第08講基本不等式

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式

ab

1.基本不等式：ab≤

2

(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).

ab

(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).

2

知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).

2

ab

(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).

2

知識(shí)點(diǎn)3利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，則

(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2p(簡記：積定和最小).

s2

(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大).

4

注意：

ba

1.≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).

ab

2

aba2b2

2.ab≤≤.

22

2aba2b2

3.ab(a>0，b>0).

11

22

ab

知識(shí)點(diǎn)4基本不等式的拓展

abc

（1）三元基本不等式：3abc（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。

3

aaa

（2）多元基本不等式：12nnaaa（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)aaa

n12n12n

時(shí)取等號(hào)。

解題方法

（1）因?yàn)閤0，所以x110，

444

所以xx112x113，

x1x1x1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)取得等號(hào)，

x1

4

教材習(xí)題01所以x3，命題得證.

x1

設(shè)x0，y0，求證下列不等式：

2

xy

4（2）要證明x2y2，只用證明

(1)x3；2

x1

222

22xyxy，

xy

(2)x2y2；

2只用證明2x22y2x2y22xy，

(3)xxyyxy；因?yàn)?/p>

2xy2222222

(4)xy．2x2yxy2xyxy2xy(xy)0

xy，

2

當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取得等號(hào)，所以2x2y2xy

成立，

2

xy

則x2y2成立，命題得證.

2

（3）xxyyxyx2y22xy(xy)20，

當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取得等號(hào)，

所以xxyyxy，命題得證.

（4）因?yàn)閤0，y0，

2xy2xy

所以要證xy，只用證1，

xyxy

只用證xy2xy，根據(jù)基本不等式可知

xy2xy顯然成立，

當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取得等號(hào)，

2xy

所以xy成立，命題得證.

xy

【答案】證明見解析

解題方法

（1）設(shè)兩正數(shù)為x,y，則

xy64,x0,y0，

由基本不等式得，

xy2xy26416，

當(dāng)且僅當(dāng)xy8時(shí)等號(hào)取到，

教材習(xí)題02

即當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取8時(shí)，它們的和最

（1）把64寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)各取何

小，最小為16.

值時(shí)，它們的和最小？

（2）設(shè)兩正數(shù)為m,n，則

（2）把24寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)各取何

mn24,m0,n0，

值時(shí)，它們的積最大？

由基本不等式mn2mn得，

2

mn

mn144，

2

當(dāng)且僅當(dāng)mn12時(shí)等號(hào)取到，

即當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取12時(shí)，它們的積

最大，最大為144.

【答案】（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取8時(shí)，它們的和最??；（2）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取12時(shí)，它們的積

最大

教材習(xí)題03解題方法

某罐裝飲料廠為降低成本要將制罐材圓柱底面積為πr2，則Vπr2h．

料減小到最少．假設(shè)罐裝飲料筒為圓柱上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍，設(shè)側(cè)面厚度為1個(gè)單位，

體，上、下底半徑均為r，高為h，體積則上、下底厚度為2個(gè)單位，

為定值V，上、下底厚度分別是側(cè)面厚則所用材料的量值為：

度的2倍．試問：當(dāng)r與h之比是多少2VVVVV

S(r)2πr222πrh4πr24πr2334πr2334πV2

時(shí)，用料最少？（可以到市場上進(jìn)行調(diào)rrrrr

，

查，看看哪些罐裝飲料大體上符合你的

VVπr2hh

當(dāng)且僅當(dāng)4πr2時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)r3，解得r．

計(jì)算結(jié)果）r4π4π4

故r:h1:4.

【答案】r:h1:4

考點(diǎn)一利用基本不等式比較大小

21

1．已知aR，設(shè)P4a4，Q24，則P與Q的大小關(guān)系是（）

a2

A．PQB．PQC．PQD．不確定

1

2．已知x0，Ax2，B，則A與B的大小關(guān)系是（）

x

A．ABB．ABC．ABD．AB

（多選題）3．已知a0，下列不等式正確的有（）

2

a121

A．2B．a(chǎn)2

aa2

11

C．a(chǎn)3D．a(chǎn)1a

a14

（多選題）4．已知a，b0,，ab，3ab，則（）

A．0B．0

33

C．D．

22

考點(diǎn)二由基本不等式證明不等關(guān)系

1．已知x,y,z0,．

(1)若xy1，證明：xy2；

(2)若xy1，證明：4x4y48；

yzx

(3)若xyz1，證明1zz．

xyz

11

2．（1）已知x，求函數(shù)y2x1的最小值；

22x1

（2）若x0，y0，證明:xxy2xyyxy.

ee

3．（1）已知ab0，cd0，e0，求證：．

acbd

111

（2）已知a0，b0，c0，abc1，求證：9．

abc

4．已知x，y都是正數(shù)，求證：xyx2y2x3y38x3y3.

5．（1）若a，b，c，d都是正數(shù)，求證：abcdacbd4abcd；

（2）若a，b，c都是正數(shù)，求證：ab2c2bc2a2ca2b26abc.

考點(diǎn)三最值定理

（多選題）1．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且ab2ab16，則（）

112

A．2ab的最小值為8B．的最小值為

a1b22

1621

C．a(chǎn)b的最大值為8D．b的最小值為

9a10

2．已知x0,y0，且xy2xy，則3x2y的最小值為．

2x23x1

3．若x0，則的最小值是.

x

4．（1）已知正數(shù)a，b滿足a4b4，求ab的最大值；

（2）已知12ab2，3ab4，求5ab的取值范圍．

5．（1）已知0x1，求x(1x)的最大值；

（2）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x5y20，求xy的最大值.

考點(diǎn)四基本不等式的恒成立問題

1．對(duì)一切x，y0，都有5x12xyaxy，則實(shí)數(shù)a的最小值是（）

A．8B．9C．10D．前3個(gè)答案都不對(duì)

2

2．已知不等式2xm0x1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

x1

A．m2B．m4C．m2D．m4

212

3．已知x0,y0，且x2y1，若不等式≥m7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

xy

A．m∣8m1B．{m∣m8，或m1}

C．m∣1m8D．{m∣m1，或m8}

21

4．已知a0，b0，且4a2b3.若不等式m恒成立，則m的最大值為.

ab

5．已知x0，不等式x2mx10恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

考點(diǎn)五基本（均值）不等式的應(yīng)用

1．一批貨物隨17列貨車從A市以vkm/h的速度勻速直達(dá)B市．已知兩地鐵路線長400km，為了安全，兩

2

v

列貨車的間距不得小于km（貨車長度忽略不計(jì)），那么這批貨物全部運(yùn)到B市最快需要（）

20

A．2小時(shí)B．4小時(shí)C．6小時(shí)D．8小時(shí)

2．港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉

先生有兩種加油方案，第一種方案是每次均加30升的燃油，第二種方案是每次加200元的燃油，則下列說

法正確的是（）

A．采用第一種方案更劃算B．采用第二種方案更劃算

C．兩種方案一樣劃算D．無法確定采用哪種方案更劃算

3．一家商店用一架兩邊臂不等長的天平稱黃金，一位顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在左盤，

將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；再將5g的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后交給顧客，

則商店在銷售后（）

A．黃金少給了B．黃金剛好10g

C．黃金多給了D．與砝碼放置順序有關(guān)

4．如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形健身廣場（陰影部分），

則健身廣場的最大面積為m2．

5．海倫公式亦叫海倫——秦九韶公式．它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，表達(dá)式

abc

為Sp(pa)(pb)(pc)，其中a，b，c分別是三角形的三邊長，p．已知一根長為8的木棍，

2

截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長度為2，則該三角形面積的最大值為．

考點(diǎn)六“1”的妙用

34

1．已知a0,b0，且a3b2，則的最小值是（）

ab

27

A．6B．12C．D．27

2

13

2．已知a0，b0，1，則ab的最小值為（）

3ba

10231016

A．4B．C．23D．

333

12

（多選題）3．已知a0,b0，且2，則（）

ab

A．a(chǎn)b2B．b1

14223

C．2D．a(chǎn)b

a2b22

x4y

4．已知x,y0,，且x2y2，則的最小值是.

xy

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1．基本不等式

2．兩個(gè)重要的不等式

3．利用基本不等式求最值

4．基本不等式的拓展

xaxaa

1．兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為a,b0ab.為便于調(diào)控生產(chǎn)，分別將1、、

bxbxx

xaa

中xx0的值記為A,G,H并進(jìn)行分析.則A,G,H的大小關(guān)系為（）

bxb

A．HGAB．GHA

C．AGHD．AHG

111

2．已知x0,y0,且,則xy的最小值為()

x3y2

A．5B．6C．7D．8

1

3．函數(shù)f(x)x(x1)的最小值為（）

x1

A．1B．3C．4D．5

4．已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且x2y116，則xy的最小值為（）

A．3B．4C．5D．6

5．已知正數(shù)x，y滿足x2y232，則xy的最大值為（）

A．8B．10C．12D．14

6．若a、bR都有a2ab10恒成立，則（）

A．a(chǎn)b2B．a(chǎn)b3

C．a(chǎn)2b2≤4D．a(chǎn)2b2≥5

11n

7．已知abc,nN*，且恒成立，則n的最大值為（）

abbcac

A．3B．4C．5D．6

4

（多選題）8．已知x0，則x的值可以是（）

x

A．4B．10C．6D．3

（多選題）9．下列有關(guān)最值的結(jié)論正確的是（）

1

A．當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)