.3利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值（精講）考向一無參函數(shù)的極值（點）【例1-1】（2025陜西）設函數(shù)，則A．為的極大值點 B．為的極小值點C．為的極大值點 D．為的極小值點【答案】D【解析】因為，所以．又，所以為的極小值點．【例1-2】（23-24湖北）函數(shù)的極大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，又，令，則或，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為．故選：D．【例1-3】（24-25湖南）函數(shù)的極值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題知的定義域為，且.當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值，故選：A【一隅三反】1.（2024云南）函數(shù)的極值點為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【解析】，由，即，解得：．由，得，由，得，函數(shù)在處取得極大值，故選：A．2.（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．若，求函數(shù)的極值．【答案】極小值為，極大值為【解析】.所以或時，，時，，則在上遞減，在遞增，所以的極小值為，極大值為.3.（24-25寧夏）已知函數(shù).(1)求的圖象在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；【答案】(1)(2)極小值為，無極大值【解析】（1），，故的圖象在點處的切線為，即；（2）的定義域為，由（1）知，令得，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上取得極小值，極小值為，無極大值；4（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)在點處的切線與軸垂直.(1)求的值；(2)求的極值.【答案】(1)(2)極大值，的極小值【解析】（1）由題知，所以.由題意可知，解得.（2）由(1)知，，令，解得，易得當時，0；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，即的極大值，的極小值.考向二導函數(shù)圖像與極值關系【例2-1】（2024陜西）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在處取得最大值 D．在處取得極大值【答案】D【解析】由導函數(shù)圖像可知，當或時，，當，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項A，B錯誤；在處取得極大值，且，故C錯誤，D正確；故選：D.【例2-2】（2025·遼寧）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上，是增函數(shù) B．在區(qū)間上，是減函數(shù)C．為的極小值點 D．2為的極大值點【答案】D【解析】由導函數(shù)的圖像可知，在區(qū)間上為單調(diào)遞減，在區(qū)間上為單調(diào)遞增，則選項不正確；在區(qū)間上，，則是增函數(shù)，則選項不正確；由圖像可知，且為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間，則為的極大值點，則選項不正確；由圖像可知，且為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間，則為的極大值點，則選項正確；故選：D.【一隅三反】1．（2025·廣東·一模）已知函數(shù)的導函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是的極大值點C．當時， D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【解析】由導函數(shù)的圖象可知：導函數(shù)在，導函數(shù)的符號為正，函數(shù)單調(diào)遞增，A正確；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是的極大值點，B正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，可能，所以C不正確；故選：C．2．（23-24高三上·黑龍江·階段練習）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列結論正確的是（

）

A．在處取得極大值 B．是函數(shù)的極值點C．是函數(shù)的極小值點 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【解析】由圖象可知：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，無極大值.故選：C3．（2025北京）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【解析】由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當時，；當c<x<e時，；當x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．考向三已知極值（點）求參數(shù)【例3-1】（24-25高三下·河北保定）已知的一個極值點為2，則實數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】，令0，得或，又的一個極值點為2，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意.故選：B.【例3-2】（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)在處取得極值0，則（

）A．6 B．12 C．24 D．12或24【答案】C【解析】由題意知，，又在處取得極值0，則，解得或，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當時，，令或，，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，符合題意，所以，，則.故選：C.【例3-3】（24-25湖南）若是函數(shù)的極小值點，則的極大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.又是函數(shù)的極小值點，所以，解得或.當時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意，舍去.當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；是的極小值點，所以，.由以上分析知，當時，取得極大值，且.故選：B.【一隅三反】1.（24-25高三上·河北·期末）若函數(shù)的極小值點為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，依題意，所以或，當時，，為極大值點，當時，，符合題意，故，故選：D.2.（2025·江西·一模）已知是函數(shù)的極值點，則（

）A．8 B．4 C． D．【答案】D【解析】由題設，則，可得，此時且，所以時，時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，符合題意.故.故選：D3.（2025湖北·階段練習）若在處取得極大值，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【解析】因為，則又在處取得極大值，，解得或，當，時，，當時，，當時，，則在處取得極小值，與題意不符；當，時，，當時，，當時，，則在處取得極大值，符合題意，則，故選：C.4（24-25高三上·江蘇常州·期末）若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)（

）A． B．2 C．2或0 D．0【答案】D【解析】由，則，得或2，時，，在R上單調(diào)遞增，不滿足；時，，在上，在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足題設，所以.故選：D5.（24-25河南商丘）已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】由題得，因為函數(shù)在處取得極小值，所以或，當時，，，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意，所以函數(shù)在處取得極大值為；當時，，，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上，的極大值為4.故選：A6.（24-25高三下·江蘇南通·開學考試）已知函數(shù)的極大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，則，令，解得或，當時，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，解得，當時，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，不符合題意，當時，，在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，綜上所述，.考向四已知極值點的個數(shù)求參【例4-1】（24-25高三下·四川樂山·期末）若函數(shù)無極值，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的導數(shù)為，函數(shù)不存在極值點，在R上恒成立，即恒成立，，解得，即實數(shù)a的取值范圍是故選：B.【例4-2】（2025·廣東汕頭·一模）設，若函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，在內(nèi)存在變號零點，而不是的零點，從而得，又在上遞增，所以.故選：B【例4-3】（2025·廣東湛江·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上存在唯一個極大值點，則m的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，由在區(qū)間上存在唯一個極大值點，得，解得，所以m的最大值為.故選：A【例4-4】（2025·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)恰有一個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，因為函數(shù)恰有一個極值點，所以有一個變號實數(shù)根，即有一個變號的根，即與一個交點，且在該交點前后兩函數(shù)的大小關系發(fā)生變化，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當，時都有當時，，所以.綜上所述，的取值范圍是故選：C【一隅三反】1.（24-25高三上·吉林長春·期末）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，且函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不等實根，所以，解得或，故選：D2．（24-25高三下·浙江）若函數(shù)在上有且僅有兩個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，若在上有且僅有兩個極值點，則由的圖象可得，解得.故選：C.3.（2025·陜西咸陽·一模）已知在區(qū)間內(nèi)存在2個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，可知在內(nèi)有2個變號零點，由可得，可知：與在內(nèi)有2個交點，又因為，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且，，結合圖象可得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.4（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，，故，因為函數(shù)在上無極值，所以在R上恒成立，當時，，設，則，當時，得，當時，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當時，，則.綜上，.故選：D.考向五無參函數(shù)求最值【例5】（24-25高三上·江蘇·期末）已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)的導函數(shù)為，令，可得或，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，。函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上的最大值為.故選：B.【一隅三反】1．（2025·甘肅蘭州·一模）函數(shù)在上的最小值為．【答案】【解析】，令，解得：，（舍），當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，則，又因為，，則函數(shù)在上的最小值為.故答案為：.2．（24-25高三下·河南新鄉(xiāng)·階段練習）函數(shù)的最大值是．【答案】【解析】由求導可得：，令，解得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，由于當時，，當時，，所以可知函數(shù)最大值為，故答案為：.3．（24-25高三下·吉林長春·開學考試）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為【答案】【解析】，令，解得：，令，解得：，∴函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴的極大值為，又，，故所求最大值為．考向六已知最值求參數(shù)【例6-1】（2025上海）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，則m的值為(

)A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】，令，解得或，當時，；當時，或，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則，所以在區(qū)間上的最大值為，解得．故選：B．【例6-2】（24-25高三·上?！るS堂練習）函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則實數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以題中問題等價于即解得，故選：D.【例6-3】（2025·江蘇宿遷·二模）若函數(shù)有最大值，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，則，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極大值，且極大值為，因為函數(shù)函數(shù)有最大值，則，解得，因此，實數(shù)的最大值為.故選：.【一隅三反】1．（2024山東煙臺·期末）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，則實數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【解析】由，得，當時，在上恒成立，所以在上遞增，所以，解得（舍去），當時，由，得或，當時，在上恒成立，所以在上遞增，所以，解得（舍去），當時，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值，所以，解得（舍去），當時，當時，，所以在上遞減，所以，解得，綜上，，故選：C2（23-24四川）若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】，則當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.3.（23-24高三下·福建·開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得．當時，得或，當時，，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．減區(qū)間為，即時，函數(shù)取得極小值，

當時，即，解得或，故要使函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，需有，解得，即實數(shù)a的取值范圍為故選：A．4（2024·新疆·模擬預測）已知函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，函數(shù)單調(diào)遞減，無最小值；當時，函數(shù)當時，函數(shù)，所以單調(diào)遞增，當時，要使函數(shù)存在最小值，即.故選：C.考向七導數(shù)的綜合運用【例7-1】（24-25高三下·浙江杭州·階段練習）已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若在上的最大值為，則的最大值為．【答案】【解析】因為，所以，令，可得或，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取極大值，當時，函數(shù)取極小值，所以，，故，又，，，當時，令可得，，所以，故，解得（舍去）或，所以的最大值為.故答案為：.【例7-2】（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，則的取值范圍為．【答案】【解析】由求導得，若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為，而，，所以在區(qū)間上的最大值為，所以，設函數(shù)，，當時，，從而單調(diào)遞減，而，所以，即的取值范圍是；若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為，而，，所以在區(qū)間上的最大值為，所以，而，所以，即的取值范圍是，綜上得的取值范圍是.故答案為：.【一隅三反】1.（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，所以，由，得，所以；由，得，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，所以的最小值為，無最大值．（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當，即時，