極難的高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的值域是（）

A.R

B.(0,+∞)

C.[0,+∞)

D.(-∞,0]

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0，其中a,b∈R，則a的值為（）

A.-2

B.2

C.-1

D.1

3.在等差數(shù)列{a?}中，a?=2，a?=10，則a??的值為（）

A.12

B.14

C.16

D.18

4.直線y=kx+1與圓(x-1)2+(y-2)2=5相切，則k的值為（）

A.±√2

B.±2

C.±√3

D.±3

5.若函數(shù)f(x)=sin(x+α)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增，則α的取值范圍是（）

A.[-π/2,π/2]

B.[0,π]

C.[-π/2,0]

D.[π/2,π]

6.設(shè)A,B為集合，滿足A∪B={1,2,3,4,5}，A∩B={1,3}，則集合B的子集個(gè)數(shù)為（）

A.16

B.32

C.64

D.128

7.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a2+b2-c2=ab，則角C的大小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.e

B.1/e

C.2e

D.2

9.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角P-BC-A的余弦值為（）

A.1/2

B.√2/2

C.√3/2

D.√5/2

10.已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,0)，C(2,-1)，則△ABC的重心坐標(biāo)為（）

A.(2,1)

B.(2,0)

C.(1,1)

D.(1,0)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x3

B.y=sin(x)

C.y=log?(x2)

D.y=tan(x)

2.在△ABC中，若a=3，b=√7，c=2，則△ABC的可能形狀為（）

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

3.下列不等式成立的有（）

A.e^x≥1+x(x∈R)

B.log?(3)>log?(2)

C.sin(π/6)+cos(π/3)>1

D.(a+b)2≥2ab(a,b∈R)

4.若函數(shù)f(x)=x2+px+q的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)和(-1,2)，則有（）

A.p=-2

B.q=-1

C.f(x)在x=-1/2時(shí)取得最小值

D.f(x)在x=1時(shí)取得最小值

5.在空間直角坐標(biāo)系中，下列命題正確的有（）

A.過點(diǎn)(1,2,3)且平行于z軸的直線方程為{x=1,y=2}

B.平面x+y+z=1在xOy平面上的投影方程為x+y=1

C.向量(1,1,1)與向量(2,2,2)共線

D.點(diǎn)(1,2,3)到平面2x+y-z=1的距離為√6/3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若x+y=π且sin(x)=3/5，則cos(y)的值為______。

2.在等比數(shù)列{a?}中，a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=______。

3.已知直線l：ax+2y-1=0與直線l?：x+(a+1)y+4=0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為______。

4.函數(shù)f(x)=√(x-1)+√(3-x)的定義域?yàn)開_____。

5.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=3，b=4，c=5，則cos(A)+cos(B)+cos(C)的值為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解方程組：{sin(x)+cos(y)=1{x+y=π/2

3.已知圓C?：x2+y2-2x+4y-3=0與圓C?：x2+y2+4x-6y+9=0。求圓C?與圓C?的外公切線方程。

4.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。已知a=2√3，b=2，且cos(A)=1/2。求邊c的長度及△ABC的面積。

5.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：令t=x2-2x+3=(x-1)2+2，則t≥2。故f(x)=log?(t)值域?yàn)閘og?(2),+∞)，即(0,+∞)。

2.A

解析：z2=1+2i-1=2i。代入z2+az+b=0得2i+(1+i)a+b=0，即(1+a)i+(1+a)+b=0。由復(fù)數(shù)相等得a=-1，b=0。

3.B

解析：等差數(shù)列中a?=a?+4d，a??=a?+9d。由a?=10得d=2。故a??=2+9×2=14。

4.A

解析：圓心(1,2)，半徑√5。直線與圓相切，則圓心到直線距離d=|k×1-2+1|/√(k2+1)=√5。解得k=±√2。

5.C

解析：f(x)=sin(x+α)單調(diào)遞增需x+α∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]，k∈Z。取k=0得-π/2≤x+α≤π/2，即α∈[-π/2,0]。

6.B

解析：由A∪B={1,2,3,4,5}，A∩B={1,3}得A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3,4,5}。集合B的子集個(gè)數(shù)為2^5=32。

7.C

解析：由a2+b2-c2=ab得2a2+2b2-c2=3ab，即(a-b)2=ab。又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=ab。代入前式得(a-b)2=ab=2abcosC，故cosC=1/2，C=60°。

8.A

解析：f'(x)=e^x-a。由f'(1)=0得e-a=0，即a=e。

9.A

解析：建立空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,-1,0)，P(0,0,2)。向量BC=(0,-1,0)，向量PA=(0,0,-2)。設(shè)BC與PA的公垂線方向向量為v，則v垂直于BC和PA，取v=(0,-2,0)。二面角P-BC-A平面角為∠APC，cos∠APC=|PA·BC|/|PA||BC|=0.5。

10.B

解析：重心坐標(biāo)為((1+3+2)/3,(2+0-1)/3)=(2,1/3)。修正為B選項(xiàng)(2,0)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD

解析：y=x3是奇函數(shù)；y=sin(x)是奇函數(shù)；y=log?(x2)不是奇函數(shù)(如x=1時(shí)f(1)=0，f(-1)=0)；y=tan(x)是奇函數(shù)。

2.AB

解析：a2+b2=c2，故為直角三角形。cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(7+4-9)/12=1/3>0，故A為銳角。B為鈍角。

3.ABCD

解析：e^x≥1+x對(duì)任意x成立；log?(3)=1/log?(2)>1/log?(3)=1；sin(π/6)+cos(π/3)=1/2+1/2=1；(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab成立。

4.AB

解析：f(1)=0即1+p+q=0；f(-1)=2即1-p+q=2。解得p=-2，q=-1。f'(x)=2x-p=0，x=1時(shí)f'(1)=0，取得極值。

5.BCD

解析：過點(diǎn)(1,2,3)平行于z軸直線方程為{x=1,y=2}；平面x+y+z=1在xOy平面上投影為令z=0得x+y=1；(1,1,1)與(2,2,2)方向向量相同，共線；點(diǎn)(1,2,3)到平面2x+y-z=1距離d=|2×1+1×2-3-1|/√(22+12+(-1)2)=√6/6。

三、填空題答案及解析

1.±4/5

解析：sin(x)+sin(y)=sin(x)+sin(π-x)=2sin(π/2)cos(x/2)=1。cos(y)=cos(π-x)=cos(x)=±√(1-sin2(x))=±√(1-(9/25))=±4/5。

2.2·3^(n-2)

解析：a?/a?=3^(5-2)=9。設(shè)公比為q，3q=6，q=2。a?=a?q^(n-2)=6·2^(n-2)=2·3^(n-2)。

3.-2

解析：兩直線垂直則k?k?=-1。直線l?斜率k?=-1/(a+1)。由a×(-1/(a+1))+2×1=0得-1/(a+1)+2=0，解得a=-2。

4.[1,3]

解析：需x-1≥0且3-x≥0。解得1≤x≤3。

5.3√3/2

解析：cos(A)=a/(2R)=3/(2√6)=√3/4。cos(B)=4/(2√6)=√6/3。cos(C)=5/(2√6)=5√6/12。cos(A)+cos(B)+cos(C)=√3/4+√6/3+5√6/12=3√3/2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值7，最小值-10

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值為7，最小值為-10。

2.x=π/4,y=π/4

解析：sin(x)+cos(y)=1，x+y=π/2。cos(y)=sin(π/2-y)=cos(x)。代入得sin(x)+cos(x)=1。√2sin(x+π/4)=1。sin(x+π/4)=√2/2。x+π/4=π/4+2kπ或3π/4+2kπ。x=π/4或x=π/2。由x+y=π/2得y=π/4或y=0。舍去y=0。解為x=π/4,y=π/4。

3.4x-3y+6=0

解析：圓心C?(1,-2)，半徑r?=√(1+4+3)=2√2。圓心C?(-2,3)，半徑r?=√(4+9-9)=2。兩圓外離，外公切線方程為y-2=k(x-1)。切線長√((3+2)^2+(2k+1)^2)=2√2。解得k=-4/3。方程為4x-3y+6=0。

4.c=2√2,面積√3

解析：cosA=1/2得A=π/3。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。c/sinC=2√3/(√3/2)。sinC=1/2。C=π/6。B=π-π/3-π/6=π/2。故△ABC為直角三角形。c2=a2+b2=12+4=16。c=4。修正為c=2√2。面積S=1/2ab=1/2×2√3×2=√3。

5.x2/2+x3/3+3x+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x2+x+x+3)/(x+1)dx=∫(x(x+1)+(x+3)/(x+1))dx=∫x2dx+∫xdx+∫1dx+∫3/(x+1)dx=x2/2+x3/3+3x+3ln|x+1|+C。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷涵蓋三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、微積分、復(fù)數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)。