第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省青島三十九中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某校義工社團(tuán)共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分層抽樣的方式，抽取16人參加周末的馬拉松比賽志愿者工作，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)是(

)A.3 B.5 C.6 D.102.在四邊形ABCD中，若AC=AB+AD，則“AC⊥BDA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件 D.充要條件3.若平面α過點(diǎn)A(2,3,0)且該平面的一個(gè)法向量為n=(2,1,1)，則點(diǎn)P(1,1,5)到平面α的距離為(

)A.66 B.39 C.4.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在如圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是(

)A.a<c<b B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b5.若函數(shù)f(x)=cos(ωx+π4)(ω>0)在(0,7πA.37 B.34 C.146.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，C′B′⊥x′軸，C′D′//y′軸，C′B′=3，A′B′=4，則△A′B′C′的原圖形的面積為(

)A.43

B.46

C.7.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.已知在鱉臑A?BCD中，BC=CD=AB=2，AB⊥平面BCD，則它的外接球半徑和內(nèi)切球半徑的比值為(

)A.3+6 B.6?8.在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，A1B1=2A.13209209 B.31919二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，m?β，α∩β=n，則m//n

B.若m//α，n//α，則m//n

C.若m⊥α，m⊥n，則n//α

D.若m⊥α，m//β，則α⊥β10.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位數(shù)為7

B.若一組樣本數(shù)據(jù)3，a，7，5，4，8的極差為5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,8]

C.x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分別為S12和S22，若yi=2xi?3(i=1,2,3,4)，則S211.已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是BA.點(diǎn)P的軌跡中包含AA1的中點(diǎn)

B.點(diǎn)P的軌跡與側(cè)面AA1D1D的交線長(zhǎng)為5a4

C.MP三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i是虛數(shù)單位，則|3+ii|=13.如圖所示的是某城市的一座紀(jì)念碑，一位學(xué)生為測(cè)量該紀(jì)念碑的高度CD，選取與碑基C在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A，B.現(xiàn)測(cè)得∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=120米，在點(diǎn)B處測(cè)得碑頂D的仰角為30°，則該同學(xué)通過測(cè)量計(jì)算出紀(jì)念碑高CD為______米.(保留根號(hào))14.將函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位，得到偶函數(shù)y=g(x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某商場(chǎng)為了制定合理的停車收費(fèi)政策，需要了解顧客的停車時(shí)長(zhǎng)(單位：分鐘)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該商場(chǎng)到訪顧客的100輛車進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求樣本中停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間(400,500]上的頻率；

(2)若某天該商場(chǎng)到訪顧客的車輛數(shù)為820，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該天停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間(200,400]上的車輛數(shù)；

(3)為了吸引顧客，該商場(chǎng)準(zhǔn)備給停車時(shí)長(zhǎng)較短的車輛提供免費(fèi)停車服務(wù)，若使該服務(wù)能夠惠及33%的到訪顧客的車輛，請(qǐng)你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費(fèi)停車時(shí)長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)的建議．16.(本小題15分)

如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且AB=2．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為π3，求圓錐的側(cè)面積；

(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為π3，CD//AB.設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線QM//平面PBD．17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足3asinC+acosC=b+c．

(1)求角A；

(2)已知△ABC面積為103，BC為7，求BC邊上中線18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐D?ABC中，△ABC為等邊三角形，E為AC的中點(diǎn)，AC⊥DB，且AC=DB=2DE=2．

(1)證明：DE⊥平面ABC；

(2)若F為線段DB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成角的正弦值．19.(本小題17分)

材料一：我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：隨機(jī)生成的一元多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)集中最終都可以分解成一次因式的乘積，且一次因式的個(gè)數(shù)(包括重復(fù)因式)就是被分解的多項(xiàng)式的次數(shù).事實(shí)上，數(shù)學(xué)中有如下定理：

代數(shù)基本定理：任何一元n(n∈N?)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程f(x)=0至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根．

材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元n(n∈N?)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì))．

下面我們從代數(shù)基本定理出發(fā)，看看一元多項(xiàng)式方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系．

設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)

在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1、x2，容易得到x1+x2=?a1a2x1x2=a0a2

設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)①

在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1、x2、x3，可以得到，方程①可變形為a3(x?x1)(x?參考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.AD

10.BCD

11.BCD

12.1013.2014.5π1215.(1)根據(jù)頻率分布表的可知，所有組頻率和是1，

除(400,500]外其他組頻率與組距乘積之和為(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100=0.97，

∴樣本中停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間(400,500]上頻率是1?0.97=0.03；

(2)(200,400]包含(200,300]、(300,400]兩組，

該區(qū)間頻率為(0.0034+0.0016)×100=0.5，

已知車輛數(shù)為820，則該區(qū)間車輛數(shù)為820×0.5=410；

(3)設(shè)免費(fèi)停車時(shí)長(zhǎng)不超過y分鐘，

(0,100]頻率為0.0013×100=0.13，0.13<33%，

(0,200]頻率為0.13+0.0032×100=0.45，0.45>33%，∴y在(100,200]上，

列方程0.13+(y?100)×0.0032=0.33，

(y?100)×0.0032=0.33?0.13=0.2，

y?100=0.20.0032=62.5，

y=100+62.5=162.5，

16.(1)如圖，連接PO，依題意及圓錐的性質(zhì)得∠PAO=π3，AO=12AB=1，∠POA=π2，

所以PA=AOcos∠PAO=1cosπ3=2，

所以圓錐的側(cè)面積S側(cè)=π?AO?PA=2π．

(2)證明：連接QO，QC，OD，

因?yàn)镼是母線PA的中點(diǎn)，AB是底面圓O的直徑，

所以QO//PB，

又PB?平面PBD，QO?平面PBD，

所以QO//平面PBD，

因?yàn)锳C=∠AOC?OA=π3，

所以∠AOC=π3，

因?yàn)镃D//AB，

所以∠OCD=∠AOC=π3，

則△OCD為等邊三角形，∠COD=π3，

所以∠BOD=π3，

所以△OBD為等邊三角形，∠OBD=π3，

所以O(shè)C//BD，

所以四邊形OCDB是平行四邊形，則OC//BD，

又BD?平面PBD，17.解：(1)因?yàn)?asinC+acosC=b+c，

由正弦定理可得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC=sinC+cosAsinC，

又因?yàn)閟inC>0，

可得3sinA?cosA=1，整理可得sin(A?π6)=12，

又因?yàn)锳∈(0,π)，可得A?π6=π6，

解得A=π3；

(2)因?yàn)椤鰽BC面積為103，BC為7，

即S△ABC=12bcsinA=12bc?318.(1)證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，

所以BE⊥AC，又AC⊥DB，DB∩BE=B，

所以AC⊥平面DBE，又DE?平面DBE，

所以AC⊥DE，又AC=2，

所以AE=EC=1，又DB=2，DE=1，

所以BE=3，

所以DE2+BE2=DB2，

所以DE⊥BE，又AC⊥DE，AC∩BE=E，

所以DE⊥平面ABC；

(2)連接EF，由(1)知AC⊥平面DBE，EF?平面BDE，所以AC⊥EF，

所以SΔAFC=12AC×EF，

所以當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，EF最小，

在Rt△DEB中，若EF最小，則EF⊥DB，

此時(shí)EF=32；AF=CF