第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省武威市涼州區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知事件A，B，且P(A)=12,P(B)=23,P(A|B)=A.16 B.49 C.122.設(shè)0<p<1，隨機變量ξ的分布列為ξ589P1?pp2p則p=(

)A.14 B.34 C.253.兩個事件A，B相互獨立，則(

)A.P(AB)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P(A∪B)=P(A)P(B)4.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(6,12)，則P(X=3)等于A.516 B.316 C.585.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則(

)A.兩人都中靶的概率為0.12 B.兩人都不中靶的概率為0.42

C.恰有一人中靶的概率為0.46 D.至少一人中靶的概率為0.746.已知隨機變量ζ～B(3,12)，則E(3ζ+A.32 B.92 C.4 7.對甲、乙兩組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖(左圖為甲，右圖為乙)，下列結(jié)論不正確的是(

)A.甲、乙兩組數(shù)據(jù)都呈線性相關(guān) B.乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度比甲強

C.乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r比甲大 D.乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r的絕對值更接近18.某批產(chǎn)品來自A，B兩條生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線占60%，次品率為5%；B生產(chǎn)線占40%，次品率為4%，現(xiàn)隨機抽取一件進行檢測，則抽到次品的概率是(

)A.0.029 B.0.046 C.0.056 D.0.406二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在空間直角坐標系Oxyz中，點O(0,0,0)，A(2,1,?1)，B(?3,?4,?5)，下列結(jié)論正確的有(

)A.|AB|=35

B.向量OA與OB的夾角的余弦值為?36

C.點A關(guān)于z軸的對稱點坐標為(?2,?1,?1)

10.某企業(yè)生產(chǎn)的12個產(chǎn)品中有10個一等品，2個二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取4個，則其中恰好有1個二等品的概率為(

)A.1?C104+C22C1011.下列說法中正確的是(

)A.回歸直線y=bx+a恒過樣本中心點(x?,y?)，且至少過一個樣本點

B.用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果時，R2越接近1，說明模型的擬合效果越好

C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個正數(shù)后，標準差變大

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知X服從參數(shù)為0.6的兩點分布，則P(X=0)=______．13.在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N～(2,σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(2,4)14.根據(jù)下表所示的樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法求得線性回歸方程為y=ax+10.3，則回歸系數(shù)ax6891012y65432四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

袋中有大小相同，質(zhì)地均勻的3個白球，5個黑球，從中任取2個球，設(shè)取到白球的個數(shù)為X．

(1)求隨機變量X的分布列；

(2)求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．16.(本小題15分)

某城市統(tǒng)計該地區(qū)人口流動情況，隨機抽取了100人了解他們端午節(jié)是否回老家，得到如下不完整的2×2列聯(lián)表：回老家不回老家總計60周歲及以下56060周歲以上25總計100(1)完成以上2×2列聯(lián)表；

(2)根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗，能否認為回老家過節(jié)與年齡有關(guān)？

參考公式：χ2=n(ad?bc)P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82817.(本小題15分)

在一條生產(chǎn)銅棒的生產(chǎn)線上，生產(chǎn)的成品銅棒的直徑為X(單位：cm，以下同)，且X～N(20,0.0001)．

(1)分別寫出E(X)，D(X)的值；

(2)若生產(chǎn)這樣的成品銅棒10000根，試估計直徑在[19.97,20.03]內(nèi)的銅棒根數(shù)；

(3)若質(zhì)檢員從這些銅棒中隨機抽取1根銅棒，求這根銅棒的直徑在[19.98,20.03]內(nèi)的概率．

參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，18.(本小題17分)

正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，C1B1中點，CG=3C1G.

(I)求證：GF⊥平面EBF；19.(本小題17分)

近年來，新能源產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，已成為一大支柱產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計，某市一家新能源企業(yè)近5個月的產(chǎn)值如表：月份6月7月8月9月10月月份代碼x12345產(chǎn)值y(億元)1620273037(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x間的線性相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性的強弱；(結(jié)果保留三位小數(shù)，若0.75≤|r|≤1，則認為y與x線性相關(guān)性很強；若|r|<0.75，則認為y與x線性相關(guān)性不強.)

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值．

參考公式：r=i=1nxiy答案解析1.【答案】B

【解析】解：由題意可得P(AB)=P(B)P(A|B)=49．

故選：B．

由條件概率計算公式即可求解．2.【答案】D

【解析】解：∵0<p<1，

∴由題意得0<1?p3<10<p2<10<2p3<11?p33.【答案】B

【解析】解：A：P(AB)=P(A)P(B)=P(A)+P(B)，則P(A)[P(B)?1]=P(B)，

而P(A)，P(B)∈[0,1]，所以不成立；

D：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)，P(AB)=P(A)P(B)，P(A∪B)=P(A)P(B)，

所以P(A)+P(B)=2P(A)P(B)，若P(A)+P(B)=2P(A)P(B)=2c，

所以x2?2cx+c=0在[0,1]上有兩解，則Δ=4c(c?1)≥0，c∈[0,1]，顯然不成立；

根據(jù)事件獨立的定義，B項一定成立，而C項說明兩事件互斥，故不可能獨立．

故選：B．

根據(jù)事件獨立的定義，即可得出答案．4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)條件中所給的變量符合二項分布，寫出變量取值不同時對應(yīng)的概率公式，本題x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】

解：∵隨機變量X服從二項分布B(6,12)，

∴P(X=3)=C65.【答案】C

【解析】解：設(shè)甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，

則P(A)=0.6，P(B)=0.7，

則兩人都中靶的概率為P(A)×P(B)=0.7×0.6=0.42，故A錯誤；

兩人都不中靶的概率為(1?P(A))×(1?P(B))=0.3×0.4=0.12，故B錯誤；

恰有一人中靶的概率為(1?P(A))×P(B)+P(A)(1?P(B))=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46，故C正確；

至少一人中靶的概率為1?0.3×0.4=0.88，故D錯誤．

故選：C．

設(shè)出事件，根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算求解．

本題考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】解：因為ζ～B(3,12)，所以E(ζ)=3×12=32，

則E(3ζ+57.【答案】C

【解析】解：由散點圖可以看出，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都呈線性相關(guān)，所以A正確；

乙圖的點相對更加集中，所以其相關(guān)性較強，|r|更接近1，所以B，D正確；

甲圖是正相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)r大于0，乙圖是負相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)r小于0，所以C錯誤．

故選：C．

利用線性相關(guān)的定義進行求解即可．

本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】B

【解析】解：因為抽到的次品可能來自于A，B兩條生產(chǎn)線，設(shè)A=“抽到的產(chǎn)品來自A生產(chǎn)線”，

B=“抽到的產(chǎn)品來自B生產(chǎn)線”，C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”，

則P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.04，

所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.04=0.046．

故選：B．

根據(jù)全概率公式即可求解．

本題考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】BCD

【解析】解：對于A，∵A(2,1,?1)，B(?3,?4,?5)，

∴|AB|=52+52+42=66≠35.故A錯誤；

對于B，OA=(2,1,?1)，OB=(?3,?4,?5)，

設(shè)向量OA與向量OB的夾角為θ，

則cosθ=OA?OB|OA||OB|=2×(?3)+1×(?4)+(?1)×(?5)4+1+1×9+16+25=?56×52=?36，

∴向量OA與OB的夾角的余弦值為?36，故B正確；

對于C，點A關(guān)于z軸的對稱點坐標為(?2,?1,?1)，故C正確；

10.【答案】AD

【解析】解：任意抽取4個產(chǎn)品有C124種不同的抽取方法，其中恰好有1個二等品的抽取方法有C21C103，

故所求事件的概率為C21C103C124，故D正確；

“恰好有1個二等品“的對立事件為“沒有二等品或有2個二等品“；

沒有二等品或有2個二等品取法有C104+C22C102，故沒有二等品或有2個二等品的概率為11.【答案】BD

【解析】本題主要考查概率與統(tǒng)計的知識，屬于基礎(chǔ)題．

由回歸直線的性質(zhì)即可判斷A；利用相關(guān)指數(shù)R2的性質(zhì)即可判斷B；由標準差的性質(zhì)即可判斷C；由獨立性檢驗的思想即可判斷D．

解：A：回歸直線y?=b?x+a?恒過樣本點的中心(x?,y?)正確，但不一定會過樣本點，故A錯誤；

B：用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果時，R2越接近1，說明模型的擬合效果越好，故B正確；12.【答案】0.4

【解析】解：X服從參數(shù)為0.6的兩點分布，

則P(X=0)=1?0.6=0.4．

故選：0.4．

利用兩點分布求解．

本題考查兩點分布等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13.【答案】0.4

【解析】解：∵ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)

∴曲線的對稱軸是直線x=2，

∵ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4，

∴根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)知在(2,4)內(nèi)取值的概率為0.4．

故答案為：0.4．

根據(jù)ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)，得到曲線的對稱軸是直線x=2，根據(jù)所給的ξ在14.【答案】?0.7

【解析】解：由題意可知，x?=6+8+9+10+125=9，y?=6+5+4+3+25=4，

因為線性回歸方程y=ax+10.3過點(x?,y?)，

所以4=9a+10.3，

15.【答案】分布列見解析．

E(X)=34，D(X)=【解析】(1)X的可能取值為0、1、2，

則P(X=0)=C52C82=1028=514X012P5153(2)E(X)=1×1528+2×328=34，

D(X)=514×(0?16.【答案】見解析；

根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗，可以認為回老家過節(jié)與年齡有關(guān)．【解析】(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：回老家不回老家總計60周歲及以下5556060周歲以上152540總計2080100(2)零假設(shè)為H0：回老家過節(jié)與年齡無關(guān)，

χ2=100(5×25?15×55)220×80×60×40=122596≈12.760>10.828，

所以根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗，假設(shè)不成立，

則可以認為回老家過節(jié)與年齡有關(guān)．17.【答案】E(X)=20，D(X)=0.0001；

9973；

0.9759．

【解析】(1)根據(jù)題意可知，X～N(20,0.0001)?X～(20,0.012)，

則E(X)=20，D(X)=0.0001；

(2)[19.97,20.03]?[2?03,2+0.03]，

因P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973，則直徑在[19.97,20.03]內(nèi)概率約為0.9973，

則直徑在[19.97,20.03]內(nèi)的銅棒根數(shù)為10000×0.9973=9973；

(3)[19.98,20.03]?[20?0.02,20+0.03]，

因P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973，

則P(19.98≤X<2)=12P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.47725，

P(12≤X≤20.03)=12P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.49865，

則P(19.98≤X≤20.03)≈0.47725+0.49865=0.9759．

(1)由正態(tài)分布概念可確定E(X)，D(X)；

(2)注意到[19.97,20.03]?[2?03,2+0.03]，由題利用P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973可得答案；18.【答案】(I)證明見解答；(Ⅱ)45；(Ⅲ)【解析】(I)證明：如圖，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系Dxyz，

由已知得D(0,0,0)，B(4,4,0)，G(0,4,3)，E(2,0,4)，F(xiàn)(2,4,4)，

所以GF=(2,0,1)，BE=(?2,?4,4)，EF=(0,4,0)，

設(shè)平面BEF的法向量為n=(x0,y0,z0)，

則BE?n=?2x0?4y0+4z0=0EF?n=4y0=0，即x0+2y0?2z0=0y0=0，

取z0=1，則n=(2,0,1)，即GF=n，

所以GF//n，

所以GF⊥面BE