專題11數(shù)列（選填題）14種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差數(shù)列（5年5考）考點01等差數(shù)列定義的判斷2023·新課標Ⅰ卷1.數(shù)列選填題的命題呈現(xiàn)出注重基礎、強調(diào)綜合等趨勢，具體如下：基礎考查為主：等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量計算是重點考查內(nèi)容。這類題目主要考查學生對數(shù)列通項公式、前n項和公式等基礎知識的掌握程度。2.性質應用常考：數(shù)列的性質也是命題熱點之一，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質均有涉及，通過對性質的考查，檢驗學生對數(shù)列特征的理解和靈活運用能力。3.綜合程度提高：數(shù)列與其他知識的綜合考查逐漸增多，這種命題方式要求學生具備較強的知識整合能力，能夠將數(shù)列知識與函數(shù)、不等式等其他知識相結合，解決綜合性問題。考點02等差數(shù)列基本量的計算2021·上?？键c03等差數(shù)列前n項和基本量的計算2025·全國二卷2025·上海2024·新課標Ⅱ卷2023·全國甲卷2022·上海2022·全國乙卷考點04等差數(shù)列性質的應用2024·全國甲卷2021·北京知識2等比數(shù)列（5年4考）考點05等比數(shù)列基本量的計算2023·全國乙卷考點06等比數(shù)列前n項和基本量的計算2025·全國一卷2025·全國二卷2023·全國甲卷2023·上海2022·全國乙卷考點07等比數(shù)列前n項和的性質2023·新課標Ⅱ卷2021·全國甲卷考點08等差、等比數(shù)列的綜合2025·北京2023·北京知識3數(shù)列性質、通項與求和（5年4考）考點09數(shù)列的性質2023·北京2022·全國乙卷2022·北京2021·全國甲卷考點10由遞推公式求數(shù)列通項2025·天津2023·天津2022·北京2022·浙江考點11數(shù)列求和2021·新高考全國Ⅰ卷2021·北京2021·浙江知識4數(shù)列綜合應用（5年5考）考點12數(shù)列與其他知識的綜合2025·上海2024·上海2024·全國甲卷2024·北京2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江考點13數(shù)列的極限2021·上?？键c14數(shù)列新定義2024·北京2021·新高考全國Ⅱ卷考點01等差數(shù)列定義的判斷1．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件考點02等差數(shù)列基本量的計算2．（2021·上海·高考真題）等差數(shù)列中，，則.考點03等差數(shù)列前n項和基本量的計算3．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項和，若，則中不同的數(shù)值有個.4．（2025·全國二卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．156．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知等差數(shù)列的首項，公差，則該數(shù)列的前6項和為．7．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.8．（2022·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．考點04等差數(shù)列性質的應用9．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．10．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．11．（2021·北京·高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160考點05等比數(shù)列基本量的計算12．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.考點06等比數(shù)列前n項和基本量的計算13．（2023·全國甲卷·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．4014．（2022·全國乙卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．315．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為.16．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，求；17．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．18．（2025·全國二卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（

）A． B．C． D．考點07等比數(shù)列前n項和的性質19．（2021·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．1020．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．考點08等差、等比數(shù)列的綜合21．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．1822．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．考點09數(shù)列的性質23．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立24．（2022·全國乙卷·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．25．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件26．（2021·全國甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件考點10由遞推公式求數(shù)列通項27．（2025·天津·高考真題），則數(shù)列的前項和為（

）A．112 B．48 C．80 D．6428．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．16229．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．30．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．B． C． D．考點11數(shù)列求和31．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折次，那么.32．（2021·北京·高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．1233．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．考點12數(shù)列與其他知識的綜合34．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個35．（2024·全國甲卷·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．36．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．37．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線38．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.939．（2024·上?！じ呖颊骖}）無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．40．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．考點13數(shù)列的極限41．（2021·上海·高考真題）在無窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是考點14數(shù)列新定義42．【多選】（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）設正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．43．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結論的序號是.

專題11數(shù)列（選填題）14種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差數(shù)列（5年5考）考點01等差數(shù)列定義的判斷2023·新課標Ⅰ卷1.數(shù)列選填題的命題呈現(xiàn)出注重基礎、強調(diào)綜合等趨勢，具體如下：基礎考查為主：等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量計算是重點考查內(nèi)容。這類題目主要考查學生對數(shù)列通項公式、前n項和公式等基礎知識的掌握程度。2.性質應用?？迹簲?shù)列的性質也是命題熱點之一，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質均有涉及，通過對性質的考查，檢驗學生對數(shù)列特征的理解和靈活運用能力。3.綜合程度提高：數(shù)列與其他知識的綜合考查逐漸增多，這種命題方式要求學生具備較強的知識整合能力，能夠將數(shù)列知識與函數(shù)、不等式等其他知識相結合，解決綜合性問題。考點02等差數(shù)列基本量的計算2021·上?？键c03等差數(shù)列前n項和基本量的計算2025·全國二卷2025·上海2024·新課標Ⅱ卷2023·全國甲卷2022·上海2022·全國乙卷考點04等差數(shù)列性質的應用2024·全國甲卷2021·北京知識2等比數(shù)列（5年4考）考點05等比數(shù)列基本量的計算2023·全國乙卷考點06等比數(shù)列前n項和基本量的計算2025·全國一卷2025·全國二卷2023·全國甲卷2023·上海2022·全國乙卷考點07等比數(shù)列前n項和的性質2023·新課標Ⅱ卷2021·全國甲卷考點08等差、等比數(shù)列的綜合2025·北京2023·北京知識3數(shù)列性質、通項與求和（5年4考）考點09數(shù)列的性質2023·北京2022·全國乙卷2022·北京2021·全國甲卷考點10由遞推公式求數(shù)列通項2025·天津2023·天津2022·北京2022·浙江考點11數(shù)列求和2021·新高考全國Ⅰ卷2021·北京2021·浙江知識4數(shù)列綜合應用（5年5考）考點12數(shù)列與其他知識的綜合2025·上海2024·上海2024·全國甲卷2024·北京2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江考點13數(shù)列的極限2021·上海考點14數(shù)列新定義2024·北京2021·新高考全國Ⅱ卷考點01等差數(shù)列定義的判斷1．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C考點02等差數(shù)列基本量的計算2．（2021·上?！じ呖颊骖}）等差數(shù)列中，，則.【答案】【分析】直接代入等差數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.考點03等差數(shù)列前n項和基本量的計算3．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項和，若，則中不同的數(shù)值有個.【答案】98【分析】由等差數(shù)前項和公式求出，從而，由此能求出結果．【詳解】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項均不相等，，1，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．4．（2025·全國二卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結合題意列出關于首項和公差d的方程求出首項和公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可計算求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以.故選：B.5．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.6．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知等差數(shù)列的首項，公差，則該數(shù)列的前6項和為．【答案】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.故答案為：7．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.8．（2022·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．【答案】2【分析】轉化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.考點04等差數(shù)列性質的應用9．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D10．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結合等差中項的性質可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.11．（2021·北京·高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【分析】設等差數(shù)列公差為，求得，得到，結合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.考點05等比數(shù)列基本量的計算12．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.考點06等比數(shù)列前n項和基本量的計算13．（2023·全國甲卷·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.14．（2022·全國乙卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.15．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為.【答案】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質得到關于的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設的公比為，當時，，即，則，顯然不成立，舍去；當時，則，兩式相除得，即，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：.法二：設該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設的公比為，所以，，所以，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法三：設該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設的公比為，因為，又，所以，所以，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.16．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，求；【答案】189【分析】由等比數(shù)列前項和公式求解，【詳解】由題意得，故答案為：189.17．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當時，因為，所以，即，即，即，解得.故答案為：18．（2025·全國二卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式得到方程組，解出，再利用其通項公式和前項和公式一一計算分析即可.【詳解】對A，由題意得，結合，解得或（舍去），故A正確；對B，則，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，，則，故D正確；故選：AD.考點07等比數(shù)列前n項和的性質19．（2021·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.20．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質求解．【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．考點08等差、等比數(shù)列的綜合21．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．18【答案】C【分析】由等比中項的性質結合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.22．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．【答案】48384【分析】方法一：根據(jù)題意結合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳解】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，且，所以；又因為，則；空2：設后7項公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.考點09數(shù)列的性質23．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質，故可判斷B的正誤.法2：構造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳解】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關系成立；設當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是根據(jù)首項給出與通項性質相關的相應的命題，再根據(jù)所得命題結合放縮法得到通項所滿足的不等式關系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.24．（2022·全國乙卷·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.25．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.26．（2021·全國甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．考點10由遞推公式求數(shù)列通項27．（2025·天津·高考真題），則數(shù)列的前項和為（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【分析】先由題設結合求出數(shù)列的通項公式，再結合數(shù)列各項正負情況即可求解.【詳解】因為，所以當時，，當時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，令，，設數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和為.故選：C28．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當時，，所以，即，當時，，所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.29．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.30．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.

考點11數(shù)列求和31．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折次，那么.【答案】5【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.32．（2021·北京·高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，，所以.對于，，取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．33．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當時，則，當且僅當時等號成立，，由累乘法可得，且，則，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．考點12數(shù)列與其他知識的綜合34．（2025·上海·高考真題）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關系可得的不等關系，結合函數(shù)零點解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設，三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.35．（2024·全國甲卷·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】結合等差數(shù)列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，，此時.

故選：C36．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B37．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)，屬于中等題.38．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為