專(zhuān)題25雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

x2y2y2x2

11

標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2a2b2

（a0,b0）（a0,b0）

圖形

范圍xa或xaya或ya

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)

性質(zhì)

ba

漸近線yxyx

ab

c

離心率e，e(1,)，

a

a，b，c間的關(guān)系c2a2b2

2、等軸雙曲線

x2y2

1（a0，b0）當(dāng)ab時(shí)稱(chēng)雙曲線為等軸雙曲線

a2b2

1

性質(zhì)：

①ab；

②離心率e2；

③兩漸近線互相垂直，分別為yx；

④等軸雙曲線的方程x2y2，0；

3、對(duì)雙曲線離心率的理解

x2y2

在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度．在雙曲線1(a0,b0)中，雙曲線的“張

a2b2

ca2b2b2bb

口”大小是圖象的一個(gè)重要特征．因?yàn)閑1，所以當(dāng)?shù)闹翟酱螅瑵u進(jìn)線yx

aaa2aa

的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，e也就越大，故e反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率

越大，它的“張口”越大．

【常用結(jié)論】

nx2y2

①若漸近線方程為yx，則雙曲線方程可設(shè)為(0)，

mm2n2

x2y2x2y2

②若雙曲線與1有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（0，焦點(diǎn)在x軸上，

a2b2a2b2

0，焦點(diǎn)在y軸上）

知識(shí)點(diǎn)02：直線與雙曲線的位置關(guān)系

x2y2

設(shè)直線l:ykxm，雙曲線1(a0,b0)聯(lián)立解得：

a2b2

(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20

bb

（1）m0時(shí)，k，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；

aa

bb

k，k，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；

aa

b

（2）m0時(shí)，k存在時(shí)，若b2a2k20，k，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于

a

一點(diǎn)；

若b2a2k20，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)4a2b2(m2b2a2k2)

0時(shí)，m2b2a2k20，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；

0時(shí)，m2b2a2k20，直線與雙曲線相離，沒(méi)有交點(diǎn)；

2

m2b2

0時(shí)m2b2a2k20，k2直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切

a2

當(dāng)k不存在，ama時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；ma或ma直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；

注：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與

雙曲線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)．

知識(shí)點(diǎn)03：弦長(zhǎng)公式

1、直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，k為直線斜率

222212

AB=1+kx1x21+kx1x24x1x21+y1y2

k2

12

1+y1y24y1y2

k2

知識(shí)點(diǎn)04：雙曲線中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法

x2y2b2

設(shè)M(x0,y0)為雙曲線1弦AB（AB不平行y軸）的中點(diǎn)，則有kk

a2b2ABOMa2

x2y2

11

221

y1y2ab

證明：設(shè)A(x,y)，B(x,y)，則有k，

1122AB22

x1x2xy

221

a2b2

x2x2y2y2

兩式相減得：12120

a2b2

y2y2b2(yy)(yy)b2

整理得：12，即1212，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，

2222M(x0,y0)AB

x1x2a(x1x2)(x1x2)a

y02y0y1y2

所以：kOM

x02x0x1x2

b2

所以kk

ABOMa2

3

一、解答題

1．（24-25高二上·陜西渭南·期末）已知雙曲線方程9x216y2144，寫(xiě)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算

它的焦距，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，漸近線方程以及離心率.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】由雙曲線的性質(zhì)逐一求解即可.

x2y2

【詳解】雙曲線方程9x216y2144可以化成1，

169

所以a4,b3,c42325，

4

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,0,4,0，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為5,0,5,0，

焦距為2c10，

實(shí)軸長(zhǎng)為2a8，

虛軸長(zhǎng)為2b6，

x2y233

令0，可得y=±x，即漸近線方程為y=±x，

16944

c5

離心率為e.

a4

二、單選題

x2

2．（24-25高二下·廣東揭陽(yáng)·月考）若雙曲線y21的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則m的值為（）

m21

A．3B．3C．15D．15

【答案】A

【分析】由題意可得2m214，解方程即可.

x2

【詳解】因?yàn)殡p曲線y21的實(shí)軸長(zhǎng)為4，

m21

所以2m214，解得m3.

故選：A.

x2y2x2y2

3．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）若雙曲線1的焦點(diǎn)與橢圓1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)重合，則m的

m243

值為（）

A．2B．4C．2D．4

【答案】A

【分析】利用橢圓與雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.

x2y2

【詳解】由1表示雙曲線，則m0，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為m2,0，

m2

x2y2

易知橢圓1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)即其左右頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，

43

由題意知m2,0與2,0重合，即m22m2.

故選：A

4．（24-25高二上·江蘇常州·期中）雙曲線x2my21實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)m的值為（）

11

A．B．C．2D．4

24

5

【答案】D

【分析】根據(jù)基本量的關(guān)系可求實(shí)數(shù)m的值.

y2

x21

【詳解】雙曲線方程可化為：1，其中m0，

m

1

因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，故12，故m4，

m

故選：D.

x2y2x2y2

5．（24-25高二上·云南紅河·期末）雙曲線1與雙曲線1(4k12)的（）

12412k4k

A．實(shí)軸長(zhǎng)相等B．虛軸長(zhǎng)相等

C．離心率相等D．焦距相等

【答案】D

x2y2

【分析】判斷1(4k12)是雙曲線曲線，先分別求解兩雙曲線的焦距、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、

12k4k

離心率，再判斷選項(xiàng)即可．

x2y2

【詳解】1的實(shí)軸的長(zhǎng)為43，虛半軸的長(zhǎng)為4，

124

x2y2

因?yàn)?k12，所以曲線1(4k12)是雙曲線，

12k4k

實(shí)軸的長(zhǎng)為212k，虛軸的長(zhǎng)為24k，

顯然兩條曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)與虛軸的長(zhǎng)不相等，所以A、B均不正確；

x2y2x2y2234

雙曲線1與雙曲線1(4k12)的離心率分別為：和，不相等，所以C

12412k4k312k

不正確．

x2y2x2y2

雙曲線1與雙曲線1(4k12)的焦距都為8，焦距相等，所以D正確；

12412k4k

故選：D．

三、多選題

x2y2y2x2

6．（24-25高二下·湖南·月考）已知雙曲線C:1和C:1，其中a0,b0，且ab，則

1a2b22b2a2

（）

A．C1與C2虛軸長(zhǎng)相等B．C1與C2焦距相等

C．C1與C2離心率相等D．C1與C2漸近線相同

【答案】BD

【分析】根據(jù)條件，利用雙曲線的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.

6

x2y2

【詳解】雙曲線C:1的虛軸在y軸上，虛軸長(zhǎng)為2b，

1a2b2

y2x2

雙曲線C:1的虛軸在x軸上，虛軸長(zhǎng)為2a，故A錯(cuò)誤；

2b2a2

x2y2y2x2

雙曲線C:1和C:1焦距均為2c2a2b2，故B正確；

1a2b22b2a2

22

xyca2b2

雙曲線C:1的離心率為e，

1a2b2aa

2222

雙曲線yx的離心率為cab，故錯(cuò)誤；

C2:1eC

b2a2bb

x2y2b

雙曲線C:1的漸近線為yx，

1a2b2a

y2x2b

雙曲線C:1的漸近線為yx，故D正確．

2b2a2a

故選：BD.

一、單選題

1．（23-24高二下·湖南·期中）已知雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)為0,5，則E的漸近線方程為（）

A．3x4y0B．5x4y0

C．4x5y0D．5x6y0

【答案】A

【分析】由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線方程的求法即可求解.

【詳解】由題意可得E的焦點(diǎn)為0,5，且實(shí)半軸長(zhǎng)為3，

y2x2

則虛半軸長(zhǎng)為52324，雙曲線E的方程為1，

916

所以E的漸近線方程為3x4y0.

故選：A.

x2y2

2．（24-25高二上·江蘇徐州·期中）以橢圓1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲

259

線的方程為（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．1B．1C．1D．1

2591625169916

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓方程寫(xiě)出長(zhǎng)軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和半焦距，再代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)

方程即可.

7

x2y2

【詳解】橢圓1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為5,0，5,0，焦點(diǎn)為4,0，4,0，

259

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為5,0，5,0，頂點(diǎn)為4,0，4,0，

則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c5，a4，所以b2c2a29，

x2y2

所以雙曲線的方程為1.

169

故選：C.

x2y23

3．（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知雙曲線C:1(a0,b0)的一條漸近線方程是yx，

a2b23

實(shí)軸的長(zhǎng)度為23，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

x2x2

A．y21B．y21

32

x2y2x2y2

C．1D．1

3223

【答案】A

【分析】利用給定條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線方程即可.

x2y2

【詳解】因?yàn)殡p曲線C:1(a0,b0)實(shí)軸的長(zhǎng)度為23，

a2b2

3

所以a3，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程是yx，

3

b3x2

所以，解得b1，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21，故A正確.

333

故選：A

4．（24-25高二上·四川宜賓·期中）已知等軸雙曲線過(guò)點(diǎn)2,1，則該雙曲線方程為（）

A．x2y21B．x2y25

C．x2y23D．y2x23

【答案】C

【分析】設(shè)等軸雙曲線的方程為x2y20，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出

該雙曲線的方程.

【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為x2y20，

將點(diǎn)2,1的坐標(biāo)代入等軸雙曲線的方程可得22123，

因此，該雙曲線的方程為x2y23.

故選：C.

x2y2

5．（23-24高二上·四川成都·期末）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的3倍，且與橢圓1有公共焦

95

8

點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

y2x2x2y2x2y2

A．x21B．y21C．1D．1

332662

【答案】A

【分析】利用橢圓性質(zhì)以及雙曲線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題知，橢圓焦點(diǎn)為2,0,2,0，

x2y2

設(shè)該雙曲線方程為1，半焦距為c，

a2b2

則c2，2b32a，即b3a，

又a2b2c2，解得a21，b23，

y2

所以雙曲線方程為x21.

3

故選：A

二、解答題

6．（24-25高二上·陜西西安·月考）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

5

(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M3,23；

3

1

(2)漸近線方程為yx，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3.

2

x2y2

1

【答案】(1)94

4

y2x2

(2)1

832

c

【分析】（1）由雙曲線的離心率公式e及過(guò)定點(diǎn)即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.

a

x2

（2）由漸近線方程即可將雙曲線方程設(shè)為y20，再將定點(diǎn)代入即可.

4

x2y2

【詳解】（1）設(shè)所求雙曲線方程為1a0,b0.

a2b2

b216

9

5222222a2

2cabb25b16，所以a9解得

e,e22122,4

3aaa9a99122

1b4

a2b2

x2y2

1

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為94

4

9

1x2

（2）由雙曲線的漸近線方程為yx，設(shè)雙曲線方程為y20.

24

2

22

因?yàn)锳2,3在雙曲線上，3即8，

4

y2x2

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1

832

7．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

410

(1)a4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,；

3

x2y2

(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)32,2；

164

x2

(3)與雙曲線y21有公共的漸近線，且過(guò)點(diǎn)2,2．

2

y2x2

【答案】(1)1

169

x2y2

(2)1

128

x2

(3)y21

2

【分析】（1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知條件求解即可；

（2）根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出雙曲線的方程，代入經(jīng)過(guò)的點(diǎn)計(jì)算即可；

（3）設(shè)雙曲線的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立解參數(shù)即可.

【詳解】（1）由a4，

x2y2

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1b0，

16b2

16160

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得b20，不符合題意；

159

y2x2

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1b0，

16b2

y2x2

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得b29．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1．

169

（2）法一：

x2y2

∵雙曲線1的焦點(diǎn)在x軸上，

164

x2y2

∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1a0,b0，

a2b2

∴c216420，即a2b220①

10

184

∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴．②

32,2221

ab

x2y2

由①②得a212,b28，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1．

128

法二：

x2y2

設(shè)所求雙曲線的方程為1416．

164

184

∵雙曲線過(guò)點(diǎn)32,2，∴1，

164

解得4或14（舍去）．

x2y2

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1．

128

x2

（3）設(shè)所求雙曲線的方程為y2tt0.

2

2

將點(diǎn)代入雙曲線方程得22，解得，

2,22tt1

2

x2

因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.

2

一、單選題

y2x2

1．（24-25高二下·山西·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線1(b0)的焦距為12，則該雙曲線的離心率為（）

12b2

6

A．B．2C．3D．2

2

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的焦距與標(biāo)準(zhǔn)方程，利用離心率的公式，可得答案.

y2x2

【詳解】因?yàn)殡p曲線1(b0)的焦距為12，所以2c12，解得c6，

12b2

2

又a12,a23，所以該雙曲線的離心率為3.

故選：C.

22

xy、

2．（24-25高二下·貴州六盤(pán)水·月考）設(shè)雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1F2，過(guò)F1

a2b2

△

作x軸的垂線交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則C的離心率為（）

A．2B．3C．6D．22

【答案】B

11

【分析】首先根據(jù)雙曲線方程及性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)度，再利用正三角形性質(zhì)和雙曲線定義建立關(guān)于離心率

的方程，從而求得離心率.

2b2

【詳解】由題可知：過(guò)F1作x軸的垂線交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，所以AB.

a

2

△2b

又因?yàn)锳BF2是正三角形，所以AF1F2為直角三角形且AF2F130；所以AF2AF.

21a

2b2b2b2

根據(jù)雙曲線定義可知：AF2AF12a，即2a，解得2.

aaa2

b2

所以e13.

a2

故選：B.

x2y2

3．（24-25高二下·河南商丘·月考）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)，以線段F1F2

a2b2

為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)P，若PF13PF2，則雙曲線C的離心率為（）

53

A．B．C．2D．5

42

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)P在第一象限，先根據(jù)條件求出Pa,b，再根據(jù)PF13PF2即可化簡(jiǎn)得出離心率.

b

【詳解】由題意可知，F(xiàn)c,0,Fc,0，漸近線方程為yx，

12a

因PF13PF2，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，

b

yxxa

則由a，得，即Pa,b，

222yb

xyc

22

因PF3PF，則acb29acb2，

12

c5

結(jié)合c2a2b2，得.

a4

故選：A

4．（24-25高二上·湖北武漢·期末）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)F1作

12

3

圓D的切線與C的兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，且cosFNF，則雙曲線C的離心率為（）

125

1341213

A．B．C．3D．

2313

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，確定a,b,c的關(guān)系，求雙曲線的離心率.

【詳解】如圖：

設(shè)直線MN與圓D的切點(diǎn)為A，作F2B//OA，交MN于點(diǎn)B，則OAMN.

因?yàn)镺F1c，OAa，所以AF1a.

又O為F1F2中點(diǎn)，所以BF12b，BF22a.

3

又cosFNF，MNBF，

1252

所以可設(shè)：BN3t，BF24t，NF25t.

a

由2a4tt.

2

3a5

根據(jù)雙曲線的定義：NFNF2a2ba2a2b3a.

1222

2

2222c13

所以9a4b4ca13a24c2.

a24

c13

所以e.

a2

故選：A

二、填空題

x2y2

5．（24-25高二上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知F1,F2分別為雙曲線E:1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線E

a2b2

上，F(xiàn)1F2:F2M:F1M2:3:4，則雙曲線E的離心率為．

【答案】2

【分析】由F1F2:F2M:F1M2:3:4得F1F22c,F2M3c,F1M4c，根據(jù)雙曲線的定義得c2a，結(jié)合離心

13

率的概念即可求解.

【詳解】由F1F2:F2M:F1M2:3:4，F(xiàn)1F22c，

得F2M3c,F1M4c，又2aF1MF2M4c3cc，

c

所以e2.

a

故答案為：2

x2y2

6．（24-25高二下·四川瀘州·月考）設(shè)雙曲線C:1的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M是C上的點(diǎn)，

a2b2

△

若MF1F2是等腰直角三角形，則C的離心率是．

【答案】21/12

b2

【分析】根據(jù)題意得到F1F2MF1或F1F2MF2，進(jìn)而得到2c，構(gòu)造出關(guān)于a,c的齊次式，解出答

a

案.

22

cy

【詳解】顯然，F(xiàn)1F2MF1或F1F2MF2，不妨令F1F2MF2，將xc代入雙曲線方程，1，

a2b2

b2b2

解得：y，由等腰直角三角形可得2c，則c2a22ac，方程兩邊同除以a2得：

aa

e22e10，解得：e12，因?yàn)閑1，所以離心率為21．

故答案為：21.

x2y2

7．（2025·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:1a0,b0的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)點(diǎn)F1的

a2b2

3

直線l交E的左支于A，B兩點(diǎn).OBOF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)O到直線l的距離為a，則該雙曲線的離

12

心率為．

【答案】10

2

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)、雙曲線定義，借助直角三角形列式求出離心率.

【詳解】令雙曲線E的半焦距為c，取F1B的中點(diǎn)D，連接OD，由OBOF1，

3

得ODFB，|OD|a，連接FB，由為FF的中點(diǎn)，得BF//OD，

122O122

則BF22OD3a，BF2BF1，F(xiàn)1BBF22aa，

14

222

22222

因此BF2BF1F1F2，即(3a)a(2c)，整理得5a2c，

c10

所以離心率e．

a2

故答案為：10

2

x2y2

8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知F1,F2是雙曲線1(a0,b0)的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲

a2b2

線上存在一點(diǎn)P滿足PF13PF2,OP2a，則該雙曲線的離心率為．

【答案】3

【分析】由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理求出a,c間關(guān)系，再由離心率的齊次式可得.

【詳解】

由題意可得PF1PF22PF22aPF2a，所以PF13a，

又OF1OF2c，

222222

PF2F1F2PF1a4c9a

所以在PF1F2中，cosPF2F1，

2PF2F1F22a2c

222222

PF2OF2POac2a

在POF2中，cosPF2O，

2OF2PF22ac

a2c22a2a24c29a2

所以，解得3a2c2，

2ac2a2c

c2

所以e3.

a2

故答案為：3.

15

一、單選題

x2y2

1．（24-25高二上·廣東江門(mén)·期末）設(shè)雙曲線1ab0的離心率為e，雙曲線漸近線的斜率的絕

a2b2

對(duì)值小于2，則e的取值范圍是（）

2

6666

A．,B．1,C．,3D．0,

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)離心率的公式求解即可.

2

b2b166

【詳解】由題意，故e11，故e1,.

a2a222

故選：B

x2y2π

2．（24-25高二上·天津·期末）已知雙曲線1a0,b0的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲

a2b23

線的離心率的取值范圍是（）

2323

A．1,2B．1,C．2,D．1,2,

33

【答案】D

2

bπbπcb

【分析】根據(jù)題意分0tan或tan兩種情況，結(jié)合e1求解.

a6a3aa

x2y2π

【詳解】解：因?yàn)殡p曲線1a0,b0的兩條漸近線之間的夾角小于，

a2b23

bπbπ

所以0tan或tan，

a6a3

2

b3bcb

即0<<或3，又e1，

a3aaa

23

所以e1,2,，

3

故選：D