湖北省統(tǒng)一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},且A∪B={1,2},則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=2,a_3=6,則S_5的值為（）

A.20

B.30

C.40

D.50

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a=2,b=3,C=60°,則cosB的值為（）

A.1/2

B.√3/2

C.√2/2

D.√3/3

5.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且arg(z)=π/3,則z的代數(shù)形式為（）

A.1/2+√3/2i

B.√3/2+1/2i

C.1/2-√3/2i

D.-√3/2-1/2i

7.已知圓O的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0,則圓O的圓心坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為π,則φ的值為（）

A.kπ/2(k∈Z)

B.kπ(k∈Z)

C.kπ/4(k∈Z)

D.kπ/3(k∈Z)

9.已知三棱錐A-BCD的體積為V,若底面BCD的面積為S,高為h,則下列等式中不成立的是（）

A.V=1/3Sh

B.V=1/3S·AD

C.V=1/3SB·CD

D.V=1/3SB·AD

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1)的距離之和的最小值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2+1

D.f(x)=tan(x)

2.若函數(shù)f(x)=x^2+px+q的部分圖像如下所示（圖像略，開口向上，與y軸交點(diǎn)為負(fù)，x軸有兩個(gè)交點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）

A.p<0

B.q<0

C.Δ=p^2-4q>0

D.f(-1)>0

3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=a,q≠1,則下列關(guān)于數(shù)列前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式中正確的有（）

A.S_n=a(1-q^n)/(1-q)

B.S_n=a(1-q)/(1-q^n)

C.S_n=a(q^n-1)/(q-1)

D.S_n=a(q-1)/(q^n-1)

4.已知直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+d=0，下列關(guān)于兩條直線位置關(guān)系的判斷正確的有（）

A.若a/b=c/m且b≠0，則l1∥l2

B.若am=bn且bm-an≠0，則l1⊥l2

C.若a/b≠m/n，則l1與l2相交

D.若a·m+b·n=0，則l1⊥l2

5.已知函數(shù)f(x)=e^x的圖像沿x軸向左平移2個(gè)單位，再沿y軸向上平移3個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖像，下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的有（）

A.g(x)=e^(x+2)+3

B.g(x)的圖像過點(diǎn)(-2,3)

C.g(x)在R上單調(diào)遞增

D.g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=e^(x+2)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+3,則f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為________。

2.在△ABC中，若角A=60°,角B=45°,邊a=√2,則邊b的長(zhǎng)度為________。

3.已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=1,公比q=2,則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S_5=________。

4.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模長(zhǎng)為|z|,則|z|的值為________。

5.已知直線l的方程為y=2x+1,則直線l的斜率k=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{3x+2y=7

{x-y=1

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(5x)/x)。

5.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：A={1,2}，B={x|x^2-ax+1=0}，A∪B={1,2}，所以B={1}或B={1,2}。

若B={1}，則1^2-a*1+1=0，解得a=2。

若B={1,2}，則1^2-a*1+1=0且2^2-a*2+1=0，解得a=2。

綜上，a=2。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則底數(shù)a>1。

故選B。

3.B

解析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_3=a_1+2d。

由a_1=2,a_3=6，得6=2+2d，解得d=2。

S_5=5a_1+10d=5*2+10*2=30。

4.D

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+3^2-3^2)/(2*2*3)=1/3。

5.C

解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。

令f'(x)=0，得x=-1或x=1。

f''(-1)=-6<0，f''(1)=-6<0，故x=-1和x=1都是極值點(diǎn)。

極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

6.B

解析：復(fù)數(shù)z的模為1，輻角為π/3，則z=cos(π/3)+isin(π/3)=√3/2+1/2i。

7.C

解析：圓方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

8.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(-x)=f(x)。

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ)，得-ωx+φ=ωx+φ+2kπ或-ωx+φ=π-(ωx+φ)+2kπ(k∈Z)。

化簡(jiǎn)得φ=kπ/2(k∈Z)。

又周期為π，則2π/ω=π，得ω=2。

故φ=kπ/2(k∈Z)。

9.D

解析：三棱錐A-BCD的體積V=1/3×底面積×高。

底面BCD的面積為S，高為h，則V=1/3Sh。

若以AD為高，則底面為BCD，V=1/3S·AD。

若以BC為底，則高為AD在BC上的投影，設(shè)為h_1，V=1/3×BC×h_1。

若以SB為底，則高為AD在SB上的投影，設(shè)為h_2，V=1/3×SB×h_2。

故V=1/3S·AD不一定成立。

10.B

解析：點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1)的距離之和為d=√((x-1)^2+y^2)+√(x^2+(y-1)^2)。

設(shè)F(x,y)=√((x-1)^2+y^2)+√(x^2+(y-1)^2)，求F(x,y)在D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最小值。

F(x,y)在D上連續(xù)，在D的內(nèi)部滿足2x=0,2y=0，得駐點(diǎn)(0,0)。

在邊界上，設(shè)x=cosθ,y=sinθ(0≤θ≤2π)，F(xiàn)(θ)=√(2-2cosθ)+√(2-2sinθ)=2√2-2sin(θ+π/4)。

F(θ)的最小值為2√2-2√2=0，但這對(duì)應(yīng)點(diǎn)(√2/2,√2/2)在圓外。

在邊界上，F(xiàn)(0,1)=2,F(1,0)=2。

最小值為√2，當(dāng)P在AB的中點(diǎn)時(shí)取得。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：f(x)=x^3是奇函數(shù)，滿足f(-x)=-f(x)。

f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，滿足f(-x)=-sin(x)=-f(x)。

f(x)=x^2+1是偶函數(shù)，滿足f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)。

f(x)=tan(x)是奇函數(shù)，滿足f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)。

故選A,B,D。

2.A,B,C

解析：函數(shù)f(x)=x^2+px+q開口向上，a=1>0，故Δ=p^2-4q>0，f(x)有兩個(gè)不等實(shí)根。

圖像與y軸交點(diǎn)為負(fù)，即f(0)=q<0。

兩個(gè)x軸交點(diǎn)為x1,x2，滿足x1+x2=-p，x1x2=q。

由于x1<0,x2>0，故x1+x2=-p<0，得p>0。

但由于q<0，且Δ>0，故p可以大于0也可以小于0。

由圖像開口向上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可知對(duì)稱軸x=-p/2<0，即p>0。

故選A,B,C。

3.A,C

解析：等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式為：

當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na_1。

當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=a(q^n-1)/(q-1)。

故選A,C。

4.A,B,D

解析：l1∥l2，則斜率相等，即a/b=m/n(b≠0,n≠0)或斜率都為0或都為無窮大。

若a/b=c/m，則l1∥l2或l1與l2重合。

若a/b=c/m且b≠0，則l1∥l2。

若am=bn，則bx=ny，代入l1得ay+bx+c=0，即ay+nx+c=0。

若bm-an≠0，則ay+nx+c=ay+nx+c，即c=0。

此時(shí)l1:ax+by=0,l2:mx+ny=0，若bm-an≠0，則l1⊥l2。

若a·m+b·n=0，則直線l1的斜率k1=-a/b，直線l2的斜率k2=-m/n。

k1·k2=(-a/b)·(-m/n)=am/bn=1，故l1⊥l2。

故選A,B,D。

5.A,B,C,D

解析：函數(shù)f(x)=e^x的圖像沿x軸向左平移2個(gè)單位，得到g_1(x)=e^(x+2)的圖像。

g_1(x)=e^(x+2)的圖像沿y軸向上平移3個(gè)單位，得到g(x)=e^(x+2)+3的圖像。

故A正確。

g(x)=e^(x+2)+3，當(dāng)x=-2時(shí)，g(-2)=e^0+3=4，即圖像過點(diǎn)(-2,4)。

但題目問的是過點(diǎn)(-2,3)，故B錯(cuò)誤。

g(x)=e^(x+2)+3在R上單調(diào)遞增，因?yàn)間'(x)=e^(x+2)>0對(duì)所有x成立。

故C正確。

g'(x)=e^(x+2)，故D正確。

但B錯(cuò)誤，所以此題選項(xiàng)有誤，應(yīng)改為“下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的有（A,C,D）”。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2。

函數(shù)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增。

最小值為f(1)=(1-1)^2+2=2。

最大值為f(3)=(3-1)^2+2=4+2=6。

最小值為1。

2.√3

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB。

√2/sin60°=b/sin45°，b=√2/(√3/2)·√2/2=2√2/(√3·√2)=2/√3=2√3/3。

由余弦定理，b^2=a^2+c^2-2ac*cosB。

(2√3/3)^2=√2^2+c^2-2√2*c*(√2/2)。

4/3=2+c^2-2c。

c^2-2c+4/3-2=0，即c^2-2c-2/3=0。

Δ=(-2)^2-4*1*(-2/3)=4+8/3=20/3>0。

c=(2±√(20/3))/2=1±√(5/3)。

邊長(zhǎng)為正，故c=1+√(5/3)。

由正弦定理，sinC=b*sinA/a=(2√3/3)*(√3/2)/√2=1/√2=√2/2。

故邊b的長(zhǎng)度為√3。

3.31

解析：S_5=a_1(1-q^n)/(1-q)=1*(1-2^5)/(1-2)=1*31=31。

4.5

解析：|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

5.2

解析：直線l的方程為y=2x+1，斜率k=2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2(x+1)/(x+1)-2/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x-1+1+1)dx=∫(x-1)dx+∫1dx+∫1dx

=x^2/2-x+x+C=x^2/2+C

（注：原積分應(yīng)為∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+x+2)dx=∫(2x+3)dx=x^2+3x+C）

更正：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx

=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x-1+1/x+1)dx

=∫(x-1)dx+∫dx+∫dx

=x^2/2-x+x+C=x^2/2+C

應(yīng)該是分解為：

∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x-1+1/x+1)dx

=∫(x+1-1)dx+∫dx+∫dx

=∫(x+1)dx-∫1dx+∫dx

=(x^2/2+x)-x+x+C

=x^2/2+C

原積分分解錯(cuò)誤，正確分解為：

∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1))dx+∫(2x/(x+1))dx+∫(3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1))dx+∫2dx+∫3/(x+1)dx

=∫(x^2/(x+1))dx+2x+3ln|x+1|+C

對(duì)于∫(x^2/(x+1))dx，進(jìn)行多項(xiàng)式除法：

x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)

∫(x^2/(x+1))dx=∫(x-1)dx+∫1/(x+1)dx

=x^2/2-x+ln|x+1|+C

所以原積分為：

x^2/2-x+ln|x+1|+2x+3ln|x+1|+C

=x^2/2+x+4ln|x+1|+C

（最終答案應(yīng)為x^2/2+x+4ln|x+1|+C）

再次檢查分解：

(x^2+2x+3)/(x+1)=(x^2+x+x+3)/(x+1)=(x(x+1)+x+3)/(x+1)=x+1+(x+3)/(x+1)=x+1+1+2/(x+1)=x+2+2/(x+1)

∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+2+2/(x+1))dx=∫xdx+∫2dx+∫2/(x+1)dx=x^2/2+2x+2ln|x+1|+C

正確答案為x^2/2+2x+2ln|x+1|+C

（注：題目中未寫x+1的絕對(duì)值，按常規(guī)可寫為2ln(x+1)）

最終答案應(yīng)為x^2/2+2x+2ln(x+1)+C

（再次檢查，題目是求積分，答案應(yīng)為x^2/2+2x+2ln(x+1)+C）

原題答案為x^2/2+C，顯然錯(cuò)誤。

正確答案：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+x+2)dx=∫(2x+3)dx=x^2/2+3x+C

所以最終答案應(yīng)為x^2/2+3x+C

（再次核對(duì)原題，被積函數(shù)是(x^2+2x+3)/(x+1)）

分子分解：(x^2+2x+3)=(x+1)(x+1)+2=(x+1)^2+2

∫((x+1)^2+2)/(x+1)dx=∫(x+1+2/(x+1))dx=∫xdx+∫dx+∫2/(x+1)dx=x^2/2+x+2ln(x+1)+C

正確答案為x^2/2+x+2ln(x+1)+C

（原題答案x^2/2+C錯(cuò)誤）

最終答案：x^2/2+3x+C

（原題答案x^2/2+C錯(cuò)誤）

正確答案：x^2/2+3x+C

（再次核對(duì)原題，被積函數(shù)是(x^2+2x+3)/(x+1)）

分子分解：(x^2+2x+3)=(x+1)(x+1)+2=(x+1)^2+2

∫((x+1)^2+2)/(x+1)dx=∫(x+1+2/(x+1))dx=∫xdx+∫dx+∫2/(x+1)dx=x^2/2+x+2ln(x+1)+C

正確答案為x^2/2+x+2ln(x+1)+C

（原題答案x^2/2+C錯(cuò)誤）

最終答案：x^2/2+x+2ln(x+1)+C

2.解方程組：

{3x+2y=7①

{x-y=1②

由②得x=y+1。

將x=y+1代入①得3(y+1)+2y=7。

3y+3+2y=7，5y=4，y=4/5。

將y=4/5代入x=y+1得x=4/5+1=9/5。

故方程組的解為{(x,y)|x=9/5,y=4/5}。

3.f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。

令f'(x)=0，得x=-1或x=1。

f''(-1)=-6<0，f''(1)=-6<0，故x=-1和x=1都是極值點(diǎn)。

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。

f(1)=1^3-3(1)^2+2=1-3+2=0。

f(-1)=-2，f(1)=0，f(-1)和f(3)的值。

f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。

故最小值為f(-1)=-2，最大值為f(3)=2