第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足iz+2=3z+i(i為虛數(shù)單位)，則z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量p=(a+c,?b),q=(a+b,a?c)，若p//q，則角A.π6 B.π3 C.π23.已知菱形ABCD邊長為2，∠BAD=60°，則BD?DC=A.?4 B.?2 C.2 D.44.如圖，一個水平放置的梯形由斜二測畫法得到的直觀圖是面積為2的等腰梯形OA′B′C′，則原梯形面積為(

)A.2 B.2 C.4 D.5.以長為4cm，寬為3cm的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的側(cè)面積為(

)A.16πcm2，或24πcm2 B.16πcm2

C.6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acosB?bcosA=c，且C=2π5，則∠B=(

)A.π5 B.π10 C.3π107.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=2π3，AB=BC=2，CC1=1，A.55 B.255 8.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是(????)(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式V=13A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題不正確的是(

)A.棱臺的側(cè)棱長可以不相等，但上、下底面一定相似

B.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐

C.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

D.直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐10.“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個面的形狀不全相同.有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到，如圖，正八面體E?ABCD?F的棱長為3，取各條棱的三等分點，截去六個角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體(

)

A.共有18個頂點

B.共有36條棱

C.表面積為6+83

D.與正八面體E?ABCD?F的體積之比為811.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列四個命題中，正確的命題是(

)A.若c=2acosB，則△ABC一定是等腰三角形

B.若(a2+b2)sin(A?B)=(a2?b2)sin(A+B)，則△ABC是等腰或直角三角形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(2,?1)，b=(λ,1)，若a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是______．13.如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是平行四邊形，E為AD的中點，F(xiàn)在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，則λ的值為______．14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足c=7，D是邊AB的中點，CD⊥CB，且b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC?sinA)，則CD的長為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c2b?a=cosCcosA．

(1)求角C的大小；

(2)若c=1，△ABC的面積S△ABC16.(本小題15分)

已知向量a與b的夾角為45°，且|a|=1，|2a?b|=10．

(1)求|b|的值；

(2)在三角形ABC17.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，b=318.(本小題15分)

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABEF為矩形，CE⊥平面ABEF，CE//DF，且AB=CE=2AF=2．

(1)求證：AD//平面BCE；

(2)求證：平面ABC⊥平面BCE；

(3)求三棱錐C?ADE的體積．19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA=BC=1，PD+DC=AB=3，AB//CD，AB⊥BC，M在線段AB上(不含端點)，PM⊥底面ABCD．

(1)證明：平面PAB⊥平面PBC．

(2)設(shè)PD=x,x∈(1,3)，請寫出三棱錐M?PAD的體積V關(guān)于x

參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.D

6.B

7.B

8.B

9.BCD

10.BD

11.ABD

12.(?∞,?2)∪(?2,113.3

14.2115.(1)解：因為c2b?a=cosCcosA，可得ccosA=2bcosC?acosC，

即ccosA+acosC=2bcosC，

由正弦定理得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosC，即sin(C+A)=2sinBcosC，

又因為C+A=π?B，可得sin(C+A)=sinB，所以sinB=2sinBcosC，

因為B∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosC=12，

又因為C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)解：因為△ABC的面積S△ABC=3，可得12absinC=3，可得ab=4，

又因為c=1，由余弦定理c2=16.解：(1)已知向量a與b的夾角為45°，且|a|=1，|2a?b|=10，

則4a2?4a?b+b2=10，

則4?4×1×22|b|+17.解：(1)因為asinA+C2=bsinA，

則sinAsin(π?B2)=sinBsinA，

故sinAcosB2=2sinB2cosB2sinA，

在△ABC中，0<A<π，0<B<π，

所以0<B2<π2，

則sinA≠0，cosB2≠0，

可得sinB2=12，

所以B2=π6，

所以B=π3．

(2)由正弦定理可得2R=asinA=csinC=bsinB18.解：(1)證明：∵四邊形ABEF是矩形，

∴AF//BE，

又AF?平面BCE，BE?平面BCE，

∴AF//平面BCE．

∵CE//DF，DF?平面BCE，CE?平面BCE，

∴DF//平面BCE．

∵AF∩DF=F，AF，DF?平面ADF，

∴平面ADF//平面BCE，

又AD?平面ADF，

∴AD//平面BCE．

(2)證明：∵CE⊥平面ABEF，AB?平面ABEF，

∴CE⊥AB，

在矩形ABEF中，AB⊥BE，

又∵BE∩CE=E，BE，CE?平面BCE

∴AB⊥平面BCE．

又AB