專題04二元一次方程組

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

【知識點1二元一次方程的概念】

概念：方程中含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

【易錯點剖析】

（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).

（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.

（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

【典例1】下列方程中，屬于二元一次方程的是（填序號）．

3

①xy0；②5x63y2；③3x2y3z；④3xy41x．

4

【典例2】已知(m4)x3ym360是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m．

【知識點2二元一次方程的解】

定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

【易錯點剖析】

二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程

x＝a

的解通常表示為的形式.

y＝b

x2a

【典例3】已知是二元一次方程2x5y70的一個解，則代數(shù)式98a10b的值為．

yb

【知識點3二元一次方程組的概念】

概念：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組

3x4y5

的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.

x2

【易錯點剖析】

axbyc

（）它的一般形式為111（其中，，，不同時為零）．

1a1a2b1b2

a2xb2yc2

（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．

（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．

x24x15xy16xy35

【典例4】觀察所給的4個方程組：①；②；③2；④，其中，符

y33y4x3xy42x4y94

合二元一次方程組定義的是（寫出所有正確的序號）．

【知識點4二元一次方程組的解】

概念：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

【易錯點剖析】

（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，

若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.

（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；

2xy5

（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組

2xy6

xy1

的解有無數(shù)個.

2x2y2

x12axy711

【典例5】已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，則ab的值為．

y3xb1y523

【知識點5三元一次方程組的概念與解】

定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未

知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

【易錯點剖析】理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：

（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；

（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.

x5xyz0

【典例6】若y10是三元一次方程組2xyzk的解，則k的值是．

z15x2yz40

【知識點6解二元（三元）一次方程組】

1.用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：

①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y（或x），即變

成yaxb（或xayb）的形式；

②將yaxb（或xayb）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x），得到一個

關(guān)于x（或y）的一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；

④把x（或y）的值代入yaxb（或xayb）中，求y（或x）的值；

⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.

2.用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：

①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個

未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；

②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方

程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；

⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.

3.解三元一次方程組的一般過程：

①利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，

得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；

②解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；

③將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；

④解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；

⑤將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．

【典例7】用指定的方法解下列方程組

x1y3x2y6

(1)（代入法）(2)（加減法）

2x4y52x3y17

考點一：由二元一次方程組的解的情況求參

2xy5k6

例1.若關(guān)于x，y的方程組的解滿足xy2024，則k的值為（）

4x7yk

A．2022B．2023C．2024D．2025

3x2y5

【變式1-1】m為何值時，關(guān)于x、y的二元一次方程組的解x、y是互為相反數(shù)（）

4x3m2y13

A．1B．5C．5D．14

x2y5k1

【變式1-2】關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足方程x2y5，則k．

2xy7k3

【變式1-3】關(guān)于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列說法正確的有．（寫出所有

正確的序號）

①當m＝1，n＝﹣3時，由這兩個方程組成的二元一次方程組無解；

②當m＝1且n≠﹣3時，由這兩個方程組成的二元一次方程組有解；

③當m＝7，n＝﹣1時，由這兩個方程組成的二元一次方程組有無數(shù)個解；

④當m＝7且n≠﹣1時，由這兩個方程組成的二元一次方程組有且只有一個解．

考點二：二元一次方程組中的錯解與同解問題

ax3y2①x1

例2.在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為，乙看錯

2xby7②y1

x5

了方程組中的b，而得解為，根據(jù)上面的信息解答：

y1

(1)求出正確的a，b的值；

3

(2)求出原方程組的正確解，并代入代數(shù)式xy5x19y求值．

ax5y15x3

【變式2-1】在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為，乙看錯了

4xby2y1

x5

方程組中的b，而得解為

y4

(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么；

(2)求出原方程組的正確解．

ax2by4xy1

【變式2-2】已知關(guān)于x，y的方程組與有相同的解．

xy3bxa1y3

(1)請求出這個相同的解；

(2)求a，b的值；

(3)請判斷“無論m取何值，（1）中的解都是關(guān)于x、y的方程3mx2m1y5的解”，這句話是否正

確？并說明理由．

3x2y12xy4

【變式2-3】已知關(guān)于x，y的方程組與方程組有相同的解．

12mx2y1nnxym1

(1)求這個相同的解；

(2)求m，n的值．

考點三：二元一次方程組的特殊解法

axybx3ax2y2ab

例3.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x，y的方程組

cxydy2cx2y2cd

的解是（）

x3x6x2x5

A．B．C．D．

y2y4y1y1

2023man2024m7

【變式3-1】若關(guān)于m，n的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x，y的二元一次方程

2024mbn2025n3

2023xyaxy2024

組的解是．

2024xybxy2025

a1xb1yc1x3

【變式3-2】已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請直接寫出關(guān)于m、n的方程組

a2xb2yc2y4

a1m23b1nc1

的解是．

a2m23b2nc2

32xy2x2y263m2n26

【變式3-3】解方程組，若設(shè)2xym,x2yn，則原方程組化為，

22xy3x2y132m3n13

m82xy8x3

解得，所以，解得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種

n1x2y1y2

解方程組的方法叫做換元法．

axby6x2

(1)關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則關(guān)于m,n的二元一次方程組

bxay3y4

amnbmn6

，其中mn_________，mn_________，解得m________，n_________；

bmnamn3

xyxy

4

(2)知識遷移：請用這種方法解方程組23；

2xyxy16

a1xb1yc1x4

(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組

a2xb2yc2y3

2ax3by5c

111的解．

2a2x3b2y5c2

考點四：二元一次方程組的整數(shù)解

kxy7

例4．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組有正整數(shù)解，其中k為整數(shù)，則k21的值為（）

3xy0

A．2B．3C．2或4D．3或15

mx2y10

【變式4-1】已知m為正整數(shù)，且方程組的解x，y均為整數(shù)，則m2的值是．

3x2y0

x2y5

【變式4-2】已知關(guān)于x、y的方程組

x2ymx90

(1)請寫出x2y5的所有正整數(shù)解；

(2)若方程組的解滿足xy0，求m的值；

(3)如果方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)m的值．

3xy90

【變式4-3】已知關(guān)于x,y的方程組

3xymy60

(1)請直接寫出方程3xy90的所有正整數(shù)解；

(2)無論數(shù)m取何值，方程3xymy60總有一個固定的解，請求出這個解；

(3)若方程組的解中y恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，求m的值．

考點五：二元一次方程組中多結(jié)論問題

x2y2m

例5.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，下列結(jié)論正確的是（）

2xy2m3

①當m1時，方程組的解也是xy2m1的解；

②x，y均為正整數(shù)的解只有1對；

③無論m取何值，x、y的值不可能互為相反數(shù)；

④若方程組的解滿足xy1，則m0．

A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③

x3y8a

【變式5-1】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，給出下列結(jié)論中，正確的是（）

xy3a

①當這個方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，a4；

②當a1時，方程組的解也是方程xy42a的解；

③無論a取什么實數(shù)，x2y的值始終不變；

x

④若用x表示y，則y3．

2

A．①②B．②③C．②③④D．①③④

x3y4a

【變式5-2】已知關(guān)于x，y的方程組，下列結(jié)論：①當a2時，x，y的值互為相反數(shù)：②

xy3a

x5

若是方程組的解，則a2；③當a1時，方程組的解也是方程xy1的解；④若1y4，則

y1

3a0．其中正確的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

考點六：二元一次方程組中新定義問題

例6.定義：關(guān)于x，y的二元一次方程axbyc與bxay=c互為“對稱二元一次方程”，其中ab如

二元一次方程2xy3與二元一次方程x2y3互為“對稱二元一次方程”．

(1)直接寫出二元一次方程4x-y=5的“對稱二元一次方程”；

xm

(2)二元一次方程3x2y=2025與它的“對稱二元一次方程”的公共解為，求出m，n的值．

yn

【變式6-1】定義：關(guān)于x，y的二元一次方程axbyc（其中abc）中的常數(shù)項c與未知數(shù)x系數(shù)a互

換，得到的方程叫“變更方程”，例如：axbyc“變更方程”為cxbya．

(1)方程3x2y4的“變更方程”為________；

(2)方程2x3y4與它的“變更方程”組成的方程組的解為________；

(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程axbyc的系數(shù)滿足abc0，且axbyc與它的“變更方程”組成的

方程組的解恰好是關(guān)于x，y的二元一次方程mxnyp的一個解，求代數(shù)式mnmpnp2025的值．

a1xb1yc1

【變式6-2】對于關(guān)于x，y的二元一次方程組（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常數(shù)），給

a2xb2yc2

出如下定義：若該方程組的解滿足xy1，則稱這個方程組為“開心”方程組．

(1)下列方程組是“開心”方程組的是________（只填寫序號）；

xy0xy1xy1

①；②；③

2xy02xy23x5y7

2x5y4k3

(2)若關(guān)于x，y的方程組是“開心”方程組，求k的值；

5x2y5k

2amxb1ym

(3)若對于任意的有理數(shù)m，關(guān)于x，y的方程組都是“開心”方程組，求ab的值．

x2y4

【變式6-3】定義：關(guān)于x，y的二元一次方程axbyc（其中abc）中的常數(shù)項c與未知數(shù)x系數(shù)a互換，

得到的方程叫“變更方程”，例如：axbyc的”變更方程”為cxbya．

(1)方程3x2y4與它的“變更方程”組成的方程組的解為______；

(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程axbyc的系數(shù)滿足abc0，且axbyc與它的“變更方程”組成的

方程組的解恰好是關(guān)于x，y的二元一次方程mxnyp的一個解，求代數(shù)式mnmpnp2024的

值；

(3)已知整數(shù)m，n，t滿足條件tn8m，并且10mtx2024ymt是關(guān)于x，y的二元一次方程

1nx2024y2m2的“變更方程”，求m的值．

考點七：二元一次方程組的實際應(yīng)用

例7.已知用2輛A型車和3輛B型車裝滿貨物一次可運貨23噸；用3輛A型車和2輛B型車裝滿

貨物一次可運貨22噸，某物流公司現(xiàn)有64噸貨物，計劃同時租用A型車m輛，B型車n輛，一次運完，

且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)一輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？

(2)請你幫物流公司設(shè)計出所有可行的租車方案；

(3)若A型車每輛租金1500元/次，B型車每輛租金2000元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金

費．

【變式7-1】已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨

物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰

好每輛車都載滿貨物．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？

(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案；

(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租

車費．

【變式7-2】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車

銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解，6輛A型汽車、5輛B型汽車的進價共計980萬

元；3輛A型汽車、7輛B型汽車的進價共計940萬元．

(1)求A，B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？

(2)若“五一”搞活動，該公司了解到A、B兩種型號汽車均按照原來的六折出售，所以公司計劃正好用960

萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），請你幫助該公司設(shè)計購買方案；

(3)若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利6000元，銷售1輛B型汽車可獲利4000元，在（2）中的購

買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【變式7-3】某廣告公司要利用長為240cm、寬為40cm的KT板裁切甲、乙兩種廣告牌，已知甲廣告牌尺寸

為40cm15cm，乙廣告牌尺寸為40cm35cm．

(1)若該廣告公司用1塊KT板裁切出的甲廣告牌的數(shù)量是乙廣告牌的數(shù)量的3倍，在不造成板材浪費的前提

下，求此時裁切出的甲、乙廣告牌的數(shù)量；

(2)求1塊KT板的所有無浪費裁切方案；

(3)現(xiàn)需要甲、乙兩種廣告牌各500塊，該公司倉庫已有488塊乙廣告牌，還需要購買該型號板材多少塊（恰

好全部用完）？寫出購買數(shù)量，并說明如何裁切．

1．《九章算術(shù)》中記載：今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩，今有石立方三寸，中有玉，并重十

一斤、問玉、石重各幾何？大意是：若有玉1立方寸，重7兩；石1立方寸，重6兩．今有石為棱長3寸

的正方體（體積為27立方寸），其中含有玉，總重11斤（注：1斤=16兩）．問玉、石各重多少？若設(shè)玉

重x兩，石重y兩，則可列方程為（）

xy11xy176xy11xy176

A．xyB．xyC．76D．76

27272727

7676xyxy

2xy12a

2．已知關(guān)于x，y方程組的解滿足xy3，則a的值．

x2y6

2x5y263x5y36

3．已知方程組和方程組的解相同，則ab．

axby4bxay8

axby2①x1

4．甲、乙兩人共同解方程組，甲將①中的b看成了它的相反數(shù)解得，乙抄錯②中的c

cx3y4②y1

x2

解得，則abc．

y4

ax3y6

5．若關(guān)于x，y的方程組有無數(shù)個解，則ab的值為．

2xy1b

2xy5

6．已知關(guān)于x，y的方程組．

mx2y3

x1

(1)方程2xy5有一個正整數(shù)解，還有一個正整數(shù)解為________．

y3

(2)若方程組的解滿足xy1，求m的值；

(3)無論實數(shù)m取何值，關(guān)于x，y的方程mx2y3總有一個固定的解，請求出這個解為________．

3xy5

7．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，求7x5y的值．

2x3y7

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常規(guī)思路運算量

比較大，其實仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，就可以通過適當變形，求得該整式的值，例如

由①②2可得7x5y19，這種解題思想就是通常所說的“整體思想”．根據(jù)上述材料解答下面問題：

2xy4①

(1)已知方程組，由①②2可得__________；

x2y5②

3x2y5

(2)用“整體思想”解答：已知方程組，求5x3y的值；

xy3

2x2y4a1

(3)請說明在關(guān)于x，y的方程組中，無論a取何值，xy的值始終不變．

x2y2a

8．對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x*yaxby，xyaxby，其中a，b是常數(shù)．例如，3*23a2b，

212ab，

3a2b1

已知