云南省多校2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊，選擇性必修第一冊到第三冊第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某天小雪要坐高鐵或普通旅客快車從南昌市出發(fā)去昆明市，已知當天普通旅客快車有2個車次，高鐵有12個車次，則小雪當天從南昌市出發(fā)去昆明市的車次選擇共有（）A.2種 B.14種 C.24種 D.30種【答案】B【解析】由分類加法計數(shù)原理，得小雪當天從南昌市出發(fā)去昆明市的車次選擇共有種.故選：B.2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，解得，則，因為，所以，故D正確.故選：D3.若函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項A，為奇函數(shù)，A錯誤；對于選項B，為非奇非偶函數(shù)，B錯誤；對于選項C，，且，，，則不是偶函數(shù)，C錯誤；對于選項D，為偶函數(shù)，D正確.故選：D.4.若一個等比數(shù)列的前三項依次為，，,則這個等比數(shù)列的第四項為（）A. B. C.64 D.125【答案】B【解析】由題意得，解得，則這個等比數(shù)列的公比，所以這個等比數(shù)列的第四項為.故選：B.5.甲、乙、丙、丁等六人站成一排，則甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法數(shù)為（）A.144 B.120 C.240 D.576【答案】A【解析】由捆綁法可得甲、乙、丙、丁站在一起的排法數(shù)為：.故選：A.6.已知復數(shù)（）的實部為12，設點的軌跡為曲線，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，所以點的軌跡為雙曲線，則，其離心率為.故選：C.7.若正整數(shù)，的最大公約數(shù)為1，則稱，互質(zhì).對于正整數(shù)，函數(shù)表示不大于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，例如：，.已知，均為大于11的正整數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】在這12個數(shù)中，與12互質(zhì)的數(shù)為，則，在這13個數(shù)中，與13互質(zhì)的數(shù)為，則，在這12個數(shù)中，與14互質(zhì)的數(shù)為，則，即“”是“”的既不充分也不必要條件，故D正確.故選：D8.當取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，當且僅當即，亦即時，等號成立，所以當取得最小值時，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，令，得，A正確.對于B，令，得，又所以，B錯誤.對于C，因為，所以，C正確.令，得，D正確.故選：ACD10.在梯形中，，，，，，與交于點，則（）A.B.向量與平行C.向量在上的投影向量為D.梯形的面積為【答案】BC【解析】因為，所以，則，A錯誤.設，則四邊形為平行四邊形，則，所以，B正確.在中，，，，則由余弦定理可得，，則，所以向量在上投影向量為，即向量在上的投影向量為，C正確.因為，則，所以梯形的高為，所以梯形的面積為，D錯誤.故選：BC.11.已知點,，，點在曲線：上，則（）A.存在無數(shù)個點，使得為定值B.存在無數(shù)個點，使得為定值C.直線與的所有交點的橫坐標之積為D.直線與的所有交點的橫坐標之和大于5【答案】ABD【解析】由，得，即4或，所以曲線由圓與橢圓組成，且圓的圓心為，橢圓的焦點為，故A，B均正確.將代入，得，由判別式大于0，得該方程有兩個不相等的實根，則，，將代入，得，由判別式大于0，得該方程有兩個不相等的實根，，則，，則，，故C錯誤，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)為3，4，4，5，2，4，2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為________，它出現(xiàn)的頻率為_____.【答案】4；【解析】數(shù)據(jù)為3，4，4，5，2，4，2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4，它出現(xiàn)的頻率為.故答案為：4；.13.曲線在點處的切線的斜率為________.【答案】【解析】因為，故曲線在點處的切線的斜率為.故答案為：.14.用4種不同的顏色給圖中6個區(qū)域染色，要求邊界有重合部分的區(qū)域染上不同的顏色，則不同的染色方法有________種.【答案】192【解析】先給2，5染色，有種方法.若1和5同色，則4有2種涂法；若1和5不同色，則4有種涂法.因為1，4分別與3，6對稱，所以不同的染色方法有種.故答案為：192.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.將函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式；（2）求圖象的對稱軸方程；（3）若，求.解：（1）依題意可得.（2）由（1）知：，令，解得：，，故的對稱軸方程為：.（3）由，得，則，故.16.已知拋物線：（）的焦點為，直線：與交于，兩點.（1）求的方程.（2）求的取值范圍.（3）設點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，所以，的方程為.（2）由得，則，得，即的取值范圍為.（3）設，，由（2）知，，設線段的中點為，則，，假設存在，使得，則，所以，解得，故存在，使得.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，且.（1）證明：.（2）設平面與平面的交線為.①證明：.②若為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.解：（1）因為平面平面，平面平面，，所以平面.因為平面，所以.因為，，所以平面.又平面，所以.（2）①因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，平面平面，所以.②過點在平面內(nèi)作，則平面，又因為，所以以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.設，則，，.設平面的法向量為，則令，則.設直線與平面所成的角為，則.令，所以，當且僅當時，取得最大值.18.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）若在上有個零點，求的取值范圍.解：（1）依題意得對恒成立，即對恒成立，所以，即的取值范圍是.（2）由題知，的定義域為，又，當時，在上單調(diào)遞增.當時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，當時，在上單調(diào)遞增，則在上至多有個零點，則不符合題意.當時，要使得在上有個零點，則，即，且，設函數(shù)，則，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以.由，得.即的取值范圍為.19.對于給定的數(shù)列，數(shù)列是的生成數(shù)列，且，，，當時，刪除，，…，中的最小值與最大值，剩余個數(shù)的平均數(shù)為.（1）若數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，求.（2）若數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，求數(shù)列的前（）項和.（3）設數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列.①證明數(shù)列為等差數(shù)列；②設表示不大于的最大整數(shù)，，求數(shù)列的通項公式.解：（1