湖南省學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，則A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|1<x≤3}

2.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，則a2+b2的最小值是（）

A.0

B.1

C.2

D.1/2

3.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

4.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=3，a?=9，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.a?=3n

B.a?=3n-2

C.a?=3n+2

D.a?=6n

5.若sinα=1/2，且α為銳角，則cosα的值為（）

A.√3/2

B.1/2

C.√2/2

D.-√3/2

6.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的長(zhǎng)度為（）

A.√2

B.2√2

C.√5

D.3

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

8.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)是（）

A.-1

B.0

C.1

D.3

9.若圓心為C(1,1)，半徑為2的圓與直線y=x相交，則圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.無數(shù)個(gè)

10.已知某校學(xué)生身高（單位：cm）服從正態(tài)分布N(170,σ2)，若該校身高在160cm以下的學(xué)生占20%，則該校身高在180cm以上的學(xué)生大約占（）

A.20%

B.30%

C.40%

D.50%

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x2

B.f(x)=sinx

C.f(x)=x3

D.f(x)=ex

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若a>0，則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)的圖像開口向上

B.函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,-b2/4a+c)

C.當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞

D.函數(shù)的最小值為-b2/4a+c

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則√a>√b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a2>b2，則a>b

4.已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件中能判定四邊形ABCD為平行四邊形的有（）

A.OA=OC，OB=OD

B.AB∥CD，AD∥BC

C.AB=CD，AD=BC

D.ABCD是矩形

5.下列說法中，正確的有（）

A.樣本頻率分布直方圖中的矩形的高表示對(duì)應(yīng)組的頻率

B.在抽樣調(diào)查中，樣本容量越大，樣本的代表性越好

C.若事件A與事件B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)

D.若事件A與事件B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知直線l的方程為3x+4y-12=0，則直線l的斜率k=________。

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q=________。

3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,4)，則sinα=________。

4.若函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)，則其最小正周期T=________。

5.從一副完整的撲克牌（去掉大小王）中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2cos2θ+3sinθ-1=0(0≤θ<2π)

3.在△ABC中，已知A=60°，a=5，b=7，求角B的大小及邊c的長(zhǎng)度。

4.求函數(shù)f(x)=x-2ln(x+1)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+2n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.B

3.B

4.A

5.A

6.C

7.A

8.C

9.C

10.A

解題過程：

1.A∩B表示既屬于A又屬于B的元素構(gòu)成的集合。根據(jù)A和B的定義，A∩B={x|1<x<3}∩{x|x≥2}={x|2≤x<3}，故選B。

2.利用恒等式(a+b)2=a2+b2+2ab，得到a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab。要使a2+b2最小，需要ab最大。由于a+b=1，ab的最大值在a=b=1/2時(shí)取得，此時(shí)a2+b2=1-2(1/2)2=1-1/2=1/2。但題目要求的是最小值，因此需要重新考慮。實(shí)際上，ab的最大值是在a=b=1/2時(shí)取得，此時(shí)a2+b2=1-2(1/2)2=1-1/2=1/2。但是，這與選項(xiàng)不符。重新審視題目，發(fā)現(xiàn)a+b=1，則(a-b)2=a2+b2-2ab=1。由于a2+b2≥2ab，所以a2+b2=1當(dāng)且僅當(dāng)ab=0。但ab=0時(shí)，a和b中至少有一個(gè)為0，這與a+b=1矛盾。因此，a2+b2的最小值不是1/2。需要重新考慮?？紤]使用基本不等式a2+b2≥2ab。由于a+b=1，所以(1/2)2+(1/2)2=1/4+1/4=1/2。因此，a2+b2的最小值為1。故選B。

3.函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則x-1>0，即x>1。所以定義域?yàn)?1,+∞)，故選B。

4.設(shè)等差數(shù)列的公差為d。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a?=a?+4d。將a?=3，a?=9代入，得到9=3+4d，解得d=3/2。所以通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d=3+(n-1)3/2=3n/2-3/2+3=3n/2+3/2=3n。故選A。

5.由于α為銳角，且sinα=1/2，所以α=π/6。因此，cosα=√(1-sin2α)=√(1-(1/2)2)=√(1-1/4)=√3/2。故選A。

6.線段AB的長(zhǎng)度為√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。故選B。

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的情況有3種（2，4，6），總情況數(shù)為6種。所以概率為3/6=1/2。故選A。

8.f'(x)=3x2-3。將x=1代入，得到f'(1)=3(1)2-3=3-3=0。故選B。

9.圓心C(1,1)到直線y=x的距離為d=|1-1|/√(12+12)=0/√2=0。由于半徑為2，且距離小于半徑，所以直線與圓相交于兩點(diǎn)。故選C。

10.正態(tài)分布N(170,σ2)的對(duì)稱軸為x=170。根據(jù)3σ原則，大約68%的數(shù)據(jù)落在(170-σ,170+σ)范圍內(nèi)，95%的數(shù)據(jù)落在(170-2σ,170+2σ)范圍內(nèi)，99.7%的數(shù)據(jù)落在(170-3σ,170+3σ)范圍內(nèi)。題目中身高在160cm以下的學(xué)生占20%，即大約在(170-2σ,170+2σ)范圍之外的數(shù)據(jù)占20%，所以(170-2σ)=160，解得σ=5。因此，身高在180cm以上的學(xué)生大約占20%。故選A。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.B,C

2.A,B,C,D

3.C,D

4.A,B,C

5.A,B,C,D

解題過程：

1.奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。f(x)=sinx是奇函數(shù)，因?yàn)閟in(-x)=-sinx。f(x)=x3也是奇函數(shù)，因?yàn)?-x)3=-x3。f(x)=x2是偶函數(shù)，因?yàn)?-x)2=x2。f(x)=ex不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。故選B,C。

2.a>0時(shí)，二次函數(shù)圖像開口向上。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,-Δ/4a)，其中Δ=b2-4ac。f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期為T=π。故選A,B,C,D。

3.a>b時(shí)，若a和b都為正數(shù)，則a2>b2；若a和b都為負(fù)數(shù)，則a2<b2。所以A不一定正確。a>b時(shí)，若a和b都為正數(shù)，則√a>√b；若a和b都為負(fù)數(shù)，則無意義。所以B不一定正確。a>b時(shí)，若a和b都為正數(shù)，則1/a<1/b；若a和b都為負(fù)數(shù)，則1/a>1/b。所以C正確。a2>b2時(shí)，若a和b都為正數(shù)，則a>b；若a和b都為負(fù)數(shù)，則a<b。所以D不一定正確。故選C,D。

4.對(duì)角線互相平分是平行四邊形的性質(zhì)。一組對(duì)邊平行且相等也是平行四邊形的性質(zhì)。鄰邊相等是菱形的性質(zhì)，菱形是平行四邊形的一種。故選A,B,C。

5.樣本頻率分布直方圖中的矩形的高表示對(duì)應(yīng)組的頻率密度，即頻率/組距。故A正確。樣本容量越大，樣本的代表性越好，這是大數(shù)定律的體現(xiàn)。故B正確。若事件A與事件B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)。故C正確。若事件A與事件B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)。故D正確。故選A,B,C,D。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-3/4

2.3

3.4/5

4.π

5.1/4

解題過程：

1.直線l的方程為3x+4y-12=0，即4y=-3x+12，即y=-3/4x+3。斜率k=-3/4。

2.設(shè)等比數(shù)列的公比為q。根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，a?=a?q2。將a?=6，a?=54代入，得到54=6q2，解得q2=9，q=±3。由于等比數(shù)列的公比通常取正數(shù)，所以q=3。

3.設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r。根據(jù)勾股定理，r=√((-3)2+42)=√(9+16)=√25=5。sinα=對(duì)邊/斜邊=4/5。

4.函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的周期為T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.一副完整的撲克牌有52張，其中紅桃有13張。所以抽到紅桃的概率是13/52=1/4。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2(2)+4=4+4+4=12

2.2cos2θ+3sinθ-1=0。由于cos2θ=1-sin2θ，所以2(1-sin2θ)+3sinθ-1=0，即-2sin2θ+3sinθ+1=0，即2sin2θ-3sinθ-1=0。令sinθ=t，得到2t2-3t-1=0。解得t=(3±√(9+8))/4=(3±√17)/4。由于0≤θ<2π，所以sinθ∈[-1,1]。t=(3+√17)/4>1，舍去。t=(3-√17)/4∈[-1,1]。所以sinθ=(3-√17)/4。θ=arcsin((3-√17)/4)或θ=π-arcsin((3-√17)/4)。

3.根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB。將A=60°，a=5，b=7代入，得到5/sin60°=7/sinB，即5/(√3/2)=7/sinB，即sinB=7√3/10。所以B=arcsin(7√3/10)或B=180°-arcsin(7√3/10)。由于a<b，所以B>A，所以B=arcsin(7√3/10)。根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bc*cosA。將A=60°，a=5，b=7代入，得到25=49+c2-2*7*c*cos60°，即25=49+c2-7c，即c2-7c+24=0。解得c=3或c=8。由于a<b，所以c<b，所以c=3。

4.f'(x)=1-2/(x+1)。令f'(x)=0，得到1-2/(x+1)=0，即2/(x+1)=1，即x+1=2，x=1。f'(x)的符號(hào)表：

x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)

f'(x)-+-

f(x)↘↗↘

極值無極小值極大值f(1)無極大值

最值-∞最大值1+∞

所以最大值為f(1)=1-2ln(1+1)=1-2ln2，最小值為f(0)=0-2ln(0+1)=0。

5.當(dāng)n=1時(shí)，a?=S?=12+2*1=3。當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=n2+2n-[（n-1）2+2(n-1)]=2n+1。所以a?=2n+1。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)：

1.集合與函數(shù)：集合的運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集），函數(shù)的概念、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，函數(shù)的圖像變換。

2.數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的遞推關(guān)系。

3.三角函數(shù)：任意角的概念、弧度制，三角函數(shù)的定義（sin,cos,tan,cot,sec,csc），同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，和差角公式，倍角公式，解三角形（正弦定理、余弦定理）。

4.解析幾何：直線方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式），兩條直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交），點(diǎn)到直線的距離，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，直線與圓的位置關(guān)系。

5.概率與統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)事件、樣本空間，事件的運(yùn)算（并、交、補(bǔ)），古典概型，幾何概型，統(tǒng)計(jì)初步（頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、頻率分布曲線），抽樣方法，用樣本估計(jì)總體。

6.微積分初步：函數(shù)的極限，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值）。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、定理的掌握程度，以及簡(jiǎn)單的計(jì)算能力和推理能力。例如，考察函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)定義和性質(zhì)；考察三角函數(shù)的值，需要學(xué)生熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值和誘導(dǎo)公式；考察數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要學(xué)生掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。

2.多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面掌握程度，以及排除法的運(yùn)用能力。例如，考察奇函數(shù)的定義，需要學(xué)生知道奇函數(shù)的定義是f(-x)=-f(x)，并能排除偶函數(shù)和既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)的選項(xiàng)。

3.填空題：主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶能力和簡(jiǎn)單的計(jì)算能力。例如，求直線的斜率，需要