24.1第二十四章一元二次方程一元二次方程一元二次方程的三個(gè)特征：(1)等號兩邊都是整式；(2)只含______個(gè)未知數(shù)；(3)化簡后未知數(shù)的最高次數(shù)是______．一12認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】未知數(shù)的最高次數(shù)是2的項(xiàng)的系數(shù)的取值范圍不明確的方程不一定是一元二次方程．認(rèn)知基礎(chǔ)練2【2023·唐山友誼中學(xué)模擬】下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是(

)認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】判斷一個(gè)方程是一元二次方程首先要保證是整式方程，其次是只含一個(gè)未知數(shù)且化簡后未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】A認(rèn)知基礎(chǔ)練3【母題：教材P36習(xí)題B組T1】已知關(guān)于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，原方程是一元一次方程？認(rèn)知基礎(chǔ)練解：由題意，得當(dāng)m＝0時(shí)，原方程為2x＋1＝0，是一元一次方程；當(dāng)m＋2＝0，即m＝－2時(shí)，原方程為2x－1＝0，是一元一次方程；當(dāng)m＝1時(shí)，原方程為5x－1＝0，是一元一次方程；當(dāng)m＝－1時(shí)，原方程為3x－1＝0，是一元一次方程．綜上，當(dāng)m＝－2，－1，0，1時(shí)，原方程是一元一次方程．認(rèn)知基礎(chǔ)練解：由題意，得|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.故當(dāng)m＝2時(shí)，原方程是一元二次方程．(2)當(dāng)m為何值時(shí)，原方程是一元二次方程？認(rèn)知基礎(chǔ)練4【母題：教材P35做一做T1】把一元二次方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分別為(

)A．2，3，－1B．2，－3，－1C．2，－3，1D．2，3，1認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】把方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式為2x2－3x－1＝0，所以a＝2，b＝－3，c＝－1.【答案】B認(rèn)知基礎(chǔ)練5【2023·衡水四中月考】關(guān)于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為(

)A．0B．±3C．3D．－3認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】若方程中不含一次項(xiàng)，則移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)后一次項(xiàng)系數(shù)為0，本題易忽略m－3≠0而出錯(cuò)．【答案】D認(rèn)知基礎(chǔ)練6【2022·天津】方程x2＋4x＋3＝0的兩個(gè)根為(

)A．x1＝1，x2＝3B．x1＝－1，x2＝3C．x1＝1，x2＝－3D．x1＝－1，x2＝－3認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】將各選項(xiàng)代入驗(yàn)證即可．【答案】D認(rèn)知基礎(chǔ)練17【2022·廣東】若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，則a＝________.【點(diǎn)撥】把x＝1代入方程x2－2x＋a＝0，解得a＝1.認(rèn)知基礎(chǔ)練8【數(shù)學(xué)文化】【2022·泰安】我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，認(rèn)知基礎(chǔ)練則符合題意的方程是(

)A．3(x－1)x＝6210

B．3(x－1)＝6210C．(3x－1)x＝6210

D．3x＝6210認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】∵這批椽的數(shù)量為x株，∴一株椽的價(jià)錢為3(x－1)文，依題意可列方程為3(x－1)x＝6210.【答案】A認(rèn)知基礎(chǔ)練9【2022·重慶】小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是(

)A．200(1＋x)2＝242

B．200(1－x)2＝242C．200(1＋2x)＝242

D．200(1－2x)＝242認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)系式：第三天攬件數(shù)＝第一天攬件數(shù)×(1＋攬件日平均增長率)2，列方程為200(1＋x)2＝242.【答案】A認(rèn)知基礎(chǔ)練10已知x＝1是一元二次方程

(m－2)x2＋4x－m2＝0的一個(gè)根，則m的值為(

)A．－1或2

B．－1

C．2

D．0認(rèn)知基礎(chǔ)練【點(diǎn)撥】把x＝1代入(m－2)x2＋4x－m2＝0，得

m－2＋4－m2＝0，即m2－m－2＝0.把m＝0，m＝－1，m＝2分別代入

m2－m－2＝0中，當(dāng)m＝－1，m＝2時(shí)，m2－m－2＝0成立，又因?yàn)閙－2≠0，所以m≠2，所以m＝－1，故選B.【答案】B認(rèn)知基礎(chǔ)練解：設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，則3k＋4k＋5k＝12k＝36，解得k＝3.故a＝9，b＝12，c＝15.則方程為9x2＋12x＋15＝0.11【母題：教材P35做一做T1】設(shè)a，b，c分別是關(guān)于x的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，且a∶b∶c＝3∶4∶5，a＋b＋c＝36，寫出該一元二次方程．素養(yǎng)提升練612【2022·資陽】若a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一個(gè)根，則2a2＋4a的值是________．【點(diǎn)撥】將x＝a代入x2＋2x－3＝0，得a2＋2a－3＝0，即a2＋2a＝3.所以2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×3＝6.素養(yǎng)提升練13【2022·遂寧】已知m為方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值為(

)A．－2022

B．0

C．2022

D．4044素養(yǎng)提升練【點(diǎn)撥】∵m為方程x2＋3x－2022＝0的根，∴m2＋3m－2022＝0.

∴m2＋3m＝2022.∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－2022m＋2022＝m(m2＋3m)－(m2＋3m)－2022m＋2022＝2022m－2022－2022m＋2022＝0.【答案】B素養(yǎng)提升練14(1)【2022·青?！咳鐖D，小明同學(xué)用一張長11cm，寬7cm的長方形紙板制作一個(gè)底面積為21cm2的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可(損耗不計(jì))．設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為_______________________．(11－2x)(7－2x)＝21素養(yǎng)提升練解：將(11－2x)(7－2x)＝21整理得x2－9x＋14＝0.它的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)為－9x，常數(shù)項(xiàng)為14.

(2)

將(1)中所列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)．素養(yǎng)提升練15閱讀下列材料：問題：已知方程x2＋x－1＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．素養(yǎng)提升練這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用材料中提供的“換根法”求方程(要求：把所求方程化為一般形