整，使算法最終不僅獲得約束優(yōu)化問題的優(yōu)良解，同時還獲得適合于問題的最正確罰因子。2025/7/25CO-PSO234.3.2協(xié)進(jìn)化模型協(xié)進(jìn)化的原理可解釋為，算法采用多個種群，或者將一個種群分為多個局部，各種群在各自獨(dú)立進(jìn)化的同時相互間共享和交互信息，各種群不僅利用從外界獲得的信息來指導(dǎo)自身的搜索，同時還把探索得到的經(jīng)驗(yàn)與其他種群分享，從而使整個系統(tǒng)協(xié)同進(jìn)化，直至獲得最優(yōu)解。本節(jié)的CPSO算法采用如圖4.7所示的協(xié)進(jìn)化模型。2025/7/25CO-PSO24協(xié)進(jìn)化模型示意圖〔圖4.7〕2025/7/25CO-PSO25cpso算法包含兩類種群一類種群包含M2個子種群Swarm1,j(j=1,…,M2}，子種群規(guī)模均為M1，種群中的每個微粒Ai(i=l,…,k)那么表示問題的一個決策解，該類種群用于進(jìn)化決策解;，另一個規(guī)模為M2的種群Swarm2，其每個微粒Bj{j=1,...,M2})代表一組罰因子。用于計算Swarm1,j中各微粒的罰函數(shù)值(或稱適配值)。2025/7/25CO-PSO26協(xié)進(jìn)化的每代進(jìn)化過程Swarm1,j中的每個微粒利用B，表示的罰因子計算適配值，并連續(xù)采用PSO算法進(jìn)化G、代獲得一個新的解的種群Swarm1,j;然后，根據(jù)Swarm1,j中所有解的優(yōu)劣信息，評價Swarm2中微粒Bj的優(yōu)劣，即評價罰因子;當(dāng)Swarm2中所有微粒B，均得到評價后，Swarm2采用PSO算法進(jìn)化一代，從而獲得新的種群Swarm2，即得到M:組新的罰因子。在一代協(xié)進(jìn)化結(jié)束后Swarm1,j(j=1.2,…,M2})再分別用新的M2組罰因子進(jìn)行評價，以此類推，直到滿足算法終止準(zhǔn)那么，例如到達(dá)給定的最大協(xié)進(jìn)化代數(shù)G2。算法通過比較所有Swarm1,j得到的歷史最好解，將最優(yōu)者作為最終解輸出，同時算法輸出終止時Swarm2中的最優(yōu)微粒。即最正確罰因子。2025/7/25CO-PSO27CPSO小結(jié)協(xié)進(jìn)化就是兩類種群的交互進(jìn)化工程，第一類種群Swarm1,j用PSO算法來進(jìn)化解向量，第二類種群Swarm2用PSO算法來調(diào)整罰因子。通過協(xié)進(jìn)化模型下的PSO算法，不但算法在解空間進(jìn)化探索決策解，而且在罰因子空間進(jìn)化探索罰因子，最終同時獲得最優(yōu)決策解和一組適宜的罰因子。2025/7/25CO-PSO28CPSO算法設(shè)計1.Swarm1,j的評價函數(shù)罰函數(shù)既是違反約束數(shù)量的函數(shù)，又是違反約束程度的函數(shù)，那么其效果要比罰函數(shù)僅為約束數(shù)量的函數(shù)的情況好?；?，采用如下適配值函數(shù)評價Swarm1,j中第i個微粒其中，f(x)表示第i個微粒的目標(biāo)值，sum_viol表示該微粒違反約束的總量，num_viol表示該微粒違反約束的個數(shù)，w1,w2是由Swarm2中微粒Bj對應(yīng)的罰因子。2025/7/25CO-PSO29sum_viol按如下公式計算2025/7/25CO-PSO302.Swarm2的評價函數(shù)Swarm2的每一個微粒B，均代表一組罰因子，即w1和w2。當(dāng)Swarm1,j進(jìn)化G1代后，Swarm2的第j個微粒B，采用如下方法進(jìn)行評價。(1)假設(shè)Swarm1,j中至少有一個可行解，那么稱B，為一個有效(valid)微粒，并按下式評價B,2025/7/25CO-PSO31(2)假設(shè)Swarm1,j中沒有可行解(可認(rèn)為懲罰項(xiàng)太小了)，那么稱B，為一個無效(invalid)微粒，并采用下式評價B;2025/7/25CO-PSO32〔3〕Swarml,j和Swarm2的進(jìn)化方程兩類種群中的微粒均采用標(biāo)準(zhǔn)PSO算法進(jìn)行進(jìn)化。特別地，Swarm2里的每個微粒表示一組罰因子，即w1和w2,Swarml,j里的每個微粒表示一個決策解向量。2025/7/25CO-PSO33〔4〕CPSO算法框架2025/7/25CO-PSO344.3.4數(shù)值仿真與分析對于每個測試問題，CPSO算法采用如下統(tǒng)一的一組參數(shù)。M1=50,M2=20,G1＝25,G2=8,慣性因子LDW法，0.9->0.2,加速因子c1=c2=2。另外，Swarm1,j中微粒位置的最大值和最小值(即X1,max和X1,min對應(yīng)于各問題變量的取值上下界，Swarm2中微粒位置的最大值和最小值(即X2,max和X2.min設(shè)置為w1max=w2.max=1000.w1min=w2.min=0。第一個例子的可行域相對較小，算法單獨(dú)將罰因子的上下界設(shè)置為w1max＝w2max=10000,w1min=w2min=5000。兩類種群中微粒速度的上下界設(shè)置2025/7/25CO-PSO35該問題來自文獻(xiàn)[23]，焊接條結(jié)構(gòu)如圖4.9所示。優(yōu)化目標(biāo)是尋求滿足切應(yīng)力τ、彎曲應(yīng)力σ、桿條彎曲載荷Pc、末端偏差δ和邊界條件等約束的4個設(shè)計變量h(x1)、l(x2:),c(x2)和b(x4)，使得制造焊接條所需的總費(fèi)用最小。2025/7/25CO-PSO362025/7/25CO-PSO37該設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型描述如下:2025/7/25CO-PSO38其中2025/7/25CO-PSO39[24]-GA傳統(tǒng)罰函數(shù),

[25]幾何規(guī)劃法[26][基于協(xié)進(jìn)化模型的GA,[12]基于支配選擇機(jī)制的GA2025/7/25CO-PSO402025/7/25CO-PSO412.對伸縮繩設(shè)計問題的求解結(jié)果該問題來自文獻(xiàn)[27]，伸縮繩結(jié)構(gòu)如圖4.10所示。優(yōu)化目標(biāo)是尋求滿足對最小偏差、切應(yīng)力、湍振頻率等一系列約束條件的3個決策變量，即平均卷直徑D(x1)、線直徑d(x2)和活動卷的數(shù)量P(x3)。使得伸縮繩的重量最小。2025/7/25CO-PSO42該設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型描述如下2025/7/25CO-PSO432025/7/25CO-PSO442025/7/25CO-PSO453.對壓力管設(shè)計問題的求解結(jié)果該問題來自文獻(xiàn)[29」，壓力管結(jié)構(gòu)如圖4.11所示。優(yōu)化目標(biāo)是尋求滿足一系列約束條件的4個設(shè)計變量Ts(x1，圓柱形管子的厚度)、Th(x2，半球形蓋子的厚度)、R(x3，圓柱形管子的內(nèi)徑)和L(x4，圓柱形管子的長度，不包括兩端的蓋子)，使得包括材料、焊接、鑄造等費(fèi)用在內(nèi)的總費(fèi)用最少。其中，Ts和Th均為0.0625英寸的整數(shù)倍，R和L是連續(xù)變量。在用CPSO算法求解時，Ts和Th均在實(shí)數(shù)空間搜索，只在求解目標(biāo)函數(shù)值時才近似處理為0.0625的整數(shù)倍。2025/7/25CO-PSO462025/7/25CO-PSO47該問題的數(shù)學(xué)模型描述如下2025/7/25CO-PSO48CPSO算法與如下算法進(jìn)行比較，包括遺傳自適應(yīng)搜索法[30]、擴(kuò)張拉格朗日乘子法[29]、分支定界法[31]、基于協(xié)進(jìn)化模型的GA[26]、基于支配選擇機(jī)制的GA[12]。表4.6列出了各種算法求得的最優(yōu)解，表4.7那么給出了統(tǒng)計結(jié)果。2025/7/25CO-PSO492025/7/25CO-PSO502025/7/25CO-PSO514〕對標(biāo)準(zhǔn)測試問題的求解結(jié)果2025/7/25CO-PSO522025/7/25CO-PSO532025/7/25CO-PSO542025/7/25CO-PSO55討論2025/7/25CO-PSO565〕算法性能分析與參數(shù)設(shè)置針對三個工程設(shè)計問題，首先考察算法首次獲得最終最優(yōu)解的代數(shù)，即在實(shí)驗(yàn)過程中對第一類種群中所有Swarm1,j的最優(yōu)解進(jìn)行逐代跟蹤，CPSO算法30次獨(dú)立運(yùn)行的統(tǒng)計結(jié)果如表4.11所示。由表可見，CPSO算法對于三個工程設(shè)計問題能夠快速尋找到最優(yōu)解。2025/7/25CO-PSO572025/7/25CO-PSO582025/7/25CO-PSO592025/7/25CO-PSO602025/7/25CO-PSO61綜合考慮算法搜索質(zhì)量和計算效率，對于5維以內(nèi)的問題，建議M1的取值選擇在50-70之間。另外，Swarm2的目的是找到適宜的罰因子，由于不是直接在決策解空間進(jìn)行搜索，因此其種群規(guī)模M2過大并不能給算法性能帶來明顯的提高?？紤]到Swarm2中每個微粒為2維向量，遵循PSO參數(shù)選擇的原那么，M2取20比較適宜。此外，在實(shí)驗(yàn)過程中還發(fā)現(xiàn)G2的增大并不能對搜索的性能有很大改善，因此在CPSO算法中，建議G2取值在10左右。2025/7/25CO-PSO624.3.5CPSO算法的改進(jìn)1〕改進(jìn)措施措施1約束違反量的歸一化處理為了消除不同約束間尺度上的差異，在計算、sum_viol時按下式對每個約束的違反量進(jìn)行了歸一化處理經(jīng)這種處理后，不同約束的違反量都被限制在0到1之間。2025/7/25CO-PSO63措施II使目標(biāo)函數(shù)和約束違反量處于同一尺度引入一個尺度因子，考慮目標(biāo)與約束違反量之間的平衡，即2025/7/25CO-PSO64

措施lII用優(yōu)良解替代種群中的個體對于可行域很小的問題，僅僅依靠PSO算法對微粒的速度和位置進(jìn)行更新，往往無法搜索到可行解，還甚至?xí)蝻w行速度過大而使搜索過程中找到的可行微粒喪失。為了盡可能利用可行解，在每代進(jìn)化過程中可以將搜索到的優(yōu)良解(通常是可行解)替換種群中隨機(jī)選取的局部微粒，譬如用當(dāng)前找到的最優(yōu)解替換各Swarm1,j種群中隨機(jī)選取的10%的個體。盡管可能失去一定的種群多樣性，但可加快進(jìn)人可行域和找到最優(yōu)解的速度。2025/7/25CO-PSO652〕數(shù)值仿真及分析2025/7/25CO-PSO662025/7/25CO-PSO672025/7/25CO-PSO682025/7/25CO-PSO69上述兩種變換式中，x’是目標(biāo)函數(shù)的局部極值點(diǎn)，符合定義式〔8.2〕；γ1、γ2和μ是三個任意的正數(shù)常量；sign(?)為常見的符號函數(shù)：也可采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常用的線性鼓勵函數(shù)sigmoid函數(shù)來近似計算2025/7/25CO-PSO70做法1〕首先要通過優(yōu)化算法按照常規(guī)的方法對其局部極值點(diǎn)進(jìn)行搜索。2〕當(dāng)算法探測到某一局部極值點(diǎn)之后，再通過8.4與8.5式，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行兩次變換。在整個變換過程中，函數(shù)的解空間根據(jù)已搜索到的局部極值信息，被劃分為兩局部來考慮。一局部為區(qū)域:S1={x|f(x)<=f(x’)}，另一局部為區(qū)域:S2={x|f(x)>f(x’)}2025/7/25CO-PSO71分析8.4與8.5式可知，區(qū)域S1在整個變換過程中，始終保持原始目標(biāo)函數(shù)的形態(tài)特征不變，即對于任意x∈S1，均有G(x)=f(x)=H(x)，同樣原始目標(biāo)函數(shù)在區(qū)域中的極值點(diǎn)〔包括全局極小點(diǎn)在內(nèi)〕也始終保存不變。區(qū)域S2那么不同，在兩次變換中，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)歷了不同程度的拉伸。實(shí)施8.4式變換后，目標(biāo)函數(shù)由f(x)變換為G(x)，2025/7/25CO-PSO72相當(dāng)于原始目標(biāo)函數(shù)在區(qū)域S2中的每一函數(shù)值均向