PAGE1直線和圓的方程綜合檢測鞏固卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量，則的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直線的方向向量即可求得斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求出結(jié)果.【詳解】由題意知直線的方向向量是，可得其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：C2．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．外離【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心距，再判斷位置關(guān)系即可.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，又，所以，所以圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：A.3．直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合幾何法表示出弦長可解.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，圓心到直線的距離，所以，解得.故選：C.4．已知直線與直線互相平行，則m為（

）A． B．-2 C．-2或2 D．2【答案】D【分析】利用兩直線平行的性質(zhì)列方程求出的值，再檢驗(yàn)兩直線是否重合即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，所以，解得或，又因?yàn)闀r，兩直線重合，不符合題意，舍去.所以，.故選：D.5．與圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓為，則有解出即可.【詳解】由圓有，設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓為，則有，所以圓關(guān)于直線對稱的圓為，故選：D.6．已知圓：，直線：，則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定直線所過的定點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)，分析出當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于直線時，弦長最短，最后根據(jù)勾股定理求出弦長的最小值.【詳解】將直線方程進(jìn)行變形：因?yàn)?，所以可?lián)立方程組，解得..所以直線恒過定點(diǎn).已知圓：，則圓心，半徑.可得圓心與定點(diǎn)的距離為：.因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部.當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于直線時，弦長最短.此時弦長的一半、圓心與定點(diǎn)的距離以及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，其中圓的半徑為斜邊.根據(jù)勾股定理，弦長的一半為.所以弦長的最小值為.直線被圓截得的弦長的最小值為.故選：A.7．已知直線和曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得到曲線表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，結(jié)合條件，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由，得到，所以曲線表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，圖象如圖，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，此時與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線與曲線相切時，由，解得或（舍），由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.8．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論不正確的是（

）A．C的方程為B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為3C．在C上不存在點(diǎn)M，使得D．C上的點(diǎn)到直線的最小距離為1【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式表示，化簡計(jì)算即可判斷A；根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可判斷B；根據(jù)和兩點(diǎn)求距離公式求出點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可判斷C；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)點(diǎn)，，，整理得，故C的方程為，故A正確；對于B，的圓心，半徑，點(diǎn)到圓心的距離，圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為3，故B正確；對于C，設(shè)點(diǎn)，，則，整理得，點(diǎn)M的軌跡方程為，即M是以為圓心，半徑的圓，又，兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，在上不存在點(diǎn)，使得，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．以下四個命題表述正確的是（

）A．若直線傾斜角，則直線的斜率不存在或斜率的取值范圍是B．直線恒過定點(diǎn)C．若直線與互相垂直，則D．若直線與平行，則與的距離為【答案】AD【分析】對于A由即可求解，對于B將直線整理為即可求解，對于C由得即可求解，對于D先求，再利用兩平行線間的距離公式即可求解.【詳解】對于A：當(dāng)時，直線的斜率不存在，當(dāng)時，由斜率，，故A正確；對于B：由直線得，令有解得，即定點(diǎn)為，故B錯誤；對于C：直線與互相垂直，則解得或，故C錯誤；對于D：由有，所以與的距離為，故D正確；故選：AD.10．已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．圓與圓有兩條公切線B．直線的方程為C．D．線段的垂直平分線的方程為【答案】ABD【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，進(jìn)而判斷圓的位置關(guān)系確定切線條數(shù)，兩圓方程作差求相交弦方程，應(yīng)用幾何法求相交弦長，垂直關(guān)系求斜率并應(yīng)用點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】由，則圓心，半徑，由，則圓心，半徑，所以，即，故兩圓相交，所以圓與圓有兩條公切線，A對；兩圓作差有，整理得，B對；由到的距離，則，C錯；由B知，則線段的垂直平分線的斜率，故線段的垂直平分線的方程為，D對.故選：ABD11．已知圓，直線，下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線與圓相切，則B．若，則圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰有2個C．若圓上存在點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為D．已知，，為圓上異于的一點(diǎn)，若，則的最大值為【答案】BCD【分析】由直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列方程求判斷A，求時圓心到直線的距離，由此判斷B，在直線與圓的不同位置關(guān)系下，轉(zhuǎn)化條件列不等式求的范圍，判斷C，設(shè)，利用表示，結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)求的最值，判斷D.【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得，A錯誤．當(dāng)時，圓心到直線的距離，，故圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰有個，B正確．當(dāng)直線與圓相交或相切時，滿足圓上存在點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)，使得．當(dāng)直線與圓相離時，與圓相切時，最大，要滿足題意，只需，即，，解得，C正確．根據(jù)圓的對稱性，不妨令在軸右側(cè)，設(shè)的中點(diǎn)為且，．要使最大，只需保證在軸上方，即，如下圖，．當(dāng)時，與軸垂直時，取最大值，為，D正確．故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知點(diǎn)，四點(diǎn)共圓，則．【答案】【分析】設(shè)過的圓的一般方程，再列方程組，求得其一般方程，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可.【詳解】設(shè)過的圓的方程為且,則，解得，所以過的圓的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在此圓上，所以，解得，所以．故答案為：13．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離的平方和為10，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意計(jì)算化簡得出點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓，將看作是點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，利用直線與圓的位置關(guān)系求得的取值范圍，即可得解.【詳解】由動點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方和為10，得，則點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓，可看作是點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離，由直線與圓有公共點(diǎn)，得圓心到直線的距離，整理得，解得或，所以的取值范圍為．故答案為：14．“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)、，則、兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，若點(diǎn)滿足，則的最大值為．【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題中定義求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，當(dāng)，時，則有，可得；當(dāng)，時，則有，可得；當(dāng)，時，則有，可得；當(dāng)，時，則有，可得.如下圖所示：則點(diǎn)的軌跡為正方形，且點(diǎn)、、、，因?yàn)椋?，所以，、、三點(diǎn)共線，且，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取最大值，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與圓的交點(diǎn)，且、方向相同時，等號成立，因此，的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用二次曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．(1)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．(2)若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．(3)已知直線經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求直線的方程．【答案】(1)(2)或(3)，或【分析】（1）首先根據(jù)題意得到直線的斜率為，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程即可.（2）首先求出線段AB垂直平分線的方程為，設(shè)出，根據(jù)得到或，再求直線方程即可.（3）分類討論直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以直線的斜率為，則直線：，即.（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以線段垂線的斜率為，且線段AB的中垂線過點(diǎn)，所以線段AB垂直平分線的方程為，即，所以點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，由可得：，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，當(dāng)坐標(biāo)為時，，直線：，即.當(dāng)坐標(biāo)為時，，直線：，即.（3）①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，直線在兩坐標(biāo)軸上截距均等于，設(shè)直線為，因?yàn)檫^，得到，解得，所求直線方程為，即．②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)其方程，又經(jīng)過點(diǎn)，有，解得，則方程為，即．故所求直線的方程為，或．16．（15分）已知圓：，若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對稱.(1)求的值(2)過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題可得直線過圓心，求出圓心坐標(biāo)代入運(yùn)算得解；（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求出圓心到直線距離d，分直線l斜率存在和不存在討論利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】（1）因?yàn)閳A：可化為，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閳AC上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對稱，則直線經(jīng)過圓心，將代入，即，解得.（2）依題意，設(shè)圓心到直線距離為d，因?yàn)?，則．當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程l為，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為，即，所以圓心到直線l的距離，解得，直線l的方程為，即，綜上所述，直線l的方程為或.17．（15分）已知圓C的圓心C在直線上，且圓C與直線相切于.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，其中，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切先確定過且垂直于的直線也過圓心，再利用兩直線交點(diǎn)的計(jì)算求出圓心，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式計(jì)算半徑即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用圓的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)，結(jié)合圓心距計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】（1）因?yàn)閳AC與直線相切于，所以過且垂直于的直線過圓心C.易求得該直線為，又圓心C在直線上，所以，即圓心，半徑；所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由于，所以P的軌跡是以為直徑的圓（除外），所以以為直徑的圓O為：，又因?yàn)镻在圓C上，所以圓C與以為直徑的圓有公共點(diǎn)，

易知圓心距，所以，解得.18．（17分）已知三條直線：，，，且與間的距離是，(1)求的值；(2)能否找到一點(diǎn)，使同時滿足下列三個條件：①點(diǎn)在第一象限；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由【答案】(1)；(2)存在點(diǎn).【分析】（1）由兩平行線間距離公式代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）由點(diǎn)在第一象限，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式列出等式求解即可.【詳解】（1），與間的距離為，即，，；（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，由條件知，點(diǎn)在與平行的直線上，且，或，或，由條件知，，，即或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，，舍，或解得（舍），，所以存在點(diǎn)同時滿足①②③．19．（17分）已知直線與相交于點(diǎn)，且.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).（?。┳C明：直線與圓相切；（ⅱ）求面積的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)條件得到和，再結(jié)合，即可求解；（2）（i）當(dāng)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲線方程，通過消得到，從而得到，結(jié)合條件得到，再利用直線與圓的位置關(guān)系，即可求解；（ii）利用弦長公式，結(jié)合（i）中結(jié)果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得到，當(dāng)時，由，得到，又，得