第十四剛體的平面運動第1頁，共23頁。（優(yōu)選）第十四剛體的平面運動第2頁，共23頁。14.1剛體的平面運動方程上式稱為剛體平面運動方程，它描述了平面運動剛體作為整體的運動規(guī)律。從式(14—1)出發(fā)可以進一步寫出圖形上任一點的運動方程。因為圖形S內(nèi)各點一般有不同的運動，所以方程(14—1)的前兩式，以及這兩式求導所得到的基點的速度、加速度都與基點的選擇有關。返回上一頁第3頁，共23頁。14．2平面運動的分解用前一節(jié)所建立的運動方程(解析法)原則上已解決了圖形S及其上點的絕對運動問題。但在工程實際中，用合成(分解)法研究平面運動更加方便、直觀。以基點O’為原點，設定(默認)一個平動動參考系Ox′y′。為簡明，令軸z’、y’始終與定軸z、y分別平行(圖14—4)。顯然，動系Ox′y′的運動為平面平動，其運動規(guī)律由原點O’(基點)的運動方程(式(14—1)中的前二式)所代表。這樣，圖形S對定系的平面運動可分解為兩個分運動：(1)隨同基點(或動系)的平動，這是牽連運動；(2)相對于動系Ox′y′繞基點的轉動，這是相對運動。下一頁返回第4頁，共23頁。14．2平面運動的分解如上所述，圖形的平動部分可用基點的運動代表，其運動方程是式(14—1)的前兩式。因而平動的軌跡、速度、加速度都與基點的選擇有關。由圖14—4，圖形(相對)轉動部分的運動方程應寫為φ’=φ’(t)。但因動系作平動，恒有φ’=

φ，即相對運動的轉角及其各階導數(shù)分別與圖形絕對運動的轉角、各階導數(shù)完全相同。又考慮到式(14—1)第三式的導數(shù)與基點、基線的選擇無關，由此得到重要結論：在動系是隨同基點平動的情況下，平面圖形繞基點相對轉動的角速度、角加速度的大小和轉向都與基點、基直線的選擇無關，都分別與圖形的(絕對)角速度、(絕對)角加速度的的大小轉向相同。今后在把圖形的運動分解為平動和轉動(基點法，見后)的討論中，所涉及的角速度與角加速度的大小與轉向，既不必區(qū)別是相對的還是絕對的，也不須指定是繞哪個基點的。返回上一頁第5頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析一、平面圖形內(nèi)各點速度分析的基點法應用復合運動的方法，把平面圖形的運動分解成隨同基點的平動和繞基點的轉動后，就可以應用點的復合運動的概念和理論來分析平面圖形上各點的速度和加速度。設在平面圖形上取點O作為基點（圖14-5），已知基點的速度是v0，圖形的角速度大小是ω（為了方便，本章中角速度和角加速度都只取絕對值）。求圖形上任一點M的速度。點M作復合運動，牽連運動是以基點O的速度v0進行的平動。因此點M的牽連速度等于下一頁返回第6頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析相對運動是點M繞基點O的圓周運動。點M的這一相對速度改記為vMO，即寫成它簡稱為點M繞基點0轉動的速度，vMO的大小等于方向垂直于轉動半徑MO，指向與的轉向ω一致。于是，由點的速度合成定理就可以求得點M的絕對速度下一頁返回上一頁第7頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析即：平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點繞基點轉動的速度的矢量和。這種求平面圖形上任一點速度的方法稱為基點法，又稱為合成法。這結果表示了速度投影定理：平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上投影彼此相等。其實這個定理也可以從剛體不變形的特性直接推出，因而它適用于剛體的任何運動。下一頁返回上一頁第8頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析二、平面圖形內(nèi)各點速度分析的瞬心法應用基點法求平面圖形上任一點的速度時，如果選圖形上瞬時速度等于零的一點作為基點，那么計算將能簡化，因為這時圖形上任一點的速度就等于繞基點轉動的速度這一項了。問題是每瞬時圖形上是否的確存在速度等于零的一點?

設已知圖形上某點O的速度是，圖形的角速度是(圖14—8)。選點O作為基點，把v0順著圖形轉動的方向轉過一直角而作出半直線OA，在這半直線上所有各點的牽連速度和相對速度都方向相反。但各點的牽連速度都等于基點的速度，而相對速度的大小則正比于該點到基點的距離。因此，其中必有一點P，它的相對速度和牽連速度大小相等而方向相反，因而絕對速度等于零。點P的位置應滿足下列關系式：下一頁返回上一頁第9頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析或即：如平面圖形的角速度不等于零，則在該瞬時圖形上總有速度為零的一點。這個點稱為圖形的瞬時速度中心，簡稱瞬心。如取瞬心P作為基點，則平面圖形上任一點M的速度大小且vM垂直于轉動半徑MP并指向圖形繞P轉動的前方(圖14—9)。下一頁返回上一頁第10頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析這就是說，平面圖形上各點的速度分布就像定軸轉動時一樣。因此，可以認為：在圖形角速度不為零的每一瞬時，圖形繞固定平面上重合于速度瞬心的一點在轉動。這是平面圖形(絕對)運動的又一種描述，而這個轉動的角速度就是圖形的(絕對)角速度。應用瞬心法，須先求找該瞬時瞬心在圖形中的位置。以下介紹各種情況下確定瞬心位置的一般方法。

(1)已知圖形上某一點O的速度v0和圖形的角速度的大小和轉向。這時求速度瞬心的方法已在討論速度瞬心存在時給出(如圖14—8)。

(2)已知某瞬時平面圖形上A，B兩點速度的方位且兩者不平行。由于圖形上各點速度應垂直于該點和瞬心的連線，故過A、B分別作出vAvB的垂線，其交點P是圖形的瞬心(圖14—10)。這時如已知vA或vB的大小和指向，即可求出圖形的瞬時角速度大小：下一頁返回上一頁第11頁，共23頁。14.3平面圖形內(nèi)各點速度分析(3)已知圖形上A，B兩點速度vA和vB的方位互相平行，且與連線AB的交角θ≠90。(圖14一11)。這時速度瞬心P落到無窮遠處，PA→∞。，因而在該瞬時的角速度w=vA/PA=0

。利用速度投影定理，可以立即證明vA=vB

。事實上在該瞬時，圖形上所有各點的速度都相互平行且大小相等，其速度分布和平動時一樣。這種情況下圖形的運動稱為瞬時平動(這種現(xiàn)象只能瞬時存在，因為圖形上備點的加速度未必相等)。(4)已知vA和vB大小不等但互相平行，且垂直于連線AB(圖14—12(a)和(b))。根據(jù)圖14—9表示的速度分布規(guī)律，瞬心P是通過AB的直線和通過vA、vB端點A’、B’的直線的交點。(5)若平面圖形沿某一固定曲線軌道作純滾動(圖14—13)，則因圖形上與軌道接觸點P的瞬時速度為零，此點即為圖形在該瞬時的瞬心。返回上一頁第12頁，共23頁。圖14-1返回第13頁，共23頁。圖14-2返回第14頁，共23頁。圖14—4返回第15頁，共23頁