第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省遼西重點高中高二（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x+2∈A}，則A∩B=(

)A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{1}2.若命題p：k<2，命題q：直線y=kx?1與拋物線y=x2無公共點，則q是p的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若a>1，則4a+1a?1的最小值為(

)A.4 B.6 C.8 D.無最小值4.如圖，在圓錐PO中，AB是底面圓的直徑，C在底面圓周上，AB=4，∠BAC=30°，M是BC的中點，PM與圓錐底面所成角的大小為60°，則圓錐PO的體積為(

)A.123π

B.12π

C.45.已知△ABC不是直角三角形，三內(nèi)角A，B，C的對邊依次為a，b，c，且滿足a2+b2=3A.0 B.1 C.2 D.不是定值6.已知向量a，b滿足|a|=1，b=(1,2)，|a?b|=A.(110,15) B.(7.已知z=21+i?i2025A.1+2i B.1?2i C.i D.18.對于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，則f(2025)=(

)A.?1 B.1 C.2025 D.4049二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，點M1(x1,y1)在拋物線上，|M1F|=4y1+14A.p=12 B.直線MnMn+1的斜率為?110.經(jīng)過A(1,0)，B(0,1)兩點的曲線C：ax2+by2?|xy|=1.如圖所示，關(guān)于曲線A.a=b=2

B.曲線C經(jīng)過的整數(shù)點個數(shù)為3個

C.x，y的取值范圍均為[?233,233]

D.若點P在曲線C上，則以A.(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為12

B.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖判斷出兩個變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=0.4x+a，若其中一個散點坐標為(?a,5.4)，則a=9

C.將兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，?，(xn,yn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知x1，x2是函數(shù)f(x)=cos3x?cos2x，x∈(0,π)的兩個零點，則|x113.甲同學有3本故事書和1本科普書，乙同學有1本故事書和3本科普書，若甲、乙兩位同學各取出i(i=1,2,3)本書進行交換，記交換后甲同學有故事書的本數(shù)為X，X的均值為Ei(X)，則E1(X)+14.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AB=9，AA1=10，以AB為棱作半平面ABMH分別和棱CC1，DD1相交于點M，H，二面角M?AB?C的平面角為α.在三棱柱四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)函數(shù)f(x)=asin2x+(a?1)(sinx+cosx)，其中a∈R．

(1)當a=0時，求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)記函數(shù)y=|f(x)|在[?π2,0]上的最大值為M．

(i)求M關(guān)于a的表達式；

(ii)證明：當a≥1時，|f′(x)|≤3M16.(本小題15分)

已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=1，b1=2，a3?b2=1，5+a2=b3．

(Ⅰ17.(本小題15分)

如圖，已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，A1A=4，且A1A⊥底面ABCD，點P，Q分別在棱DD1，BC上．

(Ⅰ)若P是DD118.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(b,223b)．

(1)求C的離心率．

(2)設(shè)A，B分別為C的左、右頂點，P，Q為C上異于A，B的兩動點，且直線BQ的斜率恒為直線AP的斜率的5倍．

(i)當b的值確定時，證明：直線PQ過x軸上的定點；

(ii)19.(本小題17分)

牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.如圖，r是函數(shù)f(x)的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實數(shù)x0，x1，…，xn?1，xn，在點(x0,f(x0))處作f(x)的切線，則f(x)在x=x0處的切線與x軸交點的橫坐標是x1，同理f(x)在(x1,f(x1))處的切線與x軸交點的橫坐標是x2，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列{xn}(n∈N?)，從圖中可以看到，x1較x0接近r，x2較x1接近r，…，當n很大時，|xn?r|很小，我們就可以把xn的值作為r的近似值，即把xn作為函數(shù)f(x)的近似零點.現(xiàn)令f(x)=(2x+1)3．

(1)當

參考答案1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】CD

11.【答案】ACD

12.【答案】2π513.【答案】4

14.【答案】19?615.(1)當a=0時，f(x)=?(sinx+cosx)=?2sin(x+π4)，T=2π，

由2kπ+π2<x+π4<2kπ+3π2，可得2kπ+π4<x<2kπ+5π4，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ+π4,2kπ+5π4)，k∈Z；

(2)(i)令t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，則由x∈[?π2,0]可得t∈[?1,1]，

所以f(x)=a(t2?1)+(a?1)t=at2+(a?1)t?a，

令g(t)=at2+(a?1)t?a，當a=0時，g(t)=?t∈[?1,1]，所以M=1=1?a，

當a≠0時，Δ=(a?1)2+4a2>0，對稱軸t對=1?a2a，g(1)=a?1，g(?1)=1?a；

①當a<?1時，t對∈(?1,?12)，g(?1)>0，g(1)<0，

所以M=|g(1?a2a)|=g(1?a2a)=?5a2+2a?14a；

②當?1≤a<0時，t對≤?1，所以g(t)在[?1,1]上單調(diào)遞減，所以M=|1?a|=1?a；

③當0<a≤13時，t對≥1，所以g(t)在[?1,1]上單調(diào)遞減，所以M=|1?a|=1?a；

④當a>13時，t對∈(?12,1)，所以g(t)在(?1,1?a2a)上單調(diào)遞減，在(1?a2a,1)上單調(diào)遞增．

所以M=|g(1?a2a)|=?g(1?a2a)=5a2?2a+14a；

綜上，M=?5a2+2a?14aa<?11?a?1≤a≤135a2?2a+14aa>13；

(ii)證明：f′(x)=2acos2x+(a?1)(cosx?sinx)，

所以|f′(x)|=|2acos2x+(a?1)(cosx?sinx)|≤2a+2|a?1|，

當a≥1時，2a+2|a?1|=(2+2)a?2，3M=15a2?6a+34a=7a2+a4+34a?32≥7a2+3?32，

而7a2+3?32>(2+2)a?2，

所以|f′(x)|≤3M．

16.(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0，

由a1=1，b1=2，a3?b2=118.(1)解：由題可得b2a2+8b29b2=1，解得：b2a2=19，

所以C的離心率e=1?b2a2=223；

(2)證明：(i)由對稱性可知直線PQ的斜率不可能為0，

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設(shè)PQ的方程為x=ty+m，

由(1)知C的方程為x29b2+y2b2=1，A(?3b,0)，B(3b,0)，

聯(lián)立方程組x=ty+mx29b2+y2b2=1，化簡得(t2+9)y2+2tmy+m2?9b2=0，

則Δ=4t2m2?4(t2+9)(m2?9b2)=36(t2b2?m2+9b2)>0，即m2<t2b2+9b2，

所以y1+y2=?2tmt2+9，y1y2=m2?9b2t2+9，

所以ty1y2=9b2?m22m(y1+y2)，

則kBQkAP=y2x2?3b?x1+3by1=(ty1+m+3b)y2(ty2+m?3b)y1=ty1y2+(m+3b)y2ty1y2+(m?3b)y1