PAGE1專題08圓錐曲線壓軸大題歸類內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)模型題型二：橫截式與豎截式型題型三：無(wú)定點(diǎn)無(wú)斜率直線型題型四：定點(diǎn)：直線過(guò)定點(diǎn)題型五：定點(diǎn)：圓過(guò)定點(diǎn)題型六：定值型題型七：面積幾種求法題型八：面積最值與范圍題型九：斜率“和”型題型十：斜率“積”型題型十一：斜率“比值”型題型十二：圓錐曲線切線型題型十三：點(diǎn)帶入型題型十四：定比分點(diǎn)轉(zhuǎn)化型題型十五：非對(duì)稱型?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01韋達(dá)定理模型?技巧積累與運(yùn)用“五個(gè)方程”（過(guò)去老高考對(duì)韋達(dá)定理型的直觀稱呼。）一直一曲倆交點(diǎn)。直線有沒(méi)有？是那種未知型的？已知過(guò)定點(diǎn)。則可設(shè)為，同時(shí)討論k不存在情況。如3.曲線方程有沒(méi)有？倆交點(diǎn)：設(shè)為4.聯(lián)立方程，消y或者消x，建立一元二次方程，同時(shí)不要忘了判別式或者得到對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理或目標(biāo)，就是把題中問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第六個(gè)關(guān)于韋達(dá)定理的方程或者不等式，代入求解1．已知直線過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn).(1)求C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于，兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.2．已知頂點(diǎn)為的拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且其傾斜角，求的值；(2)是否存在斜率為1的直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型02橫截式與豎截式型?技巧積累與運(yùn)用如果所過(guò)定點(diǎn)在x軸上，為（m，0），也可以設(shè)為，此時(shí)包含了斜率不存在的情況，但是反而不包含x軸這條直線。選擇不同直線的設(shè)法，是因?yàn)椋?.避免對(duì)k不存在情況討論，可以把k不存在的情況包含在里邊。2.兩種直線形式設(shè)法，有時(shí)候在計(jì)算中可以降低參數(shù)的計(jì)算量：如過(guò)點(diǎn)（1,0）直線，設(shè)成與代入到圓錐曲線中，明顯的后邊這種設(shè)法代入計(jì)算時(shí)要稍微簡(jiǎn)單點(diǎn)。3.如有可能，盡量把兩種設(shè)法，都同時(shí)做做，做個(gè)對(duì)比，既能看出這種設(shè)法在某些試題中的計(jì)算優(yōu)勢(shì)，又不過(guò)分拔高這種設(shè)法的效果。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.2．彗星是太陽(yáng)系大家庭里特殊的一族成員，它們以其明亮的尾巴和美麗的外觀而聞名，它的運(yùn)行軌道和行星軌道很不相同，一般為極扁的植圓形、雙曲線或拋物線．它們可以接近太陽(yáng)，但在靠近太陽(yáng)時(shí)，由于木星、土星等行星引力的微繞造成了軌道參數(shù)的偏差，使得它軌道的離心率由小于1變?yōu)榇笥诨虻扔?，這使得少數(shù)彗星會(huì)出現(xiàn)“逃逸”現(xiàn)象，終生只能接近太陽(yáng)一次，永不復(fù)返．通過(guò)演示，現(xiàn)有一顆彗星已經(jīng)“逃逸”為以太陽(yáng)為其中一個(gè)焦點(diǎn)，離心率為2的運(yùn)行軌道，且彗星距離太陽(yáng)的最近距離為1．(1)若焦點(diǎn)的位置在軸，求彗星“逃逸”軌道C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．題型03無(wú)定點(diǎn)無(wú)斜率直線型?技巧積累與運(yùn)用當(dāng)題中的直線既無(wú)斜率，又不過(guò)定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論k是否存在情況當(dāng)直線既不過(guò)定點(diǎn)，也不知斜率時(shí)，設(shè)直線，就需要引入兩個(gè)變量了。（1）（2），此時(shí)直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。（3）設(shè)“雙變量”時(shí)，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒(méi)有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)際上也沒(méi)有特別大的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。如第1題。（4）重要！雙變量設(shè)法，要清楚以下這個(gè)規(guī)律：一般情況下，試題中一定存在某個(gè)條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過(guò)定點(diǎn)的理論根據(jù)之一。1．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.(1)求的方程；(2)若，為上的兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).2．已知橢圓的方程為，其右頂點(diǎn)，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不與左、右頂點(diǎn)重合），且．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型04定點(diǎn)：直線過(guò)定點(diǎn)型?技巧積累與運(yùn)用直線過(guò)定點(diǎn)：1、直線多為y=kx+m型2.目標(biāo)多為求：m=f（k）3.一些題型，也可以直接求出對(duì)應(yīng)的m的值4直線可以設(shè)成x=ty+m型，兩種設(shè)法做對(duì)比訓(xùn)練1．已知雙曲線的離心率為2，左?右焦點(diǎn)分別是是的右支上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），是的右頂點(diǎn)，是上兩點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合）.(1)求的方程；(2)若不關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，且的中點(diǎn)為，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(3)若不關(guān)于軸對(duì)稱，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).2．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且與不重合的兩點(diǎn)，直線的斜率之積為．(1)求的方程．(2)若點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．題型05定點(diǎn)：圓過(guò)定點(diǎn)?技巧積累與運(yùn)用圓過(guò)定點(diǎn)，有常見(jiàn)幾方面的思維利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計(jì)算利用對(duì)稱性，可以猜想出定點(diǎn)，并證明。通過(guò)推導(dǎo)求出定點(diǎn)（難度較大）1．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上，直線l與C交于不同于A的兩點(diǎn)M，N.(1)求C的方程；(2)若，求面積的最大值；(3)記直線AM，AN的斜率分別為，，若，證明：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).2．已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B.(1)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，求出對(duì)應(yīng)的直線AB的方程；(3)若的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)?若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.題型06定值型?技巧積累與運(yùn)用求定值問(wèn)題常見(jiàn)的思路和方法技巧：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．求定值題型，運(yùn)算量大，運(yùn)算要求高，屬于中等以上難度的題1．已知橢圓的離心率為，其長(zhǎng)軸的左、右兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)P是橢圓上不同于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).①直線、與y軸分別交于兩點(diǎn)，求證：為定值；②直線、分別與直線交于，判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)并說(shuō)明.2．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，且為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.題型07面積幾種求法?技巧積累與運(yùn)用圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形恒過(guò)數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為(3)三角形恒過(guò)某定點(diǎn)，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為（4）四邊形面積，注意根據(jù)題中條件，直接求面積或者轉(zhuǎn)化為三角形面積求解。1．已知橢圓：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為.(1)求橢圓的離心率；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)．拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，．(1)求拋物線的方程；(2)求△的面積．題型08面積最值與范圍?技巧積累與運(yùn)用面積最值，實(shí)際上是處理最終的“函數(shù)最值”。各類型“函數(shù)式”最值規(guī)律：分式型：以下幾種求最值的基本方法一元二次型：注意自變量取值范圍高次型：整體換元或者求導(dǎo)1．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且與垂直的直線交直線于M點(diǎn)，點(diǎn)N滿足；①證明：點(diǎn)M在一條定直線上；②求四邊形面積的最小值.2．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作直線交E于兩點(diǎn)．過(guò)作垂直于直線的直線交E于兩點(diǎn)．直線與相交于點(diǎn)P．(1)若直線的斜率為1，求直線的方程．(2)求點(diǎn)P的軌跡方程．(3)求四邊形面積的取值范圍．題型09斜率“和”型?技巧積累與運(yùn)用給定橢圓，與橢圓上定點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有1．已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為是上任意一點(diǎn)，且的最大值為3．(1)求的方程；(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為，直線的方程為，若直線交于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率之和為，2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程.(2)已知及曲線上的兩點(diǎn)和，直線和直線的斜率分別為和，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn).題型10斜率“積”型1．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為(1)求橢圓C的方程；(2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).2．已知橢圓，三點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)作新直線，①求直線和直線的斜率之積；②證明：新直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).題型11斜率“比值”型?技巧積累與運(yùn)用1．設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，分別是橢圓的左右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)、為橢圓上異于的兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為M，N，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍；(3)動(dòng)點(diǎn)A在圓上，動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線C上，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，若N，A，B三點(diǎn)共線，試探索，之間的關(guān)系.題型12圓錐曲線切線型?技巧積累與運(yùn)用在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解；（2）橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切.雙曲線的以為切點(diǎn)的切線方程為拋物線的切線：（1）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線方程是：；（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線方程是：．1．在①，②過(guò)，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，且___________.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)圓D：上任意一點(diǎn)G作橢圓C的兩條切線.求證：；(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn).直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與軸交于點(diǎn)，直線AQ與軸交于點(diǎn)，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).2．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，漸近線方程為．(1)求雙曲線H的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線H左右兩支于兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，證明直線過(guò)定點(diǎn)Q；(3)過(guò)雙曲線H上任意不同的兩點(diǎn)分別作雙曲線H的切線，若兩條切線相交于點(diǎn)M，且，在第（2）的條件下，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．題型13點(diǎn)帶入型?技巧積累與運(yùn)用題型特征：1.可能不是“一直一曲”。2.可能所求的不具有交點(diǎn)的對(duì)稱性，且無(wú)法轉(zhuǎn)化1．在平面直角坐標(biāo)系中，，，曲線E上的動(dòng)點(diǎn)P滿足，直線l過(guò)D交曲線E于A、B兩點(diǎn)．(1)求曲線E的方程；(2)當(dāng)時(shí)，A在x軸上方時(shí)，求A、B的坐標(biāo)；(3)設(shè)，，P是曲線E上的任意一點(diǎn)，若，求證：動(dòng)點(diǎn)在定圓上運(yùn)動(dòng)．2．已知雙曲線：，，，，，五點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)設(shè)是上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，則是否存在定點(diǎn)，使得,若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型14定比分點(diǎn)轉(zhuǎn)化型?技巧積累與運(yùn)用若有1.利用公式，可消去參數(shù)2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根定比分點(diǎn)型，即題中向量（或者線段長(zhǎng)度滿足）可以利用公式，可消去1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，若為正三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓相交，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，直線的方程．2．已知雙曲線，直線與交于兩點(diǎn)．(1)若的方程為，求；(2)若，且，求的斜率．題型15非對(duì)稱型?技巧積累與運(yùn)用平移齊次化的步驟，（1）平移；（2）與圓錐曲線聯(lián)立并其次化；（3）同除；（4）利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明結(jié)論；如果是過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題還需要平移回去.1.已知橢圓C:x2a2+y2b2B為橢圓C的上頂點(diǎn)，為橢圓C的左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l為橢圓于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在x軸上方），M，N分別為直線與y軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，來(lái)的值．2．如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．能力培優(yōu)1．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為上三個(gè)不同的點(diǎn)，且，．(1)求的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．①若直線交圓于兩點(diǎn)，其中位于第一象限，求的最小值；②過(guò)點(diǎn)作的垂線，直線交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．2．在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，且多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線與雙曲線有相同的離心率，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)（在上方），當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.(1)求雙曲線的方程；(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積；(3)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，試判斷雙曲線在點(diǎn)處的切線是否為的等線，請(qǐng)說(shuō)明理由.【注】雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.3．已知雙曲線，第一象限中橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)在上，直線的斜率為.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作