第八章二元一次方程組8.3實際問題與二元一次方程組1．列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系；②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么）；③找：找出應(yīng)用題中的相等關(guān)系；④列：根據(jù)相等關(guān)系列出兩個方程，組成方程組；⑤解：解所列的方程組，求出未知數(shù)的值；⑥答：檢驗所求未知數(shù)的值是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）．【溫馨提示】①列方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是準確地找出題中的幾個相等關(guān)系，正確地列出方程組．②設(shè)未知數(shù)時可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)．③一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．④“審”和“找”兩步可在草稿紙上進行，書面上主要寫“設(shè)”“列”“解”和“答”四個步驟．⑤要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去．⑥“設(shè)”“答”兩步都要寫清單位名稱．⑦在列方程組時，要注意等號左、右兩邊單位的統(tǒng)一．2．列二元一次方程組應(yīng)用題的常見類型的基本關(guān)系式（1）和差倍分問題較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)×一份的量．（2）產(chǎn)品配套問題加工總量成比例．（3）速度問題路程=速度×?xí)r間（4）航速問題①順流（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）中的速度+水（風(fēng)）速；②逆流（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）中的速度-水（風(fēng)）速．（5）工程問題工作量=工作效率×工作時間．（6）增長率問題原量×（1+增長率）=增長后的量，原量×（1-減少率）=減少后的量．（7）濃度問題溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量．（8）銀行利率問題免稅利息=本金×利率×期數(shù)，稅后利息=本金×利率×期數(shù)-本金×利率×期數(shù)×稅率．（9）利潤問題利潤=售價-進價，利潤率=×100%．（10）盈虧問題解這類問題關(guān)鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個角度來把握事物的總量．（11）數(shù)字問題解這類問題，要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)的概念、特征及表示．（12）幾何問題解這類問題要準確掌握有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)和周長、面積等計算公式．（13）年齡問題解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等這一特征．K—重點根據(jù)題意找出等量關(guān)系，并能根據(jù)題意列二元一次方程組K—難點正確找出問題中的等量關(guān)系K—易錯找錯等量關(guān)系一、行程問題1．相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離．2．追及問題：同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地距離=追者走的路程．【例1】某地地震后，全國各地都有不少人士參與抗震救災(zāi)，家住成都的王偉也參加了，他要在規(guī)定時間內(nèi)由成都趕到雅安．如果他以50千米/小時的速度行駛，就會遲到24分鐘；如果以75千米/小時的高速行駛，則可提前24分鐘到達．若設(shè)成都至雅安的路程為S，由成都到雅安的規(guī)定時間是t，則可得到方程組是A． B． C． D．【答案】C二、配套問題產(chǎn)品配套問題是指某件產(chǎn)品是由幾個部件配套加工而成的，而部件的數(shù)量并不完全相同，在生產(chǎn)過程中，為了使每個部件生產(chǎn)的數(shù)量恰好符合組裝所需，而不產(chǎn)生積壓．各部件的數(shù)量不一定相等，但存在一定數(shù)量關(guān)系：【例2】用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身個，或制盒底個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現(xiàn)有張白鐵皮，設(shè)用張制盒身，張制盒底，恰好配套制成罐頭盒，則下列方程組中符合題意的是A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，根據(jù)題意得：，故選C．三、幾何圖形問題對于圖形問題的求解，要會通過對圖形的觀察比較、分析，發(fā)現(xiàn)隱含在圖形中的數(shù)量關(guān)系，這是解決有關(guān)圖形問題的關(guān)鍵．圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系有邊長之間的關(guān)系、面積之間的關(guān)系，等等．【例3】如圖，用10塊相同的矩形墻磚并成一個矩形，設(shè)矩形墻磚的長和寬分別為x厘米和y厘米，依題意列方程組正確的是A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圖示可得，故選B．四、方案問題優(yōu)化方案問題先要列舉出所有可能的方案，再按題目要求分別求出每種方案的具體結(jié)果，進行比較，從中選擇最優(yōu)．【例4】已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．學(xué)-科網(wǎng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案（即A、B兩種型號的車各租幾輛，有幾種租車方案）．【解析】（1）設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨x噸，y噸，根據(jù)題意得：，解得：．答：1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨3噸，4噸．（2）由題意可得：3a+4b=31，∴b=．∵a，b均為整數(shù)，∴有、和三種情況．故共有三種租車方案，分別為：①A型車1輛，B型車7輛；②A型車5輛，B型車4輛；③A型車9輛，B型車1輛．1．一副三角尺按如圖所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大50°，若設(shè)∠1=x°，∠2=y°，則可得到方程組為A． B．C． D．2．某次知識競賽共有20道題，規(guī)定：每答對一道題得+5分，每答錯一道題得-2分，不答的題得0分．已知圓圓這次競賽得了60分，設(shè)圓圓答對了x道題，答錯了y道題，則A．x-y=20 B．x+y=20C．5x-2y=60 D．5x+2y=603．已知xb+5y3a和-3x2ay2-4b是同類項，那么a，b的值是A． B．C． D．4．現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮可做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整的盒子，設(shè)用x張鐵皮做盒身，y張鐵皮做盒底，則可列方程組為A． B．C． D．5．已知甲、乙兩數(shù)之和是42，甲數(shù)的3倍等于乙數(shù)的4倍，求甲、乙兩數(shù)．若設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，由題意得方程組A． B．C． D．6．甲、乙兩人練習(xí)跑步，若乙先跑10米，則甲跑5秒就可以追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可以追上乙．設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，根據(jù)題意，下列選項中所列方程組正確的是A． B．C． D．7．某公司向銀行申請了甲、乙兩種貸款共計68萬元，每年需付出8.42萬元利息，已知甲種貸款每年的利率為12%，乙種貸款每年的利率為13%，則該公司甲、乙兩種貸款的數(shù)額分別為A．26萬元，42萬元 B．40萬元，28萬元C．28萬元，40萬元 D．42萬元，26萬元8．某校體操隊和籃球隊的人數(shù)之比是5:6，籃球隊的人數(shù)與體操隊的人數(shù)的3倍的和等于42人，若設(shè)體操隊的人數(shù)是x人，籃球隊的人數(shù)為y人，則可列方程組為A． B．C． D．9．一種飲料大小包裝有3種，1個中瓶比2小瓶便宜2角，1個大瓶比1個中瓶加1個小瓶貴4角，大、中、小各買1瓶，需9元6角，若設(shè)小瓶單價為x角，大瓶為y角，可列方程為A． B．C． D．10．甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，同向而行，甲乘車，乙步行．如果乙先走20千米，那么甲用1小時能追上乙；如果乙先走1小時，那么甲只用15分鐘就能追上乙，則甲的速度為__________千米/時．11．如果長方形的周長是20cm，長比寬多2cm．若設(shè)長方形的長為xcm，寬為ycm，則所列方程組為__________．12．一個賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租?。陈眯袌F20人準備同時租用這三種客房共7間，如果每個房間都住滿，那么租房方案有幾種？把每種方案都寫出來．13．已知甲、乙兩種商品的原價和為200元。因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提高10%，調(diào)價后甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了5%。求甲、乙兩種商品的原單價各是多少元．14．實踐操作題某班學(xué)生植樹，若每人植7棵樹，則剩5棵樹；若每人植8棵樹，則有1人少植1棵樹，問有多少名學(xué)生植樹，有多少棵樹．（1）假設(shè)有x名學(xué)生植樹，有y棵樹，請列出關(guān)于這個問題的二元一次方程組；（2）用列表的方法求出有多少名學(xué)生植樹，有多少棵樹．15．某校規(guī)劃在一塊長AD為18m、寬AB為13m的長方形場地ABCD上，設(shè)計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮，如圖所示，若設(shè)計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN=8∶9，問通道的寬是多少？16．目前節(jié)能燈在城市已基本普及，今年云南省面向縣級及農(nóng)村地區(qū)推廣，為相應(yīng)號召，某商場計劃用3800元購進節(jié)能燈120只，這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表：（1）求甲、乙兩種節(jié)能燈各進多少只？學(xué)=科網(wǎng)（2）全部售完120只節(jié)能燈后，該商場獲利潤多少元？17．小強到體育用品商店購買羽毛球球拍和乒乓球球拍，已知購買1副羽毛球球拍和1副乒乓球球拍共需50元，小強一共用320元購買了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍．若設(shè)每副羽毛球拍為x元，每副乒乓球拍為y元，根據(jù)題意，下面所列方程組正確的是A． B．C． D．18．甲乙兩地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，順水行船用18小時，逆水行船用24小時，若設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，則下列方程組中正確的是A． B．C． D．19．如圖①，在第一個天平上，砝碼A的質(zhì)量等于砝碼B加上砝碼C的質(zhì)量；如圖②，在第二個天平上，砝碼A加上砝碼B的質(zhì)量等于3個砝碼C的質(zhì)量，則砝碼A與砝碼C的質(zhì)量之比為A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．3∶220．如圖，在一個大長方形中放入六個形狀、大小相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積是A．16 B．44C．96 D．14021．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)的2倍多1，若將十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位置，則比原兩位數(shù)的2倍還多2，則原兩位數(shù)是__________．22．水果市場將120噸水果運往各地商家，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運載量（噸/輛）5810汽車運費（元/輛）400500600（1）若全部水果都用甲、乙兩種車型來運送，需運費8200元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？（2）為了節(jié)約運費，市場可以調(diào)用甲、乙、丙三種車型參與運送（每種車型至少1輛），已知它們的總輛數(shù)為16輛，你能通過列方程組的方法分別求出幾種車型的輛數(shù)嗎？23．某中學(xué)組織一批學(xué)生開展社會實踐活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿．已知45座客車的租金為每輛220元，60座客車的租金為每輛300元．（1）這批學(xué)生有多少人？原計劃租用45座客車多少輛？（2）若租用同一種客車，且使每名學(xué)生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？24．（2018·福建）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是A． B．C． D．25．（2018·河南）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為A． B．C． D．26．（2018·新疆）某文具店一本練習(xí)本和一支水筆的單價合計為3元，小妮在該店買了20本練習(xí)本和10支水筆，共花了36元．如果設(shè)練習(xí)本每本為x元，水筆每支為y元，那么根據(jù)題意，下列方程組中，正確的是A． B．C． D．27．（2018·溫州）學(xué)校八年級師生共466人準備參加社會實踐活動，現(xiàn)已預(yù)備了49座和37座兩種客車共10輛，剛好坐滿．設(shè)49座客車x輛，37座客車y輛，根據(jù)題意可列出方程組A． B．C． D．28．（2018·深圳）某旅店一共70個房間，大房間每間住8個人，小房間每間住6個人，一共480個學(xué)生剛好住滿，設(shè)大房間有個，小房間有個.下列方程正確的是A． B．C． D．29．（2018·泰安）夏季來臨，某超市試銷、兩種型號的風(fēng)扇，兩周內(nèi)共銷售30臺，銷售收入5300元，型風(fēng)扇每臺200元，型風(fēng)扇每臺150元，問、兩種型號的風(fēng)扇分別銷售了多少臺？若設(shè)型風(fēng)扇銷售了臺，型風(fēng)扇銷售了臺，則根據(jù)題意列出方程組為A． B．C． D．30．（2018·龍東地區(qū)）為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，某校決定用1200元購買籃球和排球，其中籃球每個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有A．4種 B．3種C．2種 D．1種31．（2018·東營）小巖打算購買氣球裝扮學(xué)?！爱厴I(yè)典禮”活動會場，氣球的種類有笑臉和愛心兩種，兩種氣球的價格不同，但同一種氣球的價格相同．由于會場布置需要，購買時以一束（4個氣球）為單位，已知第一、二束氣球的價格如圖所示，則第三束氣球的價格為A．19 B．18C．16 D．1532．（2018·牡丹江）如圖，在長為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個小矩形，則圖中陰影部分的面積為A．35 B．45C．55 D．6533．（2018·遵義）現(xiàn)有古代數(shù)學(xué)問題：“今有牛五羊二值金八兩；牛二羊五值金六兩，則一牛一羊值金__________兩．34．（2018·大連）《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？設(shè)有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)題意可列方程組為__________．35．（2018·威海）用若干個形狀、大小完全相同的矩形紙片圍成正方形，4個矩形紙片圍成如圖①所示的正方形，其陰影部分的面積為12；8個矩形紙片圍成如圖②所示的正方形，其陰影部分的面積為8；12個矩形紙片圍成如圖③所示的正方形，其陰影部分的面積為__________．36．（2018·株洲）小強同學(xué)生日的月數(shù)減去日數(shù)為2，月數(shù)的兩倍和日數(shù)相加為31，則小強同學(xué)生日的月數(shù)和日數(shù)的和為__________．37．（2018·黃岡）在端午節(jié)來臨之際，某商店訂購了A型和B型兩種粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的數(shù)量比A型粽子的2倍少20千克，購進兩種粽子共用了2560元，求兩種型號粽子各多少千克．38．（2018·隴南）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，在數(shù)學(xué)上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數(shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何？譯文為：現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少？請解答上述問題．39．（2018·長沙）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？1．【答案】D【解析】根據(jù)平角和直角定義，得方程x+y=90，根據(jù)∠1比∠2的度數(shù)大50°，得方程x=y+50．可列方程組為，故選C．2．【答案】C【解析】設(shè)圓圓答對了x道題，答錯了y道題，依題意得：5x-2y+（20-x-y）×0=60．故選C．5．【答案】B【解析】設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，由題意得：，故選B．6．【答案】A【解析】根據(jù)乙先跑10米，則甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x-5y=10；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可以追上乙，得方程4x=4y+2y，聯(lián)立方程組，故選A．7．【答案】D【解析】設(shè)該公司甲、乙兩種貸款的數(shù)額分別為x萬元與y萬元，則有，解這個二元一次方程組得，所以該公司甲、乙兩種貸款的數(shù)額分別為42萬元與26萬元．故選D．8．【答案】D【解析】根據(jù)題目中的相等關(guān)系：體操隊和籃球隊的人數(shù)之比是5:6，籃球隊的人數(shù)與體操隊的人數(shù)的3倍的和等于42人，可列方程組．故選D．9．【答案】A【解析】根據(jù)1個中瓶比2小瓶便宜2角可知中瓶價格為（2x?2）角，大、中、小各買1瓶，需9元6角可列方程x+（2x?2）+y=96即得3x+y=98，根據(jù)1個大瓶比1個中瓶加1個小瓶貴4角可列方程y?（2x?2+x）=4即y?3x=2，聯(lián)立后選A．故選A．10．【答案】25【解析】設(shè)甲的速度是x千米/時，乙的速度為y千米/時，根據(jù)如果乙先走20km，那么甲1小時就能追上乙可以列出方程x=20+y，根據(jù)乙先走1小時，甲只用15分鐘就能追上乙可以列出方程0.25x=（1+0.25）y，聯(lián)立列方程組可得，解得．故答案為：25．11．【答案】【解析】設(shè)長方形的長為xcm，寬為ycm，由題意，得，故答案為：．12．【解析】設(shè)租二人間、三人間各x間、y間，則需租四人間（7-x-y）間．于是2x+3y+4（7-x-y）=20，即2x+y=8，此二元一次方程的正整數(shù)解為，此時7-x-y=0，1，2．但當x=1，y=6時，7-x-y=0，即只租了二人間和三人間，沒有租四人間，不合題意，舍去．所以共有2種租房方案：方案一：租二人間、三人間、四人間各2間、4間、1間；方案二：租二人間、三人間、四人間各3間、2間、2間．13．【解析】，解得．答：甲、乙兩種商品的原單價各是50元、150元．14．【解析】（1）根據(jù)題意，得．（2）根據(jù)方程組及x，y都是正整數(shù)的特點，可列表如下：x1234567y=7x+512192633404754y=8x-17152331394755顯然x=6，y=47滿足這個方程組，即方程組的解是，答：有6名學(xué)生植樹，有47棵樹．15．【解析】設(shè)通道的寬是xm，AM=8ym，因為AM∶AN=8∶9，所以AN=9ym，所以，解得，答：通道的寬是1m．16．【解析】（1）設(shè)商場購進甲種節(jié)能燈只，則購進乙種節(jié)能燈只，由題意得：，解得，答：甲、乙兩種節(jié)能燈分別進80、40只．（2）由題意得：，答：全部售完120只節(jié)能燈后，該商場獲利潤1000元．17．【答案】B【解析】每幅羽毛球拍為x元，每幅乒乓球拍為y元，由題意得，，故選B．20．【答案】B【解析】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意得：，解得：．故小長方形的長為8cm，寬為2cm，∴S陰影部分=S四邊形ABCD-6×S小長方形=14×10-6×2×8=44（cm2）．故選B．21．【答案】25【解析】設(shè)個位數(shù)字為，十位數(shù)字為．由題意得，解得，則原兩位數(shù)是，故答案為：25．22．【解析】（1）設(shè)需甲車型x輛，乙車型y輛，得，解得．答：分別需甲車型8輛，乙車型10輛．（2）設(shè)需甲車型x輛，乙車型y輛，丙車型z輛，得：，消去z得5x+2y=40，，因x，y是正整數(shù)，且不大于16，得y=5或10，由z是正整數(shù)，解得，有二種運送方案：①甲車型6輛，乙車型5輛，丙車型5輛；②甲車型4輛，乙車型10輛，丙車型2輛．23．【解析】（1）設(shè)租用45座客車x輛，則租60座客車x-1輛．根據(jù)題意，得45x+15=60（x-1），解得x=545x+15=240．答：這批學(xué)生是240人，原計劃租用45座客車5輛．（2）220×（5+1）=1320（元），300×（5-1）=1200