2025年7月25日質(zhì)點運動微分方程

質(zhì)點動力學(xué)向量式（牛頓第二運動定律）自然坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系質(zhì)點的運動微分方程柱坐標(biāo)系動力學(xué)重點講授如何建立物體運動微分方程。如何求解運動微分方程、解的特性等是微分方程課程研究的內(nèi)容。不能解析求解的，需要數(shù)值求解，是數(shù)值方法課程研究的內(nèi)容。不需要求解方程情況下確定穩(wěn)定性，是運動穩(wěn)定性研究的內(nèi)容。例1空氣中落體的運動已知：v0=0，空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)μ。求：落體運動規(guī)律。(5)動力特性分析(4)數(shù)學(xué)求解 已知力求運動時，需要運動初始條件解：自由質(zhì)點直線運動問題(1)分析運動，建立坐標(biāo)系(2)分析受力，畫任一位置的受力圖(3)建立運動微分方程：例1數(shù)學(xué)求解運動初始條件例1動力學(xué)特性分析存在極限速度，即，不管初始條件如何，空氣中落體的速度最終趨近于以v=C的速度運動。高空中下落的降落傘，很快達到其極限速度(約為5m/s)，落地時的沖擊只相當(dāng)于由1.25m高度跳下時的落地速度。落體以極限速度運動時，重力與空氣阻力平衡，據(jù)此也能求出極限速度的表達式：運動微分方程求解方法

分離變量法質(zhì)點運動微分方程當(dāng)F=F(t)或F=C時（質(zhì)點動量定理）初始條件當(dāng)

時當(dāng)F=F(x)時（質(zhì)點動能定理）2025年7月25日質(zhì)點在非慣性參考系中的運動

質(zhì)點在非慣性參考系中的運動問題的提出：如何描述質(zhì)點相對于非慣性坐標(biāo)系的運動？解決辦法

復(fù)合運動分析

質(zhì)點相對非慣性系的運動與相對慣性系的運動間的關(guān)系 在慣性系中應(yīng)用牛頓定律

質(zhì)點在非慣性系中的運動(ar)與受力之間的關(guān)系

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相對運動微分方程。如洲際導(dǎo)彈相對于地球的運動；在研究質(zhì)點相對非慣性系的運動時，在形式上仍可使用牛頓第二定律，條件是在真實力之外再加上牽連慣性力和科氏慣性力。取慣性坐標(biāo)系為定系，非慣性坐標(biāo)系為動系，質(zhì)點M

為動點。引入（牽連慣性力）（科氏慣性力）質(zhì)點的相對運動微分方程式得：牛頓第二運動定律相對慣性系適用慣性力如果要在非慣性坐標(biāo)系中應(yīng)用牛頓第二定律，就必須引入慣性力(牽連慣性力和科氏慣性力)。慣性力的特點：既無施力體，也無相應(yīng)的反作用力。牛頓第三定律不成立。慣性力隨坐標(biāo)系的不同而不同。當(dāng)觀察者處于非慣性系中時就能感受到慣性力的存在，并可測量。慣性力具有與真實力一樣的動力學(xué)和靜力學(xué)效應(yīng)，在質(zhì)點的相對運動中可以與實際力一樣對待。實例分析慢速轉(zhuǎn)動的大圓盤使盤上快速運動的皮帶變形解：研究人相對電梯的運動，加牽連慣性力：例2已知電梯加速度為a，求磅秤的指示(體重)。因而磅秤指示增加，人體超重人工制造失重現(xiàn)象的方法： 落塔飛機的拋物線飛行在水池中利用水的浮力減少體重，能模擬宇航員的失重環(huán)境嗎？如何測量電梯的加速度？例3已知水平圓盤繞O軸轉(zhuǎn)動，角速度ω為常數(shù)。求小球相對圓盤的運動和光滑槽對小球的橫向作用力。SeSCN解：動坐標(biāo)系Oxyz固結(jié)于圓盤上，研究小球的相對運動。加慣性力：相對運動微分方程：初始條件：θωxOm例4導(dǎo)桿機構(gòu)帶動單擺的支點O按已知規(guī)律x=x0sinωt作水平運動。試導(dǎo)出質(zhì)點m的相對運動微分方程。解：在O點處建立平動坐標(biāo)系，添加牽連慣性力在

方向上列寫運動微分方程mgSeT2025年7月25日相對地球的運動相對地球的運動若：地球自轉(zhuǎn)的影響對一般工程問題影響很小對長時間問題或精度要求較高的問題需考慮其影響地球自轉(zhuǎn)的影響牽連慣性力的影響科氏慣性力的影響炮彈偏右(北半球)鐵軌一側(cè)磨損右岸沖刷落體偏東傅科擺臺風(fēng)慣性導(dǎo)航引起：地垂線與地心線的偏離重力加速度隨緯度變化質(zhì)點相對地球靜止重力地垂線與地心線的偏離重力加速度當(dāng)φ

=

0時，F(xiàn)=mg0+mω2Rφ

=0°時，g=9.78m/s2；φ

=90°

時，g=9.83m/s2(+0.51%)英國、阿根廷Forkland戰(zhàn)爭中英軍炮彈偏左。后調(diào)整。落體偏東落體偏東yxz在北京，小球從100m的高度下落，東偏1.68cm。迭代求解一次近似解零次近似解二次近似解傅科擺的原理及相對軌跡圖傅科(J.B.L.Foucault)，法國巴黎萬神殿(1851年)28kg傅科擺的原理及相對軌跡圖傅科(J.B.L.Foucault)，法國巴黎萬神殿(1851年)偏離平衡位置從靜止出發(fā)28kg傅科擺的原理及相對軌跡圖重力：假設(shè)：T≈mg科氏慣性力：在xy平面內(nèi)的近似方程：極坐標(biāo)表達式：直角表達式：28kg例5如圖所示，人造地球衛(wèi)星A繞地球E在半徑為1的圓軌道上運行。在同一軌道平面內(nèi)，衛(wèi)星B做小偏心率運動。推導(dǎo)衛(wèi)星B在衛(wèi)星A軌道坐標(biāo)系（坐標(biāo)平面xAy在軌道平面內(nèi)，x軸指向衛(wèi)星A矢徑方向，y軸指向衛(wèi)星A的前進方向）中的相對運動微分方程；當(dāng)||r||<<1時，求線性化的相對運動微分方程；設(shè)衛(wèi)星B在衛(wèi)星A軌道坐標(biāo)系中的初始位置為

(x0,y0)，初始速度為

。當(dāng)||r||<<1時，求t時刻，衛(wèi)星B在衛(wèi)星A軌道坐標(biāo)系中的科氏加速度；滿足什么條件時，衛(wèi)星A和B的軌道周期相同？Clohessy

andWiltshire,Terminalguidancesystemforsatelliterendezvous,JournaloftheAerospaceSciences,1960解在衛(wèi)星A的軌道坐標(biāo)系為中，設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y,0)。