PAGE1第02講平面向量中數(shù)量積的運算與應用內容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點01平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2、平面向量數(shù)量積的幾何意義投影向量：設a，b是兩個非零向量，如圖(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過點A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點A1.我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))稱為向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量為(|a|cosθ)eq\f(b,|b|).3、數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．4、數(shù)量積的性質設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．5、數(shù)量積的坐標運算與幾何表示已知非零向量，，為向量、的夾角．結論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系(當且僅當時等號成立)【常用結論】(1)在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．(2)兩個向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個向量，的夾角為鈍角?且，不共線．【考點一：數(shù)量積的運算】一、單選題1．（24-25高一下·甘肅張掖·期中）已知向量與的夾角為，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律即可求解．【詳解】由題得.故選：B．2．（2025·寧夏陜西·模擬預測）已知向量．若，則的值為（

）A．10 B．6 C．3 D．【答案】A【分析】應用向量線性運算及數(shù)量積的坐標表示列方程求參數(shù)值.【詳解】由題設，則，可得.故選：A3．（24-25高一下·四川·期中）已知等邊三角形ABC的邊長為，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】確定向量之間的夾角，根據(jù)數(shù)量積的定義計算，即可得答案.【詳解】由題意可知等邊三角形的邊長為2，則的夾角為，以及的夾角也為，則，同理，故，故選：D..4．（24-25高一下·河南·期中）已知在邊長為的正方形中，點滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運算與數(shù)量積的定義直接求解即可.【詳解】.故選：B.5．（24-25高一下·天津和平·期中）已知是邊長為2的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】設，，根據(jù)平面向量的線性運算可得，進而利用平面向量的數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】設，，則，點D，E分別是邊AB，BC的中點，，，，則，．故選：B.6．（24-25高一下·河南·階段練習）如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點，與交于點，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理求出，再由平面向量的線性運算和數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因為，分別為，的中點，所以，，有，所以，分別過作，則，所以，在直角三角形中，易得，設，因為D，O，F(xiàn)三點共線，所以，即，故，，故選：D.【考點二：模的運算】一、單選題1．（24-25高一下·湖北·開學考試）已知，，且，則（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算列方程，求得，進而求得.【詳解】因為，解得，則，則，則故選：A2．（24-25高一下·寧夏石嘴山·期中）已知單位向量與單位向量的夾角為45°，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】,故選：D3．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的模長公式代入計算，即可得到結果.【詳解】.故選：B4．（24-25高一下·浙江·期中）設平面內三個非共線的單位向量兩兩之間的夾角相等，則（

）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意確定兩兩之間的夾角，然后根據(jù)模長公式求解即可.【詳解】因為平面內三個非共線的單位向量兩兩之間的夾角相等，所以，所以所以.故選：B5．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）在ABC中，，，，與BE的交點為，若，則的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】借助向量線性運算法則與三點共線定理可得，再利用向量數(shù)量積公式計算即可得解.【詳解】令，，由，，則，，則，由、、三點共線，故，即，即，則，解得，即的長為.故選：C.6．（24-25高一下·山東青島·階段練習）是的外心，，存在，使.若，則的長為（

）A．5 B． C． D．4【答案】B【分析】取的中點，得到，由向量的數(shù)量積的幾何意義，得到，，再由，結合條件代入即可求得即可.【詳解】如圖所示，分別取的中點，連接，因為是的外心，所以，且，則，，又因為，且，所以，所以，即的長為.故選：B.【考點三：夾角的運算】一、單選題1．（24-25高一下·河南·階段練習）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得的坐標，再根據(jù)向量夾角的坐標計算公式，求解即可.【詳解】由題可得：，故，又，，故.故選：D.2．（24-25高一下·河南·階段練習）若向量，滿足，，且，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再根據(jù)平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為，，且，所以，設向量與的夾角為，則.故選：B.3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知，若與的夾角是鈍角，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量夾角公式進行求解即可.【詳解】由與的夾角是鈍角，得，解得，且與的夾角不等于，則與不反向共線，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是，故選：B4．（24-25高一下·廣西·期中）已知均為單位向量，若，則與夾角的大小等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的線性運算與模長計算即可得，再根據(jù)向量夾角余弦公式即可得夾角大小.【詳解】已知，由得，兩邊平方可得，所以，則，可得，則，由于，所以,故與夾角的大小等于.故選：C．5．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.點是邊BC上靠近的三等分點.AD的長等于邊AB上的高，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】使用向量法建立，得到從而得到結果.【詳解】如圖，所以，則，即，由，所以，所以，，可得或（舍），故，所以.故選：C.【考點四：垂直問題】一、單選題1．（24-25高一下·江蘇連云港·階段練習）已知向量，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量加法的坐標運算得到，由得，由向量數(shù)量積的坐標運算求得的值.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，故選：C.2．（24-25高一下·重慶涪陵·階段練習）已知單位向量的夾角為與垂直，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；【詳解】因為單位向量、的夾角為，所以，又與垂直，所以，即，即，解得，故選：C.3．（24-25高一下·天津·期中）已知向量滿足，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)及可構建方程組，解得.【詳解】∵，∴①，②，由①②解得，∴，故選：A.4．（2024高一·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，點，，，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】由題意，求出，的坐標，利用向量垂直的坐標表示列示求出，進而求出.【詳解】因為，，所以，，又，所以，所以，因為，所以，即，解得，所以，所以．故選：A．5．（24-25高一下·江蘇宿遷·期中）設，是兩個非零向量，且，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，得，，化簡后結合向量的夾角公式可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，①因為，所以，所以，②由②①，得，則，所以，得，所以，因為，是兩個非零向量，所以，因為，所以.故選：C6．（23-24高一上·山西·期末）已知平面四邊形的四條邊，，，的中點依次為E，F(xiàn)，G，H，且，則四邊形一定為（

）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形【答案】C【分析】由中位線定理可得四邊形為平行四邊形，結合已知以及，化簡整理得，即，進一步即可得解.【詳解】

由題意結合中位線定理可得，，所以，即四邊形為平行四邊形.，，，，，即，即，所以，又，所以，同理由中位線定理可得，所以，故四邊形為矩形.故選：C.【考點五：投影向量的求法】一、單選題1．（2025·湖南·二模）已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C．. D．【答案】D【分析】計算，根據(jù)投影向量的計算公式直接計算即可.【詳解】因為，所以，在上的投影向量為.故選：D2．（24-25高一下·河南信陽·期中）已知向量，的夾角為，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量公式即可得解.【詳解】在上的投影向量為.故選：A3．（24-25高一下·浙江溫州·期中）已知中，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)量積為0可知進而求出三角形邊長，再由投影向量定義計算可得結果.【詳解】根據(jù)題意可得，由勾股定理可知；則在上的投影向量為.故選：C4．（24-25高一上·湖北襄陽·期末）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為在方向上的投影向量為，且，則（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求解.【詳解】在方向上的投影向量為，即，①在方向上的投影向量為，即，②由①②得，又，所以.故選：C5．（24-25高一下·山東威海·期中）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得結果.【詳解】因為，所以兩邊平方得到：，在方向上的投影向量為，故選：D6．（24-25高一下·江蘇蘇州·期中）已知中，為的中點，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合已知利用數(shù)量積的運算律得，則有，進而結合幾何性質利用投影向量的概念求解即可.【詳解】由兩邊平方得，即，所以.因為為中點，所以在向量上的投影向量為.故選：C一、單選題1．（24-25高一下·河北邢臺·階段練習）已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因為，共線，所以設，又，是兩個不共線的向量，所以，解得.故選：B2．（24-25高一下·山東棗莊·期中）在中，為中點，點為上靠近點的一個三等分點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用向量的中線公式及向量的線性運算，即可求解.【詳解】因為，所以，又，由題知，所以，則，故選：D3．（24-25高一下·陜西渭南·期中）若向量滿足，且，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關系的向量表示和數(shù)量積的運算律列式求解.【詳解】由，得，因此，所以.故選：B4．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，則（

）A．A、B、C三點共線

B．A、B、D三點共線C．A、C、D三點共線D．B、C、D三點共線【答案】B【分析】先利用向量坐標運算得到相應的向量，再計算向量共線所滿足的關系式，看是否為0，得到結論.【詳解】A選項，由于，故不共線，所以A、B、C三點不共線，A錯誤；B選項，，由于，故共線，A、B、D三點共線，B正確；C選項，，由于，故不共線，A、C、D三點不共線，C錯誤；D選項，，故不共線，B、C、D三點不共線，D錯誤.故選：B5．（24-25高一下·北京·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，DM與AC交于點N，設，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，得到，從而利用向量基本定理得到.【詳解】平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，故，則，所以，.故選：A6．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量公式計算得出，再根據(jù)夾角余弦公式計算求解.【詳解】因為向量，，且向量在向量上的投影向量為，則，所以，所以.故選：C.7．（24-25高一下·江蘇南京·階段練習）在中，，，為線段上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三點共線求出，利用向量的線性運算用表示，結合數(shù)量積的運算律可得結果.【詳解】∵，∴，∵，∴，∵三點共線，∴，故，∴.∵，∴，∵，，，∴.故選：B.8．（24-25高一下·云南·期中）若是的邊上的一點（不包含端點），且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)共線向量定理的推論得，然后利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因為是的邊上的一點（不包含端點）且，可得，，，則，當且僅當，即時，等號成立.故選：C二、多選題9．（24-25高一下·廣東江門·期中）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時，在上的投影向量為 D．當與的夾角為銳角時，的取值范圍為．【答案】ACD【分析】根據(jù)判斷A，根據(jù)向量共線的坐標表示判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，根據(jù)且不同向判斷D.【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B錯誤；對于C：當時，，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確．對于D：當與夾角為銳角時，則，解得，此時向量不同向，所以當與的夾角為銳角時，的取值范圍為，故D正確；故選：ACD．10．（24-25高一下·山東青島·期中）如圖，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，則（

）

A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用向量運算求得，，然后利用結合數(shù)量積運算律建立方程求解判斷C，由向量線性運算得，然后結合數(shù)量積的運算律及模的運算求解判斷D，利用平面向量基本定理和三點共線的向量推論求得判斷A，利用向量的線性運算求得判斷B.【詳解】因為，，所以，所以，故C正確；因為，所以，故D正確；設，則，又三點共線，所以，由平面向量基本定理得，解得，所以，則，所以，故A正確，B錯誤.故選：ACD.三、填空題11．（24-25高一下·吉林長春·期中）已知平面向量、滿足，，且，則．【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質得出，即可求出的值.【詳解】因為平面向量、滿足，，且，則，故，