6/11立體幾何綜合測評(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.給出下列命題，其中是真命題的為()(1)若兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面；(2)若兩個(gè)平面平行，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平面；(3)若兩個(gè)平面垂直，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面；(4)若兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面．A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)A[(1)因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行，所以兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，即其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面也沒有公共點(diǎn)，所以(1)正確．(2)因?yàn)樵撝本€與其中一個(gè)平面垂直，那么該直線必與其中兩條相交直線垂直，又兩個(gè)平面平行，故另一個(gè)平面也必定存在兩條相交直線與該直線垂直，所以該直線與另一個(gè)平面也垂直，故(2)正確．(3)錯(cuò)，反例：該直線可以在另一個(gè)平面內(nèi)．(4)錯(cuò)，反例：其中一個(gè)平面內(nèi)也存在直線與另一個(gè)平面平行．綜上：(1)(2)為真命題．]2．給出以下四個(gè)命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B[①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確；②如圖，兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③顯然不正確；④不正確．因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7C[如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線BA1異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6條，故選C.]4．設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥βB[對于A，若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能相交，故錯(cuò)誤；對于B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；對于C，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故錯(cuò)誤；對于D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系有三種可能：l⊥β，l∥β，lβ，故錯(cuò)誤．故選B.]5．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A．1對 B．2對C．3對 D．5對D[∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．]6．如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.]7．下列命題中正確的是()A．將正方形旋轉(zhuǎn)不可能形成圓柱B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線C[將正方形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱，所以A錯(cuò)誤；B中必須以垂直于底邊的腰為軸旋轉(zhuǎn)才能得到圓臺(tái)，所以B錯(cuò)誤；通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線，所以D錯(cuò)誤，故選C.]8．如圖所示的組合體，其構(gòu)成形式是()A．左邊是三棱臺(tái)，右邊是圓柱B．左邊是三棱柱，右邊是圓柱C．左邊是三棱臺(tái)，右邊是長方體D．左邊是三棱柱，右邊是長方體D[根據(jù)三棱柱和長方體的結(jié)構(gòu)特征，可知此組合體左邊是三棱柱，右邊是長方體．]9．設(shè)長方體的長，寬，高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2B[由題可知，球的直徑等于長方體的體對角線的長度，故2R＝eq\r(4a2＋a2＋a2)，解得R＝eq\f(\r(6),2)a，所求球的表面積S＝4πR2＝6πa2.]10．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2 B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2 D．5πa2B[由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.]11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)C[如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑為R＝OA＝eq\r(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(13,2).]12．已知l，m表示兩條不同的直線，α表示平面，則下列說法正確的是()A．若l⊥α，mα，則l⊥mB．若l⊥m，mα，則l⊥αC．若l∥m，mα，則l∥αD．若l∥α，mα，則l∥mA[對于A，若l⊥α，mα，則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)，知l⊥m，故A正確；對于B，若l⊥m，mα，則l可能在α內(nèi)，故B不正確；對于C，若l∥m，mα，則l∥α或lα，故C不正確；對于D，若l∥α，mα，則l與m可能平行，也可能異面，故D不正確．故選A.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知正六棱柱的側(cè)面積為72cm2，高為6cm，那么它的體積為__________cm3.36eq\r(3)[設(shè)正六棱柱的底面邊長為xcm，由題意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×6×6＝36eq\r(3)cm3.]14．圓錐的表面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)為________．180°[S底＋S側(cè)＝3S底，2S底＝S側(cè)，即2πr2＝πrl，得2r＝l.設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角為θ，則eq\f(θπl(wèi),180°)＝2πr，∴θ＝180°.]15．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN等于________．90°[∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN為直角，∴B1M⊥MN.而B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.又MC1平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.]16．棱長為1的正四面體內(nèi)有一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向各個(gè)面引垂線，垂線段分別為d1，d2，d3，d4，則d1＋d2＋d3＋d4的值為________．eq\f(\r(6),3)[設(shè)四面體的高為h，則h＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×1))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)S(d1＋d2＋d3＋d4)，∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝eq\f(\r(6),3).]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，連結(jié)A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1)三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′-BC′D的體積．[解](1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方體，∴六個(gè)面是互相全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴S三棱錐＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，S正方體＝6a2，∴eq\f(S三棱錐,S正方體)＝eq\f(\r(3),3).(2)顯然，三棱錐A′-ABD，C′-BCD，D-A′D′C′，B-A′B′C′是完全一樣的，∴V三棱錐A′-BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′-ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)a3.18．(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[證明](1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以AD⊥AC.19.(本小題滿分12分)如圖，圓錐的軸截面SAB為等腰直角三角形，Q為底面圓周上一點(diǎn)．(1)若QB的中點(diǎn)為C，求證：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝eq\r(3)，求圓錐的表面積．[解](1)證明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C為QB的中點(diǎn)，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝eq\r(3)，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ為等邊三角形，∴OB＝eq\r(3).∵△SAB為等腰直角三角形，∴SB＝eq\r(6)，∴S側(cè)＝eq\r(3)·eq\r(6)π＝3eq\r(2)π，∴S表＝S側(cè)＋S底＝3eq\r(2)π＋3π＝(3＋3eq\r(2))π.20．(本小題滿分12分)如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面BDE；(2)求證：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．[解](1)證明：連結(jié)OE，如圖所示．∵O，E分別為AC，PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA.∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)證明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(3)取OC中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵E為PC中點(diǎn)，∴EF為△POC的中位線，∴EF∥PO.又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD.∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，∴OE⊥BD，∴∠EOF為二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(\r(2),4)a，∴EF＝OF·tan30°＝eq\f(\r(6),12)a，∴OP＝2EF＝eq\f(\r(6),6)a.∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.21.(本小題滿分12分)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值．[解](1)由題設(shè)AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高．又PA＝1，所以三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)證明：在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為N.在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M，連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM平面MBN，所以AC⊥BM.在直角△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，從而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2).由MN∥PA，得