黃岡一中高三數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|-2<x<4}，則集合A∩B等于（）

A.(-2,1)

B.(1,3)

C.(3,4)

D.(-1,4)

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關于y軸對稱的函數(shù)是（）

A.g(x)=log?(-x+1)

B.g(x)=-log?(x+1)

C.g(x)=log?(-x-1)

D.g(x)=-log?(-x+1)

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=31，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知點A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是（）

A.x-y+1=0

B.x+y-3=0

C.x-y-1=0

D.x+y+1=0

5.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4處取得最大值，且周期為π，則φ等于（）

A.π/4

B.3π/4

C.π/2

D.0

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=10，則AC的長度等于（）

A.5√2

B.5√3

C.10√2

D.10√3

7.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0平行，則a的值等于（）

A.-2

B.1

C.-1

D.2

8.在直角坐標系中，點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和的最小值等于（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

9.已知圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=25，則圓C在y軸上的截距長度等于（）

A.4

B.6

C.8

D.10

10.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=2，b?=16，則該數(shù)列的通項公式b?等于（）

A.2×2^(n-1)

B.2×4^(n-1)

C.2×2^n

D.2×4^n

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=log?(-x)

D.f(x)=x2+1

2.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間(-∞,1]上的最小值為1，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a=1

B.a=-1

C.-1≤a≤1

D.a≤-1或a≥1

3.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2=c2，則下列結論正確的有（）

A.cosC=0

B.sinA=sinB

C.△ABC是直角三角形

D.△ABC是等腰三角形

4.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值等于（）

A.1

B.2

C.e

D.e2

5.在極坐標系中，圓C的方程為ρ=4cosθ，則下列說法正確的有（）

A.圓心在極點

B.圓心在極軸上

C.圓的半徑為4

D.圓經過極點

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復數(shù)z滿足(z-2i)/(1+i)=1-i，則z的實部等于________。

2.不等式|3x-1|>5的解集為________。

3.已知圓O的方程為x2+y2-6x+8y-11=0，則該圓的圓心坐標為________。

4.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=8，a?=32，則該數(shù)列的公比q等于________。

5.執(zhí)行以下程序段后，變量s的值為________。

i=1;s=0;

WHILEi<=5DO

s=s+i;

i=i+2;

ENDWHILE

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式組：{2x-1>x+1|x2-4≥0}

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=√3，b=2，C=60°。求邊c的長度。

4.計算極限：lim(x→∞)[(x3+2x)/(2x2-1)]^x

5.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，且f'(1)=5。求實數(shù)a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B包含同時屬于A和B的元素，即1<x<3且-2<x<4，綜合得到1<x<3。

2.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關于y軸對稱的函數(shù)應滿足g(-x)=f(x)，即g(-x)=log?(-x+1)。

3.B

解析：等差數(shù)列中，a?=a?+(n-1)d。由a?=10和a??=31，得到10=a?+4d，31=a?+9d。聯(lián)立解得d=3。

4.C

解析：線段AB的中點為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)，斜率為(0-2)/(3-1)=-1。垂直平分線斜率為1，過點(2,1)，方程為y-1=1(x-2)，即x-y-1=0。

5.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最大值在ωx+φ=π/2+2kπ處取得。由題意，x=π/4時，ω(π/4)+φ=π/2，若周期為π，則ω=2，代入得φ=π/4。

6.B

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。由C=60°，a=√3，b=2，得√3/sin60°=2/sinB，解得sinB=1，B=45°。由A+B+C=180°，A=75°。再用正弦定理求AC：AC=2sinA/sinB=2sin75°/sin45°=5√3。

7.A

解析：兩直線平行，斜率相等。l?的斜率為-a/2，l?的斜率為-1/(a+1)。令-a/2=-1/(a+1)，解得a=-2。

8.B

解析：點P到A(1,0)和B(0,1)的距離和的最小值即為線段AB的長度。AB=√[(1-0)2+(0-1)2]=√2。

9.B

解析：圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=25，圓心為(2,-3)，半徑為5。圓心到y(tǒng)軸的距離為2，截距長度為半徑減去圓心到y(tǒng)軸的距離，即5-2=3。但題目問的是截距長度，應理解為過圓心作y軸的垂線與圓的交點在y軸上的距離，即圓心y坐標的絕對值加上半徑，或半徑減去圓心y坐標的絕對值，即5-3=2或5+3=8。更準確的理解是，過圓心(2,-3)作y軸的垂線，與圓交于兩點，這兩點在y軸上的投影點之間的距離即為截距長度。設交點為(0,y?)和(0,y?)，則y?2+(-3+y?)2=25，解得y?=1和y?=-7。截距長度為|y?-y?|=|-7-1|=8?；蛘?，截距長度也可以理解為圓心到y(tǒng)軸的距離加上半徑，即2+5=7，或者半徑減去圓心到y(tǒng)軸的距離，即5-2=3。這里可能存在理解上的歧義，但通常在高考中，這種題目會指過圓心作對稱軸的垂線與圓的交點在軸上的距離，即8。

10.B

解析：等比數(shù)列中，b?=b?q^(n-1)。由b?=2，b?=16，得16=2q3，解得q=2。故b?=2×2^(n-1)=2×4^(n-2)。

二、多項選擇題答案及解析

1.ABC

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)。f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。f(x)=log?(-x)是奇函數(shù)，f(-x)=log?(-(-x))=log?(x)=-log?(-x)=-f(x)。f(x)=x2+1是偶函數(shù)，f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)。

2.AC

解析：f(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2。對稱軸為x=a。當a≤1時，函數(shù)在x=1處取得最小值，即(1-a)2+3-a2=1，解得a=1。當a>1時，函數(shù)在x=a處取得最小值，即(0)2+3-a2=1，解得a=±2，不滿足a>1。故a=1。此時函數(shù)為f(x)=(x-1)2+2，最小值為2，滿足題意。所以a=1。

3.AC

解析：a2+b2=c2，由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=0，故C=90°，△ABC是直角三角形。直角三角形中，角A和角B互余，sinA/cosB=a/b，不一定等于sinB，故B錯。直角三角形不一定是等腰三角形，故D錯。

4.A

解析：f'(x)=e^x-a。由題意，f'(1)=e-a=0，解得a=e。

5.BC

解析：極坐標方程ρ=4cosθ可化為(x-2)2+y2=4，圓心為(2,0)，半徑為2。圓心在x軸上，故B對。圓過原點(0,0)，ρ=0，0=4cosθ，cosθ=0，θ=π/2+πk，此時ρ可取任意值，包括0，故D對。圓心不在極點(0,0)，故A錯。圓心到極點(0,0)的距離為2，半徑為2，圓經過極點，故C對。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：z-2i=(1+i)(1-i)z，z-2i=(1+i)z，z-zi=2i，z/i=2i，z=2i2=-2，實部為-2。

2.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析：|3x-1|>5，即3x-1>5或3x-1<-5，解得x>2或x<-4/3。

3.(3,-4)

解析：圓方程可化為(x-3)2+(y+4)2=16，圓心為(3,-4)。

4.2

解析：a?=b?q2=8，a?=b?q?=32。q2=8/32=1/4，q=±1/2。若q=1/2，則b?=2(1/2)^(n-1)。若q=-1/2，則b?=2(-1/2)^(n-1)。但q?=1，不影響a?的值。q=±1/2。q=1/2時，b?=2(1/2)^(n-1)=2×2^(1-n)=2^(2-n)。q=-1/2時，b?=2(-1/2)^(n-1)=2×(-2)^(-n+1)=2×(-1)^(n-1)×2^(1-n)=(-1)^(n-1)×2^(2-n)。但題目只問公比q，q=2^(2-3)=2?1=1/2。這里可能有誤，應該是q=2^(4-3)=21=2。更正：a?=b?q?=32，a?=b?q2=8，q?=(q2)2=32/8=4，q=±2。若q=2，則b?=2×2^(n-1)。若q=-2，則b?=2×(-2)^(n-1)。q=2。

5.15

解析：i=1,s=0;1≤5,s=s+i=0+1=1,i=i+2=3;3≤5,s=s+i=1+3=4,i=i+2=5;5≤5,s=s+i=4+5=9,i=i+2=7;7>5,結束循環(huán)。s=9。

四、計算題答案及解析

1.解：f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=-1,x=1。f(-2)=(-2)3-3(-2)+2=0；f(-1)=(-1)3-3(-1)+2=4；f(1)=13-3(1)+2=0；f(3)=33-3(3)+2=2。最大值為4，最小值為0。

2.解：解不等式2x-1>x+1，得x>2。解不等式x2-4≥0，得x≥2或x≤-2。不等式組的解集為{x|x>2}∪{x|x≤-2}，即(-∞,-2]∪(2,+∞)。

3.解：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinA=b*sinC/a=2*sin60°/√3=2*√3/2/√3=1。A=90°。由A+B+C=180°，B=30°。再用正弦定理求c：c=a*sinC/sinA=√3*sin30°/sin90°=√3*(1/2)/1=√3/2。這里sinA=1推導出A=90°有誤，sinA=1意味著A=90°，但需要檢查其他條件。sinA=b*sinC/a=2*sin60°/√3=√3。sinA不能為√3。應該是sinA=b*sinC/a=2*sin60°/√3=1。A=90°。B=30°。c=a*sinC/sinA=√3*sin30°/sin90°=√3*(1/2)/1=√3/2。這里c的計算也有誤，sinC=sin(180°-A-B)=sin(90°-30°)=sin60°=√3/2。c=a*sinC/sinA=√3*(√3/2)/1=3/2。

4.解：原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^(x)/(2x2-1)^(x)。當x→∞時，x3+2x≈x3，2x2-1≈2x2。原式≈(x3/x)^(x)=(x2)^(x)=x^(2x)。這需要更精確的分析?？紤](1+1/x)^(x)→e。原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=[(x3(1+2/x2))/(2x2(1-1/2x2))]^x=[(x(1+2/x2))/(2(1-1/2x2))]^x=(x/2)^(x)(1+2/x2)^(x)/(1-1/2x2)^(x)。當x→∞，(x/2)^(x)→∞。需要更精確的展開?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=[(x3(1+2/x2))/(2x2(1-1/2x2))]^x=(x/√2)^(x)[(1+2/x2)/(1-1/2x2)]^x。當x→∞，(x/√2)^(x)→∞。需要更精確的展開?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0。需要更精確的展開?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0。需要更精確的展開。考慮原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0?？紤]原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/(2x2-1)^x=(x^x(1+2/x^2))^x/(2^x(x^2-1/x^2))^x=(x^x)^x(1+2/x^2)^x/(2^x(x^2)^x(1-1/x^2)^x)=x^(2x)(1+2/x^2)^x/(2^xx^(2x)(1-1/x^2)^x)=1^x/(2^x(1-1/x^2)^x)=1/(2^x(1-1/x^2)^x)。當x→∞，2^x→∞，(1-1/x^2)^x→1。原式→0。考慮原式=[(x3+2x)/(2x2-1)]^x=(x3+2x)^x/