2.2.2用配方法求解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程

第二章

一元二次方程九年級(jí)上BS

1.經(jīng)過(guò)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程的配方求解過(guò)程，探究二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程解的求解步驟.學(xué)習(xí)目標(biāo)x2+x+______=(x+)2；x2-x+______=(x-______)2；x2+8x+______=(x+______)2；164問(wèn)題：要是上式中的形式變?yōu)閍x2+bx+c，如何配成完全平方？新課引入聯(lián)想公式：a2±2ab+b2=(a±b)2你會(huì)解2x2+12x+16=0嗎？它與x2+6x+8=0有什么區(qū)別嗎？那么3x2+8x-3=0該怎么解呢？新知學(xué)習(xí)3x2+8x-3=0x2+x-1=0在方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)

對(duì)于方程2x2+12x+16=02(x2+6x+8)=0x2+6x+8=0對(duì)于方程2x2+12x+16=0相比x2+6x+8=0多了一步將二次項(xiàng)系數(shù)化為1的步驟

例1解下列方程：移項(xiàng)，得兩邊開(kāi)平方，得解：兩邊同時(shí)除以3，得配方，得關(guān)鍵：常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.例2 一個(gè)小球以15m/s的初速度豎直向上弾岀.它在空中的高度

h(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-5t2，小球何時(shí)能達(dá)到10m高？解：由題可列方程

10=15t-5t2，化簡(jiǎn)，得 t2-3t+2=0，即

，開(kāi)平方得.所以用配方法解一元二次方程時(shí),移項(xiàng)時(shí)需注意改變符號(hào).歸納總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟.(1)化：化二次項(xiàng)系數(shù)為1;(2)配：配方，使原方程變?yōu)?x+m)2-n=0的形式;(3)移：移項(xiàng)，使方程變?yōu)?x+m)2=n的形式;(4)開(kāi)：如果n≥0，就可左右兩邊開(kāi)平方得x+m=±

;(5)解：方程的解為x=-m±

.另外，如果是解決實(shí)際問(wèn)題，還要注意判斷求得的結(jié)果是否合理.移項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)是否為1配方開(kāi)方

將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊利用a2±2ab+b2=(a±b)2求解

是否化二次項(xiàng)系數(shù)為1用配方法解一元二次方程的一般步驟探究對(duì)于方程x2+bx+c=0，經(jīng)過(guò)配方可得到方程

(x+m)2=n.方程的兩個(gè)根會(huì)出現(xiàn)哪幾種可能？會(huì)出現(xiàn)三種可能歸納總結(jié)一般地，一個(gè)一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n.①當(dāng)

n>0時(shí)，則

，方程的兩個(gè)根為②當(dāng)

n=0時(shí)，則(x+m)2

=0，x+m=0，開(kāi)平方得方程的兩個(gè)根為

x1

=x2

=-m.③當(dāng)

n<0時(shí)，則方程(x+m)2

=n無(wú)實(shí)數(shù)根1.解下列方程：(1)解：移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得配方，得即，因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，上式都不成立，所以原方程無(wú)實(shí)數(shù)根．隨堂練習(xí)(2)解：移項(xiàng)，得2x2-3x=-1二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得配方，得即由此可得，解：移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，即，由此可得，則x1=1+，x2=1-.(3)4x2-3x+5=5x+8(4)已知

為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足等式

，試判斷△ABC的形狀.思路點(diǎn)撥:將等式兩邊都乘以2，以便更容易地應(yīng)用完全平方公式，通過(guò)識(shí)別并應(yīng)用完全平方公式，將等式轉(zhuǎn)化為三個(gè)平方項(xiàng)的和等于0的形式。由于平方數(shù)總是非負(fù)的，所以這三個(gè)平方項(xiàng)都必須等于0.解：對(duì)原式左右同乘2，得由非負(fù)式的性質(zhì)可知所以

△ABC為等邊三角形.

配方得2.印度古算術(shù)中有這樣一首詩(shī)：“一群猴子分兩隊(duì)，

高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹(shù)林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮。告我總數(shù)有多少，兩隊(duì)猴子在一起？”你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？解:設(shè)共有猴子x

只．化二次項(xiàng)系數(shù)為1：x2-64x+768=0配方：(x-32)2=256開(kāi)方得：x=32±16得x1＝16，x2＝48．所以，共有猴16只或48只．則3.如圖，A，B，C，D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)B為止；動(dòng)點(diǎn)Q

同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).何時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q

之間的距離是10cm？點(diǎn)擊播放解:設(shè)t

秒后點(diǎn)P

和點(diǎn)Q

的距離是10cm．(3t＋2t－16)2

＝102－62．所以，1.6s或4.8s后點(diǎn)P

和點(diǎn)Q

的距離是10cm．化簡(jiǎn)25t2-160t+192=0即

配方得3.已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程,其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用，例如:試求二次三項(xiàng)式x2+4x+5最小值.解:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，(x+2)2+1≥1,∴x2+4x+5≥I,即x2+4x+5的最小值是1.試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題:(1)已知y=x2-6x+12,求y的最小值.解:(1):y=x2-6x+12,∴y=(x-3)2+3,∴y的最小值為3;(2)3x2-x+2-(2x2+3x-6)=3x2-x+2-2x2-3x+6=x2-4x+8=(x-2)2+4∵(x-2)2+4>0∴3x2-x+2>2x2+3x-6;(2)比較代數(shù)式3x2--x+2與2x2+3x-6的大小，并說(shuō)明理由.大小比較一般采用兩數(shù)相減和0比較，或者兩數(shù)相除和1比較3.如圖，A，B，C，D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)B為止；動(dòng)點(diǎn)Q

同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).何時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q

之間的距離是10cm？解:設(shè)t

秒后點(diǎn)P

和點(diǎn)Q

的距離是10cm．(3t＋2t－16)2

＝102－62．所以，1.6s或4.8s后點(diǎn)P

和點(diǎn)Q

的距離是10c