銜接點01乘法公式初中階段高中階段1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意義和應(yīng)用2、能夠熟練的運用平方差公式，完全平方公式展開與化簡1、能夠熟練的運用平方差公式，完全平方公式的形式及完全平方公式的湊配2、掌握立方和，立方差公式，并能靈活展開與化簡3、掌握三數(shù)和公式展開過程，并能靈活應(yīng)用銜接指引初中階段考查形式：選填題，信息題閱讀并運用。高中階段考查形式：作為數(shù)學(xué)工具在代數(shù)運算中靈活應(yīng)用。1、初中知識再現(xiàn)（1）平方差公式：；注意公式的正逆應(yīng)用.（2）完全平方公式：（3）高頻應(yīng)用方式：①②③④⑤⑥2、高中相關(guān)知識（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）兩數(shù)和立方公式：過程：（4）兩數(shù)差立方公式：過程：（5）三數(shù)和平方公式：過程：對點集訓(xùn)一：平方差公式的應(yīng)用典型例題例題1．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）已知，則．例題2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）若，則等于．例題3．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）運用乘法公式計算：．例題4．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）運用平方差公式計算：(1)；(2)．精練1．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）（）．2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）若，則m的值是．3．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）利用平方差公式計算：(1)；(2)．4．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）計算：．對點集訓(xùn)二：平方差公式與幾何圖形典型例題例題1．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）在數(shù)學(xué)實踐課上，“智慧小組”將大正方形的陰影部分裁剪下來重新拼成一個圖形，以下4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④例題2．（24-25八年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）圖1為某校八（1）（2）兩個班級的勞動實踐基地，圖2是從實踐基地抽象出來的幾何模型：兩塊邊長為，的正方形，其中重疊部分為池塘，陰影部分，分別表示八（1）（2）兩個班級的基地面積．若，，則．例題3．（24-25八年級上·遼寧·期末）如圖，正方形的邊長為，正方形的邊長為，圖中陰影部分的面積可以用正方形的面積與正方形的面積的差來計算；也可以用長方形的面積與長方形的面積的和來計算．(1)根據(jù)圖中陰影面積的不同計算方式，請直接寫成，，之間的等量關(guān)系；(2)根據(jù)（）中得到的等量關(guān)系，解決下面的問題：①計算：；②若，求的值．例題4．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）【探究】如圖，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖2所示的長方形．（1）請分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：圖中________，圖中________；（2）比較兩個圖中陰影部分的面積，可以得到乘法公式為：________（用含字母，的式子表示）；【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成下列各題：（3）已知，，則的值為：________；計算；【拓展】計算（4）的結(jié)果為________．精練1．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖①，從邊長為a的大正方形的四個角中挖去四個邊長為b的小正方形后，將剩余的部分剪拼成一個長方形，如圖②．通過計算陰影部分的面積可以得到（

）A． B．C． D．2．（24-25七年級下·全國·期末）如圖，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，將圖中陰影部分剪裁后拼成一個長方形，如圖所示．(1)設(shè)圖中陰影部分面積為，圖中陰影部分面積為，請直接用含，的代數(shù)式表示，；(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式；(3)試利用此公式計算：．3．（24-25八年級上·安徽阜陽·期末）從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖①），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖②）．(1)上述操作能驗證的等式是．（請選擇“A”“B”“C”）A．

B．

C．(2)已知，，則的值為．(3)計算：．4．（24-25七年級下·山東青島·開學(xué)考試）如圖，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形．(1)通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A．B．C．D．(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：．對點集訓(xùn)三：完全平方公式的應(yīng)用典型例題例題1．（24-25八年級上·重慶萬州·期末）若，則的最小值是（

）A．2014 B．2016 C．2018 D．2020例題2．（24-25七年級上·上海靜安·期末）計算．例題3．（23-24七年級下·湖南婁底·期中）先化簡，再求值：，其中．例題4．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．精練1．（24-25八年級上·河南周口·期末）已知，，則，．2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）利用乘法公式計算：(1)；(2)．3．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）已知，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)．4．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）利用完全平方公式計算：(1)；(2)；(3)對點集訓(xùn)四：通過完全平方公式變形求值典型例題例題1．（24-25八年級上·遼寧·期末）長方形的長和寬分別為a，b，若，，則該長方形的面積為（

）A．10 B．11 C．12 D．13例題2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）閱讀理解：如果，我們可以先將等式兩邊同時平方得到，再根據(jù)完全平方公式計算得：，即，所以．請運用上面的方法解決下面問題：如果，則的值為．例題3．（23-24九年級上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知、是方程的兩個實數(shù)根，則的值為．例題4．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．精練1．（24-25九年級上·湖南衡陽·期末）若方程的兩個實數(shù)根為、，則的值為．2．（24-25九年級上·山東日照·期末）已知m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是．3．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)滿足．（1）代數(shù)式的值為；（2）代數(shù)式的值為．4．（24-25七年級下·全國·周測）兩個不相等的實數(shù)滿足，．（1）的值為；（2）的值為．對點集訓(xùn)五：完全平方式中的字母系數(shù)典型例題例題1．（24-25八年級上·四川綿陽·期末）如果能寫成一個完全平方的形式，則（

）A． B．12 C． D．例題2．（24-25八年級上·湖南衡陽·期中）若一個多項式的平方的結(jié)果為，則（

）A． B． C． D．例題3．（24-25八年級下·重慶渝北·開學(xué)考試）已知關(guān)于的二次三項式是一個完全平方式，則的值是．例題4．（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：；；；（2）觀察以上三個多項式的系數(shù)，有，，，于是小明猜測：若多項式是完全平方式，則實數(shù)系數(shù)a、b、c一定存在某種關(guān)系：①請你用數(shù)學(xué)式子表示a、b、c之間的關(guān)系：；②解決問題：若多項式是一個完全平方式，求m的值．精練1．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）若是一個完全平方式，則的值是（

）A． B． C．或 D．或2．（24-25七年級下·全國·單元測試）若是一個完全平方式，則m的值為（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·遼寧撫順·期末）若是一個完全平方式，則的值．4．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）探究題：【問題情景】（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：___________；__________；___________；【探究發(fā)現(xiàn)】（2）觀察上述三個多項式的系數(shù)，有，，，于是小明發(fā)現(xiàn)：若多項式是完全平方式，那么系數(shù)、、之間存在的關(guān)系式為__________；【問題解決】（3）若多項式是一個完全平方式，利用（2）中的結(jié)論求出的值．對點集訓(xùn)六：完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用典型例題例題1．（24-25八年級上·山西晉城·階段練習(xí)）閱讀與思考仔細閱讀下列材料并完成相應(yīng)任務(wù)．利用因式分解解決代數(shù)式的最值問題我們把形如的式子稱為完全平方式，除了利用完全平方式進行多項式的因式分解外，也可以將一個多項式進行局部因式分解從而解決代數(shù)式的最值問題．例如：．∵，∴，∴，∴當時，取得最小值，最小值為2．任務(wù)：(1)代數(shù)式的最小值為．(2)求代數(shù)式的最大值，并寫出相應(yīng)的x的值．(3)小明的爸爸計劃用一段長為8米的籬笆圍成一個長方形的小型寵物圍欄，請你幫助小明的爸爸規(guī)劃一下怎樣圍面積才最大，最大面積為多少？例題2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）【問題情境】我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到．【活動猜想】（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：；【類比探究】（2）①根據(jù)上面的等式，如果將看成，則（結(jié)果化簡）；②若，求的值．【拓展運用】（3）已知實數(shù)a、b、c滿足以下條件：，，且，求k的值．例題3．（24-25八年級上·四川樂山·期末）我們在應(yīng)用整式的乘法公式解題時，經(jīng)常將乘法公式進行變形，如：，．(1)根據(jù)以上變形填空：①已知，，則______；②已知，，則______；(2)若，，求的值；(3)如圖，正方形、的邊長分別為、，若，，求圖中陰影部分的面積之和．例題4．（23-24七年級下·江蘇揚州·期末）定義：對于任意四個有理數(shù)a、b、c、d，定義一種新運算：．(1)；(2)；若是完全平方式，則；(3)若有理數(shù)m、n滿足，且．①求的值；②如圖，四邊形是長方形，點E、F、G、H分別在邊上，連接交于點P，且將長方形分割成四個小長方形，若，，，，在①的條件下，求圖中陰影部分的面積．

精練1．（23-24八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）（1）下圖中的①是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后拼成一個如圖中的②所示的正方形．小明用兩種不同的方法求圖中②的陰影部分的面積，發(fā)現(xiàn)了以下等量關(guān)系：________．（2）利用（1）中的等量關(guān)系解決下面的問題：①，，求和的值；②已知，求的值．2．（23-24八年級上·福建福州·期中）我們已學(xué)完全平方公式：，觀察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列問題：(1)代數(shù)式有最（填大或?。┲担@個值=．(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)計一個盡可能大的花圃，如圖設(shè)長方形一邊長度為米，完成下列任務(wù)．①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？3．（22-23八年級下·四川成都·期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，在學(xué)習(xí)“因式分解”時，我們可以借助直觀、形象的幾何模型來求解．下面共有三種卡片：A型卡片是邊長為x的正方形；B型卡片是長為y，寬為x的長方形；C型卡片是邊長為y的正方形．

(1)用1張A型卡片，2張B型卡片拼成如圖1的圖形，根據(jù)圖1，多項式因式分解的結(jié)果為______．(2)請用1張A型卡片，2張B型卡片，1張C型卡片拼成一個大正方形，在圖2的虛線框中畫出正方形的示意圖，再據(jù)此寫出一個多項式的因式分解．

4．（22-23七年級下·遼寧丹東·期中）完全平方公式：適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：因為，所以，即：，又因，所以根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若，，則的值為______；(2)拓展：若，則______．(3)應(yīng)用：如圖，在長方形中，，，點E、F是、上的點，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和正方形，若長方形的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．對點集訓(xùn)七：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的應(yīng)用典型例題例題1．（24-25高一上·江西南昌·開學(xué)考試）閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：.根據(jù)材料和已學(xué)知識解決下列問題(1)因式分解：；(2)先化簡，再求值：，其中.(3)利用材料因式分解：例題2．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）閱讀理解題：拆項法是因式分解中一種技巧較強的方法，它通常是把多項式中的某一項拆成幾項，再分組分解，因而有時需要多次實驗才能成功，例如把分解因式，這是一個三項式，最高次項是三次項，一次項系數(shù)為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項拆成1和3，原式就變成，再利用立方和與平方差先分解，解法如下：原式公式：，根據(jù)上述論法和解法，(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)因式分解：．例題3．（23-24高一·全國·假期作業(yè)）已知函數(shù)滿足條件：(1)對稱軸為；(2)y的最大值為15；(3)的兩根立方和為17.求的表達式．精練1．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根據(jù)材料和已學(xué)知識，先化簡，再求值：，其中．2．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）多項式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據(jù)以上材料，請完成下列問題：(1)因式分解：(2)因式分解：(3)已知：，求的值3．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）利用多項式乘法法則計算：(1)=______；=______.在多項式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計算結(jié)果作為結(jié)論逆運用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，以及立方和與立方差公式，解決下列問題：(2)______；（直接寫出答案）(3)______；（直接寫出答案）(4)______；（寫出解題過程）第01講乘法公式(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25八年級上·山西臨汾·期末）如果是一個完全平方式，那么的值為（

）A．8 B． C．或8 D．或52．（23-24七年級下·湖南婁底·期中）若，則下列各式不能成立的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年級下·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，將圖1中陰影部分拼成圖2，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的關(guān)系，可以驗證下列哪個公式（

）．A． B．C． D．4．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如，根據(jù)圖①，我們可以得到兩數(shù)和的完全平方公式：．根據(jù)圖②你能得到的數(shù)學(xué)公式是（）A． B．C． D．5．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）下列計算中，正確的是（

）A． B．C． D．6．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，將圖①中的陰影部分拼成圖②，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關(guān)系，可以驗證的數(shù)學(xué)公式是（

）A． B．C． D．7．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）給出下列式子：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）為了運用平方差公式計算，必須先對式子進行變形．下列變形正確的是（

）A． B．C． D．9．（24-25八年級下·北京·開學(xué)考試）如果是一個完全平方式，那么為（

）A．25 B． C．100 D．二、多選題10．（23-24八年級下·山東濰坊·期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．11．（23-24七年級下·浙江嘉興·期末）已知實數(shù)，滿足，，則（

）A． B． C． D．12．（23-24七年級下·山東濰坊·期中）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）以長方形的四條邊為邊向外作四個正方形，設(shè)計出“中”字圖案，如圖所示．若四個正方形的周長之和為40，面積之和為26，則長方形ABCD的面積為．14．（2025·陜西西安·一模）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為，小正方形的面積為，現(xiàn)將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為．15．（24-25八年級上·陜西渭南·期末）化簡的值是．16．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）根據(jù)整式與整式相乘，可以得到等式：．試利用這個等式解決以下問題：如圖，中，，分別以、、為邊向外側(cè)作正方形．如果、、的長分別是、、，且，，那么這三個正方形的面積和是．四、解答題17．（24-25八年級上·山西臨汾·期末）先化簡，再求值：，其中，．18．（24-25八年級上·江西上饒·期末）（1）計算：．（2）解方程：．19．（24-25八年級上·云南昆明·期末）【閱讀材料】對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個因式分解的等式．如圖1-1，邊長為的大正方形切去一個邊長為的小正方形，剩余部分的面積為，如圖1-2，把剩余部分按如圖所示的方式繼續(xù)切割為甲、乙、丙三個長方形（或正方形），則甲的面積為，乙的面積為，丙的面積為，所以，【嘗試應(yīng)用】（1）利用材料中得到的因式分解等式計算：_____；（2）通過不同的方法表示同一個幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的因式分解等式．如圖2-1，棱長為的實心大正方體切除一個棱長為的小正方體，剩余部分的體積按如圖2-2所示的方式繼續(xù)切割為甲、乙、丙三個長方體，類比第（1）題，求可得到的因式分解等式為_____；【拓廣探索】（3）若，，且，．求的值．20．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）觀察下列等式：；；；；…(1)根據(jù)上述等式，寫出_______=_______；(2)試猜想是哪一個數(shù)的平方，并說明理由．B能力提升1．（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）“我們把多項式及叫做完全平方式．”如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等．例如：分解因式：．解：原式．例如：求代數(shù)式的最小值．解：，因為：，所以：當時，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：______；(2)當，為何值時，多項式有最小值，并求出這個最小值；(3)已知，，是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀．2．（24-25八年級上·山東臨沂·期末）我們知道形如的二次三項式可以分解因式為，所以但小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，對于還可以使用以下方法分解因式．教科書中這樣寫道：“形如的式子稱為完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題．例如：求代數(shù)式的最小值．解：．因為，所以所以當時，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)分解因式：①；②(2)當為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．(3)利用配方法，嘗試求出等式中的值．3．（24-25八年級上·山西呂梁·期末）閱讀與思考閱讀以下材料并完成相應(yīng)任務(wù)．換元法，是指引入一個或者幾個新的變量代替原來的變量，通過引入的新變量將分散的條件聯(lián)系起來，變?yōu)槭煜さ膯栴}，其理論依據(jù)是等量代換．對于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的式子．可以把其中某些部分看作整體，用新的字母代替（即整體換元）可以化繁為簡，從而找到解題的路徑．例：若x滿足，求的值．解：令，，則，，，，，．任務(wù)：(1)若x滿足，求的值．(2)如圖，在長方形中，，，E、F分別為邊，上的點，且，分別過點E、F作邊，的垂線段，交于點O，再以和為邊向外作正方形和正方形．若長方形的面積為，求圖中陰影部分的面積．4．（24-25八年級上·陜西商洛·期末）我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變（恒等變形）．這可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負