第14講等腰三角形

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

【知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)】

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）．

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”）．

如圖，在ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，則BD=CD.

在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD?！唷鰽BD≌△ACD（SSS），

∴∠B=∠C。這樣就證明了“等邊對(duì)等角”.

由△ABD≌△ACD，還可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，從而AD⊥BC.這也就證明了等腰三角形ABC

底邊上的中線AD平分頂角∠A并垂直于底邊BC.用類似的方法，還可以證明等腰三角形頂角的平分線平分

底邊并且垂直于底邊，底邊上的高平分頂角并且平分底邊，這也就證明了等腰三角形“三線合一”.

【知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的判定】

1.定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）．

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．

【知識(shí)點(diǎn)3作一個(gè)等腰三角形】

尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，底邊上高的長(zhǎng)為h（如圖），求作這個(gè)等腰三角形.

作法：如圖（2）

①作線段AB=a；②作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點(diǎn)D；③在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h；

④連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形.

【題型1利用等邊對(duì)等角直接求角度】

【例1】如圖，在等腰中，，是的角平分線．若，則的度數(shù)為（）

△?????=????△???∠???=40°∠???

A．B．C．D．

【變式17-10】°如圖，中7，5°，105，°將折疊，使1得25點(diǎn)°B與點(diǎn)A重合，折痕交

于D，交于E，△若???∠，?則??>的∠度?數(shù)∠為?=70°．△???????

????=??∠?

【變式1-2】如圖，在中，為上一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．

△????????=??=????=??∠?

【變式1-3】如圖，在中，，是角平分線，是高，，，求和

的度數(shù)．△?????>????????=??∠???=10°∠???∠?

【題型2方程思想求角度】

【例2】如圖，在中，，P為內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交，于點(diǎn)M，N，

若M在的垂直△平?分??線上，∠N??在?=的54垂°直平分△線?上??，則的度數(shù)為（）??????

????∠???

A．B．C．D．

【變式21-10】4°如圖，在1中06，°、分別垂直1平17分°和，垂足為M13，6°N．且分別交于點(diǎn)D，E．若

，則△的??度?數(shù)為?（?）????????

∠???=40°∠???

A．B．C．D．

【變式21-20】0°如圖，中1，05°，垂1直10平°分，垂直平分120°，則的度數(shù)為．

△???∠???=67°????????∠???

【變式2-3】如圖，在中，、分別為、邊上的點(diǎn)，，．若，

則的度數(shù)為△．???????????=????=??=??∠???=130°

∠?

【題型3分類討論思想求角度】

【例3】等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）

A．B．或C．50°或D．

40°40°130°40°140°140°

【變式3-1】已知是的高，，，則的度數(shù)為．

【變式3-2】?中?，△???，邊?的?=垂?直?平分∠?線??=交5直0°線∠于?點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，若，則

的度數(shù)為△???．??=????????????=??∠???

【變式3-3】如圖，，點(diǎn)A在上，垂直平分分別交、于點(diǎn)B、C．點(diǎn)D在射線

上，不與點(diǎn)O、B重∠?合?，?當(dāng)=32°是等腰?三?角形時(shí)??，求?的?度數(shù)．??????

△???∠???

【題型4“三線合一”的應(yīng)用】

【例4】如圖，在中，點(diǎn)、在邊上，，．求證：．

△?????????=????=????=??

【變式4-1】如圖，已知：，，．求度數(shù)．

1

∠1=∠2??=????=2??∠???

【變式4-2】如圖，在中，，D、E、F分別在三邊上，且，，G為的中

點(diǎn)．△?????=????=????=????

(1)若，求的度數(shù)；

(2)求證∠?：=40垂°直平∠分???．

【變式4-3】??如圖，在??中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為底邊向上作等腰，使

得，交Rt△于?點(diǎn)??．∠???=90°?????△???

∠???=∠??????

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若∠?=20°，求證∠?：．

【題型?5?=確?定?等腰三角?形?的=個(gè)2數(shù)??】

【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得是等腰三角形，這

樣的點(diǎn)C可以找到的個(gè)數(shù)是（）?2,0?0,1△???

A．3B．5C．6D．8

【變式5-1】如圖的正方形網(wǎng)格中，像點(diǎn)、點(diǎn)這樣網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以為邊的等腰三角形

的三個(gè)頂點(diǎn)都屬于格點(diǎn)，這樣的等腰三角?形的?個(gè)數(shù)（）?????

A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)

【變式51-20】如圖，直線8相交形成的夾角中，銳6角為，交點(diǎn)為，點(diǎn)4在直線上，直線上存在點(diǎn)，

使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三?,角?形是等腰三角形，這樣的點(diǎn)52有°（）?????

?,?,??

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式5-3】如圖，已知中，，，，若過(guò)的頂點(diǎn)的一條直線將分

割成兩個(gè)三角形，使其中△有??一?個(gè)邊長(zhǎng)??為=66的等??腰=三1角0形?，?則=這14樣的直線△最?多??可畫(huà)（）△???

A．2條B．3條C．4條D．5條

【題型6尺規(guī)作等腰三角形】

【例6】如圖，已知，線段．用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）

∠??

(1)作出一個(gè)等腰三角形，使其底角，底邊長(zhǎng)；

(2)作出一個(gè)等腰三角形???，使其底角=∠?，底邊上=的高?．

【變式6-1】如圖，在??中?，=，點(diǎn)∠?在邊上．請(qǐng)用=尺?規(guī)作圖法，在內(nèi)求作一點(diǎn)，使

．（保留作圖痕跡△，??不?寫(xiě)作∠法?）=40°??△????∠???=

70°

【變式6-2】如圖，為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)，在直線上，已知為銳角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在直線上求

作一點(diǎn)，使得??，（保留?作?圖痕跡，?不寫(xiě)作法∠）????

?∠???=2∠???

【變式6-3】線段和C、D兩點(diǎn)的位置如圖所示，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在線段上作一點(diǎn)B，連接、、，

使得是以??為底邊的等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）????????

△?????

【題型7等腰三角形的判定與性質(zhì)】

【例7】如圖，已知點(diǎn)，分別是的邊和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作的平分線，若．

??△???????∠???????∥??

(1)求證：是等腰三角形；

(2)作△的?平??分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．

【變式∠7?-?1?】如圖，在??中?，∠?=，50點(diǎn)°D為∠??的?中點(diǎn)，連接，的垂直平分線EF交于點(diǎn)E，

交于點(diǎn)O，交于△點(diǎn)?F?，?連接??=，??．????????

????????

(1)求證：為等腰三角形；

(2)若△???，求的度數(shù)．

【變式∠7?-?2】?已=知20如°圖∠???中，，平分，平分，過(guò)作直線平行于，

交，于，．△?????=6cm??=8cm??∠?????∠??????

??????

(1)求證：是等腰三角形；

(2)求△的??周?長(zhǎng)．

【變式△7?-3?】?如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，邊的垂直平分線交，，于點(diǎn)，，

，連接、．△?????=???????????????

?????

(1)求證：為等腰三角形；

(2)若△???，求的度數(shù)．

∠???=25°∠???

【題型8等腰三角形與全等三角形的綜合】

【例8】如圖，和是等腰直角三角形，，，垂足為F．

△???△???∠???=∠???=90°??⊥??

(1)求證：；

(2)判斷∠和???的=位∠置??關(guān)?系，并說(shuō)明理由；

(3)求證：????．

【變式8-1】??如=圖2?1，?+??和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A、D、E在同一直線

上，連接．△???△???∠???=∠???=90°

??

(1)①求證：；

②求的?度?數(shù)=；??

(2)如∠圖??2?，若為中邊上的高，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．

【變式8-2】【?常?見(jiàn)類△型?】??????=4??=3????

（1）如圖1，已知：，且．求證：．

【變式拓展】??=??∠???=∠?????=??

（2）某同學(xué)改變（1）中的條件和圖形，提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．

如圖2，是等腰直角三角形，，，為中點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

于點(diǎn)△．?????=??∠???=90°?????⊥???????⊥

?求?證：?；．

①??=??②??=2??

【變式8-3】在等腰直角中，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)B作射線的垂線，垂足為點(diǎn)E．

△???∠???=90°????

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作射線的垂線，垂足為點(diǎn)F，求證：；

(2)在射線上取點(diǎn)G，使??，連接，，與△交??于?點(diǎn)≌△H．??如?圖2，若，，

求線段?的?長(zhǎng)．??=??????????∠???=90°??=4

??

1．等腰三角形的一個(gè)外角是70°，則它的頂角的度數(shù)為（）

A．70°B．70°或40°C．110°D．110°或40°

2．如圖，在中，，在上，且，則的度數(shù)是（）

△?????=??=???????=??∠???

A．B．C．D．

3．如圖1，00在°中，105°，將沿1折08疊°，使點(diǎn)B落在邊12上0的°點(diǎn)F處，若，且

△???∠?=90°△???????∠???=57°

為等腰三角形，則是度數(shù)為（）

△???∠?

A．B．C．或D．或

4．在正4方9°形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線52的°交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如5圖2所°示4，1°已知A，B是兩49個(gè)°格3點(diǎn)8，°如果點(diǎn)C也是圖中的格

點(diǎn)，且使為等腰直角三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

△???

A．6B．7C．8D．9

5．如圖，已知…，若，則的度數(shù)為（）

??=?1?,?1?1=?1?2,?2?2=?2?3,?3?3=?3?4∠?=68°∠?5?6?5

A．B．C．D．

68686868

3456

6．如圖2，，2，2則圖中的等腰三角形2有個(gè)．

∠?=∠?=36°∠???=∠???=72°

7．如圖，中，、分別平分和，過(guò)點(diǎn)平行于的直線分別交、于點(diǎn)、，

已知△??，???C，O的周∠長(zhǎng)??為?∠???．?????????

??=9cm??=8cm△???

8．如圖，在中，是的平分線，且，是的中點(diǎn)，若，則．

△?????∠?????=?????∠???=20°∠?=

9．如圖，，，則．

∠?=15°??=??=??=??=??∠???=

10．已知等腰中，，邊的垂直平分線交直線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)

為．△?????=???????∠???=48°∠???

11．（1）如圖①，在ABC中，∠C＝90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作一條直線，把ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，

并說(shuō)明理由（保留作圖△痕跡，不寫(xiě)作法）；