第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高二（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=(2a+3)x?4a+3,x≥1ax,x<1，對任意的x1，x2∈R，且x1A.a>1 B.a<2 C.1<a<2 D.1<a≤22.長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BA.82

B.823

3.6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為(

)A.35 B.50 C.70 D.1004.定義符號函數(shù)sgnx=1,x>00,x=0?1,x<0，設(shè)f(x)=sgn(12?x)+12?f1(x)+sgn(x?12A.(32,2] B.[1,2] C.{1}∪(5.函數(shù)f(x)的定義域為R，f(2)=3，若?x∈R，f′(x)>1，則f(x)>x+1的解集為(

)A.(?2,2) B.(2,+∞) C.(?∞,2) D.(?∞,+∞)6.若函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x)，且x∈(?1,1]時f(x)=|x|，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=log2|x|的圖象的交點的個數(shù)是A.2 B.3 C.4 D.多于47.設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4x+6,x≥0x+6,x<0，則不等式f(x)>3A.(?3,1)∪(3,+∞) B.(?3,1)∪(2,+∞)

C.(?1,1)∪(3,+∞) D.(?∞,?3)∪(1,3)8.已知二次函數(shù)y=2x2?1在區(qū)間[a,b]上有最小值?1，則下面關(guān)系一定成立的是A.a≤0<b或a<0≤b B.a<0<b

C.a<b<0或a<0<b D.0<a<b或a<b<0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2+x+5，則A.f(0)=0 B.g(x)=xf(x)是奇函數(shù)

C.f(?1)=7 D.當(dāng)x<0時，f(x)=?10.函數(shù)f(x)=x3?mA. B. C. D.11.已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各命題中，正確的是(

)A.當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向一定相反

B.當(dāng)λ=0時，λa的方向具有任意性

C.|λa|=λ|a|

D.當(dāng)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.全期望公式E(Y)=xiE(Y|X=xi)P(X=xi)是條件數(shù)學(xué)期望的一個非常重要的性質(zhì).全期望公式具有廣泛的應(yīng)用.例如，小明按照如下規(guī)則扔一個骰子：如果扔到1點，就再扔一次并規(guī)則不變，如果扔到其他點數(shù)則停止.設(shè)X為小明停止扔骰子后扔骰子的總次數(shù)，則根據(jù)全期望公式可得E(X)=16(1+E(x))+56×1，解得E(X)=65，其中1+E(x)表示小明投一次1點后，再投骰子停止后次數(shù)期望仍為E(X)，加上之前投的一次總次數(shù)為13.設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1+a2+14.已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x?1)，當(dāng)x∈[?1,0]時，f(x)=x2，方程f(x)?loga|x|=0有10四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動.競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分；每答對1道B類試題得20分，答錯都不得分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答(每道題抽后不放回).已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對，而他答對各道B類試題的概率均為23．

(1)若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；

(2)若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．16.(本小題15分)

記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1且2Sn=(n+1)an．

(1)求{a17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x2?a)ex，a∈R．

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的極值點x118.(本小題17分)

短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度.為調(diào)查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點對當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人．

(Ⅰ)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)聯(lián)；

單位：人游客短視頻合計收看未看南方游客北方游客合計(Ⅱ)為了增加游客的旅游樂趣，該景點設(shè)置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一.現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出．

(i)求經(jīng)過i次傳遞后球回到甲的概率；

(ii)記前m次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+dα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aex+cosx(x∈R)在x=0處的切線斜率為2．

(1)求a的值；

(2)求證：ex≥cosx+x；

(3)是否存在實數(shù)m，使得參考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.B

6.A

7.A

8.A

9.AD

10.ABD

11.ABD

12.10

13.32

14.(5,7)

15.解：(1)易知X的所有可能取值為0，10，20，30，

此時P(X=0)=C33C103=1120，P(X=10)=C7X0102030P17217故E(X)=0×1120+10×740+20×2140+30×724=21；

(2)記“該同學(xué)僅答對1道題”為事件M16.解：(1)根據(jù)題意，a1=1，2Sn=(n+1)an，則2Sn?1=nan?1，

兩式相減可得2an=(n+1)an?nan?1，即anan?1=nn?1(n≥2)，

17.(1)解：f(x)=(x2?a)ex在R上連續(xù)不斷，且f′(x)=ex(x2+2x?a)，

由f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，因ex>0，則x2+2x?a≥0在x∈(1,2)上恒成立，

即a≤x2+2x在x∈(1,2)恒成立，

因g(x)=x2+2x=(x+1)2?1在(1,2)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(1)=3，

故a≤3，即a∈(?∞,3]；

(2)證明：由(1)可知：f′(x)=ex(x2+2x?a)，且ex>0，令f′(x)=0，可得x2+2x?a=0，

由函數(shù)f(x)有兩個不同的極值點x1，x218.解：(Ⅰ)將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計280220500假設(shè)H0：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)，

χ2=500×(200×120?80×100)2300×200×280×220=8000231≈34.632>10.828=x0.001，

根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，

即認(rèn)為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．

(Ⅱ)(i)設(shè)經(jīng)過i次傳遞后回到甲的概率為Pi，

則Pi=(1?Pi?1)×14=?14Pi?1+14(i≥2)，

即Pi?15=?14Pi?1?15，

又P1=0，P1?119.解：(1)根據(jù)題意，f′(x)=aex+sinx(x∈R)，

f′(0)=a=2；

(2)證明：設(shè)g(x)=ex?x?1(x∈R)，g′(x)=ex?1，

當(dāng)x∈(?∞,0)時，g′(x)<0，函數(shù)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(0,+∞)時，g′(x)>0，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

則g(x)在R上的最小值為g(0)=0，所以ex≥x+1≥x+cosx；

(3)設(shè)?(x)=f(x)?mx3?x22?2x?3=2ex+cosx?mx3?x22?2x?3(x∈R)，

則?′(x)=2ex?sinx?3mx2?x?2(x∈R)，

設(shè)H(x)=?′(x)=2ex?sinx?3mx2?x?2，

則H′(x)=2ex?cosx?6mx?1，設(shè)G(x)=H′(x)=2ex?cosx?6mx?1，

則G′(x)=2ex+sinx?6m，設(shè)T(x)=G′(x)=2ex+sinx?6m，

T(0)=2?6m，T′(x)=2ex+cosx，①T(0)=2?6m=0時，m=13，H′(x)=2ex?cosx?2x?1，

由(2)可知，H′(x)=2ex?cosx?2x?1≥ex?x?1≥0，

所以H(x)在R上遞增，又H(0)=0，

所以當(dāng)x∈(?∞,0)時，H(x)=?′(x)<0，函數(shù)?(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(0,+∞)時，H(x)=?′(x)>0，函數(shù)?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以?(x)在R上的最小值為?(0)=0，即f(x)≥mx3+x22+2x+3成立；

②T(0)=2?6m>0時，m<13，

當(dāng)x∈[?π2,π2]時，T′(x)=2ex+cosx>0，T(x)在[?π2,π2]上單調(diào)遞增，

若T(?π2)=2e?π2+1?6m≥0，則當(dāng)x∈[?π2,0]時，T(x)=G′(x)≥0，

G(x)=H′(x)在[?π