第04講三角形的內(nèi)角內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角和】1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°.如圖，在中，．注意：三角形內(nèi)角和定理適用于所有三角形，三角形最多有三個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角，最多有一個(gè)直角.2.三角形的內(nèi)角和定理證明：主要運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中到一個(gè)頂點(diǎn)處,合并成一個(gè)角,再說明這個(gè)角是平角即可.【知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的性質(zhì)及判定】1.性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示,直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.2.判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.【題型1與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算】【例1】如圖，在△ABC中，AD，AE分別為BC邊上的高線和∠BAC的角平分線，DF⊥AE于點(diǎn)F，當(dāng)∠ADF=69°，∠C=65°時(shí)，∠B的度數(shù)為（

）A．21° B．23° C．25° D．30°【變式1-1】在△ABC中，∠A=12∠B=13∠ACB，CD是△ABC的高，CE【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠ACB=68°，∠1=∠2．若P為△ABC的角平分線BP，CP的交點(diǎn)，則∠BPC=；若P為【變式1-3】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分線，AD，CE交于F點(diǎn)，當(dāng)∠BAC＝80°，∠B＝40°時(shí)，求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度數(shù)．【題型2三角板中的角度計(jì)算】【例2】如圖，一把直尺的邊緣AB經(jīng)過一塊三角板DCB的直角頂點(diǎn)B，交斜邊CD于點(diǎn)A，直尺的邊緣EF分別交CD，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若∠D=60°，∠ABC=15°，則∠1的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．50° D．55°【變式2-1】?jī)蓚€(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠ABC=∠BDE=90°，∠A=45°，∠E=30°，若C是DE上一點(diǎn)且AC∥BD，則∠ABE的大小為（A．50° B．60° C．75° D．80°【變式2-2】如圖，將一副三角板放置在一組平行線內(nèi)，其中∠AED=45°，下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠1=25° B．∠2=50° C．∠3=35° D．∠4=75°【變式2-3】如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于．【題型3與方向角有關(guān)的角度計(jì)算】【例3】某哨兵在燈塔A處觀察到船只B在燈塔的北偏西38°方向上，船只C在燈塔的北偏東22°方向上，船只B上的人觀察到船只C在他的南偏東78°方向上，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【變式3-1】如圖，一艘輪船由海平面上A地出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，已知輪船先沿正東方向行駛了100海里到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向行進(jìn)，恰能到達(dá)目的地C，那么，B、C兩地相距海里．【變式3-2】如圖，點(diǎn)B在點(diǎn)A的西南方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的南偏東15°方向，點(diǎn)C在B的北偏東80°方向，則∠ACB=．

【變式3-3】如圖，是A，B，C三個(gè)便民核酸采樣點(diǎn)和小亮家（點(diǎn)D）的平面圖，已知A，B，C三點(diǎn)在同一條東西方向的路段上，D在A的北偏東50°方向，在C的北偏西20°方向，且點(diǎn)B到A，D兩點(diǎn)的距離相等，試求出從小亮家（點(diǎn)D）觀測(cè)檢測(cè)點(diǎn)B，C兩處的視角∠BDC的度數(shù)．【題型4與方向角有關(guān)的角度計(jì)算】【例4】如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2=80°，則∠BPC的度數(shù)是（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式4-1】如圖，在三角形紙片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外的點(diǎn)C′處．若∠2=25°，則∠1的度數(shù)為（

A．115° B．100° C．105° D．95°【變式4-2】如圖，M，N分別是△ABC的邊AB，AC上一點(diǎn)，將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上，若∠1+∠2+∠3+∠4=235°，則∠A=（

）A．35° B．45° C．65° D．55°【變式4-3】如圖，△ABC中∠A=30°，E是AC邊上的點(diǎn)，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后△ABE的AB邊交AC于點(diǎn)D，又將△BCD沿著BD翻折，C點(diǎn)恰好落在BE上，此時(shí)∠CDB=84°，則△ABC中∠ABC=．【題型5直角三角形的判定】【例5】在下列條件中不能判定△ABC為直角三角形的是（

）A．∠A=90°?∠C B．∠A=∠B?∠CC．∠A=2∠B=3∠C D．∠A=∠B=【變式5-1】如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，下列條件能判定DE⊥AC的是（

）A．∠ABE=∠CBE B．∠CBE=∠BEDC．∠ADE=∠BEC D．∠ABE=∠DEB【變式5-2】如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)M，且∠DCM=∠MAE，求證△ACE是直角三角形．【變式5-3】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，且∠CAD=∠CBD，求證：△ABD

【題型6直角三角形的性質(zhì)】【例6】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，交AC邊上的高BE于點(diǎn)F，若∠C=α，則∠BFD=（

A．α B．α+22.5° C．α2+22.5° 【變式6-1】如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．(1)求證：∠ACD=∠B；(2)若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF=∠CFE．【變式6-2】如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求證：AD⊥AC；（2）探求∠BAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式6-3】直角三角形ABC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，BE為△BCD的高線，(1)求證：∠CAD+∠CBE=∠CDB；(2)如圖（2）：AF⊥CD交直線CD于F，G為EF上一點(diǎn)，BK⊥AG交直線AG于點(diǎn)K，AK交BE于點(diǎn)H，若∠CAB=∠CBA=∠AGF，請(qǐng)你在不添加任何輔助線，直接寫出與∠DAF相等的角（不包括∠DAF）1．在下列條件：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=5:3:2，③∠A=90°?∠B，④∠A=2∠B=3∠C，⑤∠A=∠B=12∠C；⑥∠A=A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)2．如圖，在△ABC中，∠BAC=70°,∠B=40°,AD為邊BC上的高，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠AFE的大小為（

）A．55° B．65° C．75° D．56°3．如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為（

）A．110° B．120° C．130° D．140°4．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（

）A．105° B．75° C．60° D．45°5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O為∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，連接OA,?OB,?OC，作△AOB的一條角平分線AD．若∠BAC=α，則A．90°+34α B．120°+12α6．在一個(gè)直角三角形中，已知一個(gè)銳角比另一個(gè)銳角的4倍多15°，則較小銳角的度數(shù)為．7．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA、OC分別平分∠BAC、∠BCA，∠B=64°，則∠O=．8．如圖，巡邏艇C在游輪A北偏東60°的方向上，巡邏艇C在游輪B北偏東15°的方向上，游輪B位于游輪A的正東方向，則∠ACB的度數(shù)為°．9．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=58°，D，E分別在BC，AC上，將△CDE沿DE折疊得到△FDE，且EF∥CB，則∠DEF10．在△ABC中，∠B=40°，若從頂點(diǎn)A作高線AD和角平分線AE，AD與AE的夾角為5°，則∠C的度數(shù)為°．11．如圖，CE⊥AD，垂足為E．∠A=∠C．求證：△ABD是直角三角形

12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．(1)若∠C=70°，∠B=30°，求∠DAE的度數(shù)；(2)若∠C?∠B=20°，求∠DAE的度數(shù)．13．在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱為“三倍角三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為100°,60°,20°的三角形是“三倍角三角形”．(1)在△ABC中，∠A=25°,∠B=80°，△ABC是“三倍角三角形”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．(2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠A=24°，求△ABC中最小內(nèi)角的度數(shù)．14．已知，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC，垂足為E，CF∥(1)如圖①，∠B=30°，∠ACB=70°，求(2)若（1）中的∠B=α，∠ACB=β，α<β則∠CFE=；