魯教版(五四制)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章圓同步訓(xùn)練考試時(shí)間:90分鐘;命題人:數(shù)學(xué)教研組考生注意:1.本卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分100分,考試時(shí)間90分鐘2.答卷前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3.答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶,不按以上要求作答的答案無效。第I卷(選擇題30分)一、單選題(10小題,每小題3分,共計(jì)30分)1、平面內(nèi),⊙O的半徑為3,若點(diǎn)P在⊙O外,則OP的長可能為(）A.4 B.3 C.2 D.12.已知中,最長的弦長為16cm,則的半徑是()A.4cm B.8cm C.16cm D.32cm3、如圖,將⊙O的圓周分成五等分（分點(diǎn)為A、B、C、D、E）,依次隔一個(gè)分點(diǎn)相連,驚訝于圖形的奇妙,于是對(duì)圖形展開了研究,M也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn)．在以下結(jié)論中,不正確的是（）A. B. C.BN＝NM＝ME D.∠A＝36°4、如圖,將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到線段OB．若OA＝8,則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長度為（）A. B. C. D.5、“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠當(dāng)鍋蓋”,是指云南以江鞭草、山鍋蓋草、斑茅草和嫩竹篾片、篾絲編織成鍋蓋,形似斗笠,用斗笠鍋蓋做飯煮菜,透氣保溫,做出來的飯菜清香可口．如圖,斗笠鍋蓋可以近似看為一個(gè)圓錐,若一個(gè)斗笠鍋蓋的底面直徑為60cm,高度為40cm,則該斗笠鍋蓋的表面積大約為（）A.725πcm2 B.1500πcm2 C.300πcm2 D.600πcm26.若一個(gè)圓錐的底面圓的周長是6π,母線長是6,則圓錐的側(cè)面積是()A.36π B.18π C.12π D.6π7、如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,∠A＝24°,則∠B的度數(shù)為（）A.66° B.48° C.33° D.24°8.下列四個(gè)命題中,真命題是()A.相等的圓心角所對(duì)的兩條弦相等 B.三角形的內(nèi)心是到三角形三邊距離相等的點(diǎn)C.平分弦的直徑一定垂直于這條弦 D.等弧就是長度相等的弧9.用一塊弧長的扇形鐵片,做一個(gè)高為4cm的圓錐形工件側(cè)面(接縫忽略不計(jì)),那么這個(gè)扇形鐵片的面積為()A. B. C. D.10、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別與軸、軸相交于點(diǎn)、,點(diǎn)、分別是正方形的邊、上的動(dòng)點(diǎn),且,過原點(diǎn)作,垂足為,連接、,則面積的最大值為（）A. B.12 C. D.第Ⅱ卷(非選擇題70分)二、填空題(5小題,每小題4分,共計(jì)20分)1、如圖所示,ABCD是邊長為2的正方形,點(diǎn)E,F分別為邊BC,CD上動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與B,C重合,點(diǎn)F不與C,D重合）,且∠EAF＝45°,下列說法:①點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,△CEF的周長始終不變;②以A為圓心,2為半徑的圓一定與EF相切；③△AEF面積有最小值;④△CEF的面積最大值小于.其中正確的有_____.(填寫序號(hào)）2.如圖,平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn),在以為圓心,2為半徑的圓上有一點(diǎn),將點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后恰好落在軸上,則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.3.已知⊙O的半徑為5cm,OP=4cm,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在_____.(填"圓內(nèi)"、"圓外"或"圓上")4、如圖,正方形ABCD是邊長為2,點(diǎn)E、F是AD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AE=DF,連接BE、CF,BE與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G,連接DG交CF于點(diǎn)H,連接BH,則BH的最小值為_______．5.如圖,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD＝2,以CD為直徑的⊙與AB相切于點(diǎn)E.若弧DE的長為為π,則陰影部分的面積為_____.(保留π)三、解答題(5小題,每小題10分,共計(jì)50分)1、如圖,已知AB為⊙O的直徑,AC為⊙O的切線,連接CO,過B作BD∥OC交⊙O于D,連接AD交OC于G,延長AB、CD交于點(diǎn)E．(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若BE=4,DE=8,求CD的長.2、如圖,PA切于點(diǎn)A,PC交于C,D兩點(diǎn),且與直徑AB交于點(diǎn)Q．(1)求證:;(2)若,,,求線段PD的長.3、先閱讀命題及證明思路,再解答下列問題.命題：如圖1,在正方形ABCD中,已知：∠EAF＝45°,角的兩邊AE、AF分別與BC.CD相交于點(diǎn)E、F,連接EF．求證：EF＝BE+DF．證明思路:如圖2,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′.∵AB＝AD,∠BAD＝90°,∴AB與AD重合.∵∠ADC＝∠B＝90°,∴∠FDE′＝180°,點(diǎn)F、D.E′是一條直線.根據(jù)SAS,得證△AEF≌△AFE′,得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．(1)特例應(yīng)用如圖1,命題中,如果BE＝2,DF＝3,求正方形ABCD的邊長.(2)類比變式如圖3,在正方形ABCD中,已知∠EAF＝45°,角的兩邊AE.AF分別與BC.CD的延長線相交于點(diǎn)E.F,連接EF.寫出EF、BE.DF之間的關(guān)系式,并證明你的結(jié)論.(3)拓展深入如圖4,在⊙O中,AB.AD是⊙O的弦,且AB＝AD,M、N是⊙O上的兩點(diǎn),∠MAN＝∠BAD.①如圖5,連接MN、MD,求證:MH＝BM+DH,DM⊥AN;②若點(diǎn)C在（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、D、N、M重合）上,連接CB、CD分別交線段AM、AN或其延長線于點(diǎn)E、F,直接寫出EF、BE、DF之間的等式關(guān)系.4、已知：在圓O內(nèi),弦AD與弦BC交于點(diǎn)G,AD＝CB,M,N分別是CB和AD的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)MN,OG．(1)求證:OG⊥MN;(2)聯(lián)結(jié)AC,AM,CN,當(dāng)CNOG時(shí),求證:四邊形ACNM為矩形.5、△ABC為等腰三角形,AB＝AC,點(diǎn)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)若∠BAC＝120°,①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上,BD＝AD,求證:DC＝2BD;②如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外,∠ADB＝120°,AD＝2,BD＝4,連接CD,求CD的長;(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外,且∠ADB＝90°,以AD為腰作等腰三角形△ADE,∠DAE＝∠BAC,AD＝AE,直線DE交BC于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F是BC中點(diǎn)．-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出OP＞3即可.【詳解】解:∵⊙O的半徑為3,點(diǎn)P在⊙O外,∴OP＞3,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解答的關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)與圓心的距離為d,圓的半徑為r,則點(diǎn)在圓外d＞r,點(diǎn)在圓上d=r,點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r.2、B【解析】【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦即可得到答案.【詳解】解:∵中,最長的弦長為16cm,即直徑為16cm,∴的半徑是8cm,故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了圓的弦的定義及理解圓中最長的弦,正確理解直徑是圓中最長的弦是解題的關(guān)鍵.3、C【解析】【分析】由A.B.C.D.E是⊙O上的5等分點(diǎn),連接CO、OD求得∠COD＝72°根據(jù)圓周角定理得到∠CAD＝36°;連接CD.AE,得出AM＝EM,再根據(jù)黃金分割的定義和相似三角形的性質(zhì)判斷即可.【詳解】連接CO、OD、CD.AE,∵A.B.C.D.E是⊙O上的5等分點(diǎn),∴∠COD＝72°,∴∠CAD＝36°;D正確,不符合題意;同理可得,∠BEA＝∠DAE＝∠BDC＝∠ECD＝∠ADB＝36°;∴AM＝EM,∠AMN＝72°;∴AM≠M(fèi)N,C錯(cuò)誤,符合題意；∵M(jìn)也是線段NE的黃金分割點(diǎn),∴,即,A正確,不符合題意;∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝72°;∴△ADC∽△AMN,∴，同理∠ACD＝∠ADC＝72°;∴∠ACD＝∠DFC＝72°;∴DC＝DF,∴,B正確,不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、黃金分割和相似三角形,解題關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理求出角度,利用黃金分割和相似三角形解決問題.4、C【解析】【分析】根據(jù)題意可得,再根據(jù)弧長公式,即可求解.【詳解】解:根據(jù)題意得:,∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長度為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長公式,熟練掌握弧長公式為(其中為圓心角,為半徑)是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出圓錐的母線長為50cm,由于利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長,則利用扇形的面積公式計(jì)算側(cè)面展開圖得到該斗笠鍋蓋的表面積.【詳解】解:∵斗笠鍋蓋的底面直徑為60cm,∴底面圓的半徑為30cm,∴圓錐的母線長為=50(cm),∴該斗笠鍋蓋的表面積=×60π×50=1500π(cm2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長.6、B【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面面積公式求解即可.【詳解】解:S圓錐側(cè)面積=.故選擇B.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積,掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵.7、A【解析】【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°得,由三角形的內(nèi)角和為180°,即可求出.【詳解】∵AB為⊙O的直徑,∴，∴．故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理與三角形的內(nèi)角和定理,掌握直徑所對(duì)的圓周角為90°是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)及定理、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】解:A.同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的兩條弦相等,則原命題是假命題,故本選項(xiàng)不符合題意;B.三角形的內(nèi)心是到三角形三邊距離相等的點(diǎn),是真命題,故本選項(xiàng)符合題意;C、平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦,則原命題是假命題,故本選項(xiàng)不符合題意;D、等弧是能夠完全重合的弧,長度相等的弧不一定是等弧,則原命題是假命題,故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題與定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)性質(zhì)及定理、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí),難度不大.9、C【解析】【分析】結(jié)合題意,根據(jù)圓錐和圓的周長性質(zhì),可計(jì)算得高為4cm的圓錐形的底面半徑,根據(jù)圓錐和勾股定理的性質(zhì),計(jì)算得圓錐的母線長度,再根據(jù)弧長公式計(jì)算得扇形鐵片的圓心角,再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算,即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,高為4cm的圓錐形的底面半徑為:cm∴圓錐的母線長為:cm∴扇形鐵片的圓心角為:∴這個(gè)扇形鐵片的面積為:故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長、扇形面積、勾股定理的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式、扇形面積計(jì)算公式的性質(zhì),從而完成求解.10、D【解析】【分析】先證明ON=CN,再證點(diǎn)H在以O(shè)N直徑的圓上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)點(diǎn)H在QM的延長線上時(shí),點(diǎn)H到AB的距離最大,由相似三角形的性質(zhì)可求MK,KQ的長,由三角形的面積公式可求解.【詳解】解:如圖,連接AD,交EF于N,連接OC,取ON的中點(diǎn)M,連接MH,過點(diǎn)M作MQ⊥AB于Q,交AO于點(diǎn)K,作MP⊥OA與點(diǎn)P,∵直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A.B,∴點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,-3),∴OB=3,OA=4,∴，∵四邊形ACDO是正方形,∴OD//AC,AO=AC=OD=4,OC=4,∠COA=45°,∴∠EDN=∠NAF,∠DEN=∠AFN,又∵DE=AF,∴△DEN≌△AFN(ASA),∴DN=AN,EN=NF,∴點(diǎn)N是AD的中點(diǎn),即點(diǎn)N是OC的中點(diǎn),∴ON=NC=2,∵OH⊥EF,∴∠OHN=90°,∴點(diǎn)H在以O(shè)N直徑的圓上運(yùn)動(dòng),∴當(dāng)點(diǎn)H在QM的延長線上時(shí),點(diǎn)H到AB的距離最大,∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn),∴OM=MN=,∵M(jìn)P⊥OP,∠COA=45°,∴OP=MP=1,∴AP=3,∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ,∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP,又∵∠AOB=∠MPK=90°,∴△MPK∽△AOB,∴，∴，∴，∴，∵∠AKQ=∠ABO,∠OAB=∠KAQ,∴△AKQ∽△ABO,∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)H到AB的最大距離為,∴△HAB面積的最大值,故選：D.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),求出MQ的長是解題的關(guān)鍵.二、填空題1.①②#②①【解析】【分析】延長至點(diǎn),使得,連接,然后證明,從而得到的周長;由和可知以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓與相切,然后利用對(duì)稱性可得與相切;設(shè),,則,然后結(jié)合的三邊關(guān)系得到與之間的關(guān)系,進(jìn)而可以用含有的式子表示的面積和的面積,進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)的最值.【詳解】解:如圖,延長至點(diǎn),使得,連接,四邊形是正方形,，，，，，，，，，，，△，,和△關(guān)于所在直線對(duì)稱,，，的周長始終不變,故①正確,符合題意;,的半徑,,與相切,和△關(guān)于所在直線對(duì)稱,與相切,故②正確,符合題意;設(shè),,則,,,在中,,，化簡(jiǎn)得,,，，當(dāng)即時(shí),的最小值為,故③錯(cuò)誤,不符合題意;當(dāng)即時(shí),的最大值為,故④錯(cuò)誤,不符合題意;故答案為：①②#②①.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形.2、（,4）或（﹣,4）．【解析】【分析】因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)P繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后恰好落在x軸上,推出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),過點(diǎn)P作PT⊥y軸于T,連接PM.解直角三角形求出P的坐標(biāo),再根據(jù)對(duì)稱性解決問題即可.【詳解】解:如圖,∵將點(diǎn)P繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后恰好落在x軸上,點(diǎn),∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),過點(diǎn)P作PT⊥y軸于T,連接PM.∵T(0,4),M(0,3),∴OM＝3.OT＝4,∴MT＝1,∴PT＝＝＝,∴P(,4),根據(jù)對(duì)稱性可知,點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(﹣,4)也滿足條件.綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,4）或（﹣,4）.故答案為：（,4）或（﹣,4）．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn),解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題.3、圓內(nèi)【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可得.【詳解】解:∵點(diǎn)到圓心的距離d=4<5=r,∴該點(diǎn)P在內(nèi),故答案為：圓內(nèi).【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟記點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.4.##【解析】【分析】由已知可證明△ADG≌△ABG,△BAE≌△CDF,進(jìn)而可證明∠CHD=90°,得H是以CD為直徑的圓上一點(diǎn),取CD中點(diǎn)O,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得不等式,可解得BH長度的最小值.【詳解】解：∵ABCD是正方形,∴△ADG≌△ABG,∴∠ADG=∠ABG∵AB=DC,AE=DF,∠BAE=∠CDF∴△BAE≌△CDF∴∠ABE=∠DCF∴∠ADG=∠DCF,∵∠CDH+∠ADG=90°∴∠CDH+∠DCF=90°∴∠CHD=90°,∴點(diǎn)H是以CD為直徑的⊙O上一點(diǎn).當(dāng)B.H、O共線時(shí),BH最小OB=,∴BH的最小值為-1,故答案為：-1.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,關(guān)鍵是證點(diǎn)H是以CD為直徑的圓上一點(diǎn).5、【解析】【分析】連接OE,首先由弧長公式求得∠EOD＝60°;然后利用△BEO的性質(zhì)得到線段OB的長度,易得AC與BC的長度;最后根據(jù)S陰影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE解答.【詳解】解:如圖,連接OE,∵以CD為直徑的⊙與AB相切于點(diǎn)E,∴OE⊥BE.設(shè)∠EOD＝n°,∵OD＝CD＝1,弧DE的長為π,∴＝π.∴∠EOD＝60°.∴∠B＝30°,∠COE＝120°.∴OB＝2OE＝2,BE＝,AB＝2AC,∵AC＝AE,∴AC＝BE＝.∴S陰影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE＝××3﹣﹣×1×＝﹣.故答案是：﹣.【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì),弧長的計(jì)算和扇形面積的計(jì)算,若出現(xiàn)圓的切線,必連過切點(diǎn)的半徑,構(gòu)造定理圖,得出垂直關(guān)系.簡(jiǎn)記作:見切點(diǎn),連半徑,見垂直.三、解答題1.(1)證明見解析;(2)12.【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角的定義可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知,再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得,從而可得,進(jìn)而運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)設(shè)⊙O半徑為r,在中,利用勾股定理得,解得,再根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行求解即可．(1)如圖所示,連接OD,AB為⊙O的直徑,，，，又，，在和中,，，，AC為⊙O的切線,，，CD為⊙O的切線;(2)⊙O半徑為r,則在中,,解得，，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理,勾股定理及切線的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形得到三角形的全等關(guān)系,與此同時(shí)需要利用平行線的性質(zhì).2.(1)證明見解析(2)線段PD的長為7.【解析】【分析】(1)連接AC,由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ABC=∠ADC,再由∠BQC=∠DQA,可證△BQC∽△DQA,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證;（2）由切線性質(zhì)得到∠BAP=∠BAD+∠PAD=90°,由直徑所對(duì)的圓周角為90°,得∠ABD+∠BAD=90°,∠PAD=∠ABD=∠ACD,從而△PDA∽△PAC,由相似三角形的性質(zhì)得到AP2=PD·PC,即AP2=PD·（PD+5）在Rt△APQ中,由勾股定理得P2+AQ2=PQ2,即可求解.(1)證明:連接AC∵∠ABC和∠ADC所對(duì)的圓弧都為,∴∠ABC=∠ADC,∵∠BQC=∠DQA,∴△BQC∽△DQA,∴，∴(2)解:由(1)知:,且,,,∴AQ=4,∵PA切于點(diǎn)A,∴∠BAP=∠BAD+∠PAD=90°,∵AB為直徑,∴∠BDA=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∴∠PAD=∠ABD=∠ACD,∵∠P=∠P,∴△PDA∽△PAC,∴,即AP2=PD·PC,即AP2=PD·(PD+5)在Rt△APQ中,AP2+AQ2=PQ2,∴PD·(PD+5)+42=(PD+3)2,解得：PD=7,即線段PD的長為7.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形判定和性質(zhì)等,解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形.3.(1)6(2)EF＝BE﹣DF,證明見解析(3)①證明見解析;②EF＝BE+DF或EF＝DF﹣BE【解析】【分析】(1)設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則有CE＝x﹣2,CF＝x﹣3.由材料可知:EF＝BE+DF＝5,在Rt△CEF中,用勾股定理計(jì)算求解即可.(2)如圖3,在BC上取一點(diǎn)F′,使得BF′＝DF.連接AF′,證明△ABF′≌△ADF(SAS),證明△F′AE≌△FAE(SAS),進(jìn)而可說明EF＝F′E＝BE﹣BF′＝BE﹣DF.（3）①如圖5,延長MD到點(diǎn)M′,使得DM′＝BM,連接AM′,證明△ABM≌△ADM′（SAS）,可知AM＝AM′,∠BAM＝∠DAM′,∠MAN＝∠BAD＝∠MAM′,得∠MAN＝∠M′AN,可知MH＝M′H,AH⊥MM′;②Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí),如圖6,在CB的延長線上取,連接,證明,有,證明,有,進(jìn)而說明；Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí),如圖7,在CD的延長線上取,連接,同理可證,,有,,進(jìn)而說明；Ⅲ．當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí),如圖8,在上取,由,可知,證明,,,有,證明,有,進(jìn)而說明．(1)解:設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則有CE＝x﹣2,CF＝x﹣3由材料可知:EF＝BE+DF＝2+3＝5在Rt△CEF中,∵∠C＝90°∴CE2+CF2＝EF2∴(x﹣2)2+(x﹣3)2＝52.解得:x1＝6,x2＝﹣1(舍去)∴正方形ABCD的邊長為6.(2)EF＝BE﹣DF.解：理由如下：如圖3,在BC上取一點(diǎn)F′,使得BF′＝DF．連接AF′∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝AD,∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°∴∠ADF＝90°＝∠B在△ABF′和△ADF中∵∴△ABF′≌△ADF(SAS)∴AF′＝AF,∠BAF′＝∠DAF∴∠F′AF＝∠BAD＝90°∵∠EAF＝45°∴∠F′AE＝45°＝∠FAE在△F′AE和△FAE中∵∴△F′AE≌△FAE(SAS)∴F′E＝FE∴EF＝F′E＝BE﹣BF′＝BE﹣DF∴．(3)解:①證明:如圖5,延長MD到點(diǎn)M′,使得DM′＝BM,連接AM′.∵∠ADM′+∠ADM＝180°,∠ABM+∠ADM＝180°∴∠ABM＝∠ADM′在△ABM和△ADM′中∵∴△ABM≌△ADM′(SAS)∴AM＝AM′,∠BAM＝∠DAM′∴∠MAM′＝∠BAD∴∠MAN＝∠BAD＝∠MAM′∴∠MAN＝∠M′AN∵AM＝AM′,∠MAN＝∠M′AN∴MH＝M′H,AH⊥MM′∴MH＝M′H＝DM′+DH＝BM+DH,DM⊥AN.②Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí),如圖6,在CB的延長線上取,連接在和中∵∴∴在和中∵∴∴∴∴．Ⅱ.當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí),如圖7,在CD的延長線上取,連接同理可證,∴，∴∴．Ⅲ.當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí),如圖8,在上取∵∴在和中∵∴∴，∴在和中∵∴∴∴∴．綜上所述,EF、BE.DF之間的等式關(guān)系為或.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,三角形全等,圓周角,圓內(nèi)接四邊形的角度等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于證明三角形全等.4.(1)證明過程見詳解.(2)證明過程見詳解.【解析】【分析】(1)如圖,連接OM,ON,OB,OD.利用全等三角形的性質(zhì)證明OM=ON,GM=GN,可得結(jié)論;（2）證明AG=CG=GM=GN,可得結(jié)論．(1)證明:如圖,連接OM,ON,OB,OD.∵M(jìn),N分別是CB和AD的中點(diǎn)∴OM⊥CB,ON⊥AD,∵AD=BC,∴BM=DN,在Rt△OMB和Rt△OND中,，∴Rt△OMB≌Rt△OND(HL),∴OM=ON,在Rt△OMG和Rt△ONG中,∴Rt△OMG≌Rt△ONG(HL),∴GM=GN,∵OM=ON,∴OG⊥MN;(2)證明:∵OG⊥MN,CN∥OG,∴CN⊥MN,∴∠MNC=90°,∵GM=GN,∴∠GMN=∠GNM,∵∠GMN+∠GCN=90°,∠GNM+∠GNC=90°,∴∠GCN=∠GNC,∴GC=GN,∵CM=CB,AN=AD,BC=AD,∴CM=AN,∴AG=CG,∴AG=GN=CG=GM,∴四邊形AMNC是平行四邊形,∵AN=CM,∴四邊形AMNC是矩形.【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理,全等三角形